第2章 插值法

1、数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院第第2章章 插插 值值 法法( Interpolation)一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出第一类问题第一类问题第一类问题第一类问题第一类问题第一类问题 函数函数函数函数函数函数 y= fy= fy= f( ( (x x x) ) ) 表达式表达式表达式表达式表达式表达式未知未知未知未知未知未知, ,

2、, 通过观察、通过观察、通过观察、通过观察、通过观察、通过观察、实验或测量得到上实验或测量得到上实验或测量得到上实验或测量得到上实验或测量得到上实验或测量得到上n n n+1+1+1个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点 x x xi i i 的值的值的值的值的值的值 y y yi i i= = =f f f( ( (x x xi i i) ( ) ( ) ( i i i=0, 1,., =0, 1,., =0, 1,., n n n) ) ) . . . 第二类问题第二类问题第二类问题第二类问题第二类问题第二类问题 函数函数函数函数函数函数 y= fy= fy= f( ( (x x

3、 x) ) )表达式表达式表达式表达式表达式表达式已知已知已知已知已知已知, , , 但太复杂但太复杂但太复杂但太复杂但太复杂但太复杂, , , 计算得到其计算得到其计算得到其计算得到其计算得到其计算得到其( ( (容易计算容易计算容易计算容易计算容易计算容易计算) ) )在在在在在在n n n+1+1+1个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点x x xi i i 的值的值的值的值的值的值 y y yi i i= = =f f f( ( (x x xi i i) ( ) ( ) ( i i i=0, 1,., =0, 1,., =0, 1,., n n n) ) ) . . . 2.

4、1 2.1 2.1 引引引引引引 言言言言言言 如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等. . . 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院. . . . . . . . . . . . . .

5、.O O Ox x xy y yx x x0 0 0 x x x1 1 1x x xn n n-1-1-1x x xn n n两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数x x0 x1 x2 xny y0 y1 y2 yn1. 1. 1. 问题问题问题问题问题问题: : : 如何确定函如何确定函如何确定函如何确定函如何确定函如何确定函数数数数数数f f f( ( (x x x) ) ) 在任在任在任在任在任在任意点处的函意点处的函意点处

6、的函意点处的函意点处的函意点处的函数值数值数值数值数值数值? ? ?y y y = = =f f f( ( (x x x) ) )x x x-数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院. . . . . . . . . . . . . . .O O Ox x xy y yx x x0 0 0 x x x1 1 1x x xn n n-1-1-1x x xn n ny y y= = =p p p(

7、 ( (x x x) ) )y y y= = =f f f( ( (x x x) ) )2. 2. 2. 方法方法方法方法方法方法简单函数简单函数简单函数简单函数简单函数简单函数 y= py= py= p( ( (x x x) ) )满足条件满足条件满足条件满足条件满足条件满足条件 p p p( ( (x x xi i i) =) =) = y y yi i i ( ( ( i i i=0, 1,., =0, 1,., =0, 1,., n n n) ) ) 插值插值插值插值插值插值和和和和和和数据拟合数据拟合数据拟合数据拟合数据拟合数据拟合用一个简单函数用一个简单函数用一个简单函数用一个简单

8、函数用一个简单函数用一个简单函数 y= py= py= p( ( (x x x) ) )近似代替近似代替近似代替近似代替近似代替近似代替函数函数函数函数函数函数y y y= = =f f f( ( (x x x), ), ), 即即即即即即 f f f( ( (x x x) ) ) p p p( ( (x x x) ) )3. 3. 3. 插值法的思想插值法的思想插值法的思想插值法的思想插值法的思想插值法的思想插值条件插值条件插值条件插值条件插值条件插值条件数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数

9、学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院 例如例如例如例如例如例如, , , 用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。 根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点( ( (x x xi i i, , , y

10、y yi i i) ) ) ( ( (i i i=0,1,.,=0,1,.,=0,1,.,n n n), ), ), 加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数, , , 就要就要就要就要就要就要算出零件外形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值, , , 才能加工出外表才能加工出外表才能加工出外表才能加工出外表才能加工出外表才能

11、加工出外表光滑的零件光滑的零件光滑的零件光滑的零件光滑的零件光滑的零件, , , 这就是求这就是求这就是求这就是求这就是求这就是求插值函数的问题插值函数的问题插值函数的问题插值函数的问题插值函数的问题插值函数的问题. . . 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院定义定义定义定义定义定义已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数y= fy= fy= f( ( (x x x) ) )在区

12、间在区间在区间在区间在区间在区间 a , ba , ba , b 上互异个点上互异个点上互异个点上互异个点上互异个点上互异个点x x x0 0 0, , , x x x1 1 1, , , x x xn n n上的值上的值上的值上的值上的值上的值y y y0 0 0, , , y y y1 1 1, , , y y yn n n, , , 若存在一简单函数若存在一简单函数若存在一简单函数若存在一简单函数若存在一简单函数若存在一简单函数P P P( ( (x x x) ) )满足满足满足满足满足满足P P P( ( (x x xi i i)=)=)=y y yi i i ( ( (i=i=i=0

13、 0 0, , ,1 1 1, ., n, ., n, ., n) ) ) (2.1)(2.1)(2.1)就称就称就称就称就称就称P P P( ( (x x x) ) )为为为为为为f f f( ( (x x x) ) )的的的的的的插值函数插值函数插值函数插值函数插值函数插值函数, , , 点点点点点点x x x0 0 0, , , x x x1 1 1, , , x x xn n n称为称为称为称为称为称为插值节插值节插值节插值节插值节插值节点点点点点点, (, (, (x x xi i i, , , y y yi i i) ) ) 称为称为称为称为称为称为插值点插值点插值点插值点插值点插

14、值点, , , a a a, , , b b b 称为称为称为称为称为称为插值区间插值区间插值区间插值区间插值区间插值区间, , , 求插值函求插值函求插值函求插值函求插值函求插值函数数数数数数P P P( ( (x x x) ) )的方法称为的方法称为的方法称为的方法称为的方法称为的方法称为插值法插值法插值法插值法插值法插值法, , , 式式式式式式(1.1)(1.1)(1.1)称为称为称为称为称为称为插值条件插值条件插值条件插值条件插值条件插值条件. . . 多项多项多项多项多项多项式插值、分段插值、三角插值式插值、分段插值、三角插值式插值、分段插值、三角插值式插值、分段插值、三角插值式插

15、值、分段插值、三角插值式插值、分段插值、三角插值等等等等等等. . . 本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值. . .数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院从几何上看，插值法就是求曲线从几何上看，插值法就是求曲线从几何上看，插值法就是求曲线从几何上看

16、，插值法就是求曲线从几何上看，插值法就是求曲线从几何上看，插值法就是求曲线 y y y= = =P P P( ( (x x x) ) )， 使其使其使其使其使其使其通过给定的通过给定的通过给定的通过给定的通过给定的通过给定的n n n+1+1+1个点个点个点个点个点个点( ( (x x xi i i, , , y y yi i i), ), ), i=i=i=0,1, ,0,1, ,0,1, ,n n n，并用它近似，并用它近似，并用它近似，并用它近似，并用它近似，并用它近似已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线y y y= = =f f f( ( (x x x) ) )，见下图，见

17、下图，见下图，见下图，见下图，见下图. . .数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院 已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数 y= fy= fy= f( ( (x x x) ) )在在在在在在n n n+1+1+1个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点个互异点x x xi i i 的值的值的值的值的值的值y y yi i i= = =f f f( ( (x x xi i i) )

18、 ) ( ( ( i i i=0,1,., =0,1,., =0,1,., n n n) ) ) , , ,求一个多项式求一个多项式求一个多项式求一个多项式求一个多项式求一个多项式p p p( ( (x x x), ), ), 使其满足使其满足使其满足使其满足使其满足使其满足(1)(1)(1) p p p( ( (x x x) ) )是一个次数不超过是一个次数不超过是一个次数不超过是一个次数不超过是一个次数不超过是一个次数不超过n n n 的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式; ; ; (2)(2)(2) p p p( ( (x x xi i i)=)=)=y y yi i i (

19、 ( (i=i=i=0 0 0, , ,1 1 1, ., n, ., n, ., n) ) )定义定义定义定义定义定义则则则则则则 p p p( ( (x x x) ) ) 称为称为称为称为称为称为f f f( ( (x x x) ) ) 的的的的的的n n n次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式, , , 用用用用用用P P Pn n n( ( (x x x) ) )表示表示表示表示表示表示, , , 即即即即即即2.1.2 2.1.2 2.1.2 多项式插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式插值 (polynomial interpolat

20、ion)(polynomial interpolation)(polynomial interpolation) P P Pn n n( ( (x x x) ) )=a=a=a0 0 0+a+a+a1 1 1x+ax+ax+a2 2 2x x x2 2 2+.+a+.+a+.+an n nx x xn n n (2.2)(2.2)(2.2)a a a=min=min=minx x xi i i, , , b b b=max=max=maxx x xi i i. . .数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原

21、理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院(1) (1) (1) 插值多项式是否存在插值多项式是否存在插值多项式是否存在插值多项式是否存在插值多项式是否存在插值多项式是否存在? ? ? 若存在若存在若存在若存在若存在若存在, , , 是否唯一是否唯一是否唯一是否唯一是否唯一是否唯一? ? ?所须讨论的问题：所须讨论的问题：所须讨论的问题：所须讨论的问题：所须讨论的问题：所须讨论的问题：(2) (2) (2) 如何求插值多项式如何求插值多项式如何求插值多项式如何求插值多项式如何求插值多项式如何求插值多项式? ? ?(3)

22、(3) (3) 插值多项式近似代替插值多项式近似代替插值多项式近似代替插值多项式近似代替插值多项式近似代替插值多项式近似代替 f f f( ( (x x x) ) ) 的误差的误差的误差的误差的误差的误差? ? ?数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院定理定理定理定理定理定理1 1 1 设节点设节点设节点设节点设节点设节点 x x xi i i ( ( (i i i=0,1, ,=0,1,

23、,=0,1, ,n n n) ) )互异互异互异互异互异互异, , , 则则则则则则满足插值条件满足插值条件满足插值条件满足插值条件满足插值条件满足插值条件 P P Pn n n( ( (x x xi i i)=)=)=y y yi i i ( ( (i=i=i=0 0 0, , ,1 1 1, ., n, ., n, ., n) ) ) 证证证证证证 设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为P P Pn n n( ( (x x x) ) )= a= a= a0 0 0+a+a+a1 1 1x+ax+ax+a2 2

24、 2x x x2 2 2+.+a+.+a+.+an n nx x xn n n的次数不超过的次数不超过的次数不超过的次数不超过的次数不超过的次数不超过 n n n 的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一. . .由由由由由由P P Pn n n( ( (x x xi i i)=)=)=y y yi i i ( ( (i=i=i=0 0 0, , ,1 1 1, ., n, ., n, ., n), ), ), 得得得得得得 插值多项式的存在性与唯一性插值多项式的存在性与唯一性插值多项式的存在性与唯一性插值多项式的存在性与唯一

25、性插值多项式的存在性与唯一性插值多项式的存在性与唯一性数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院010000111101(2.3)nnnnnnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy 其系数行列式为其系数行列式为其系数行列式为其系数行列式为其系数行列式为其系数行列式为VandermondeVandermondeVandermonde 行列式行列式行列式行列式行列式行列式：20002

26、1110211()1nnjinj innnnxxxxxxxxxxx 0 由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组(1.3)(1.3)(1.3)有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解. . . 证毕证毕证毕证毕证毕证毕数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院先讨论先讨论先讨论先讨论先讨论先讨论n n n=1

27、=1=1的情形的情形的情形的情形的情形的情形. . . 假定给定一个区间假定给定一个区间假定给定一个区间假定给定一个区间假定给定一个区间假定给定一个区间 x x x0 0 0, , , x x x1 1 1 及及及及及及端点函数值端点函数值端点函数值端点函数值端点函数值端点函数值 y y y0 0 0= = =f f f( ( (x x x0 0 0), ), ), y y y1 1 1= = =f f f( ( (x x x1 1 1), ), ),要求线性插值多项式要求线性插值多项式要求线性插值多项式要求线性插值多项式要求线性插值多项式要求线性插值多项式L L L1 1 1( ( (x x

28、 x) ) )，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足L L L1 1 1( ( (x x x0 0 0)=)=)=y y y0 0 0, , , L L L1 1 1( ( (x x x1 1 1)=)=)=y y y1 1 1. . . y y y= = =L L L1 1 1( ( (x x x) ) )的几何意义就是通的几何意义就是通的几何意义就是通的几何意义就是通的几何意义就是通的几何意义就是通过两点过两点过两点过两点过两点过两点( ( (x x x0 0 0, , , y y y0 0 0) ) )与与与与与与( ( (x x x1 1 1, , , y y y

29、1 1 1) ) )的的的的的的直线，如右图直线，如右图直线，如右图直线，如右图直线，如右图直线，如右图. . .()yfx 1()yLx yx0 x1x1y0y对给定的插值点对给定的插值点对给定的插值点对给定的插值点对给定的插值点对给定的插值点( ( (x x xi i i, , , y y yi i i), ), ), i=i=i=0,1, ,0,1, ,0,1, ,n n n，求插值多，求插值多，求插值多，求插值多，求插值多，求插值多项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。数值分析数值分析数值分析数值分析数值

30、分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院()yfx 1()yLx yx0 x1x1y0y1010010( )()yyL xyxxxx ( ( (点斜式方程点斜式方程点斜式方程点斜式方程点斜式方程点斜式方程) ) )可写为可写为可写为可写为可写为可写为011010110( )xxxxL xyyxxxx ( ( (对称式方程对称式方程对称式方程对称式方程对称式方程对称式方程) ) )数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第

31、二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院约瑟夫约瑟夫约瑟夫约瑟夫约瑟夫约瑟夫 拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日, , , 全名约瑟夫全名约瑟夫全名约瑟夫全名约瑟夫全名约瑟夫全名约瑟夫 路路路路路路易斯易斯易斯易斯易斯易斯 拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Joseph-Louis (Joseph-Louis (Joseph-Louis Lagrange)Lagrange)Lagrange)法国数学家、物理学家。

32、法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。LagrangeLagrangeLagrange法法法法法法173617361736- - - - - -181318131813 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值173617361736年年年年年年1 1 1月月月月月月252525日生于意大利都灵日生于意大利都灵日生于意大利都灵日生于意大利都灵日生于意大利都灵日生于意大利都灵, 1813, 1813, 1813年年年年年年4 4 4月月月月月月101010日卒日卒日卒日卒日卒日卒于巴黎于巴黎于巴黎于巴黎于巴黎于巴黎. . . 他在数

33、学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献有历史性的贡献有历史性的贡献有历史性的贡献有历史性的贡献有历史性的贡献, , ,其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出. . . 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法

34、插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院n n n=1=1=1时时时时时时, , , 由对称式方程由对称式方程由对称式方程由对称式方程由对称式方程由对称式方程01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 011010110( )xxxxL xyyxxxx 线性组合得到的线性组合得到的线性组合得到的线性组合得到的线性组合得到的线性组合得到的, , , 其系数分别为其系数分别为其系数分别为其系数分别为其系数分别为其系数分别为y y y0 0 0及及及及及及y y y1 1 1,

35、 , , 即即即即即即 l l l0 0 0( ( (x x x) ) )及及及及及及l l l1 1 1( ( (x x x) ) )是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式, , , 在节点在节点在节点在节点在节点在节点x x x0 0 0及及及及及及x x x1 1 1上分别满足上分别满足上分别满足上分别满足上分别满足上分别满足10 01 1( )( )( ).L xy lxy lx00011111()1,()0;()0,()1.lxlxlxlx2.2.12.2.12.2.1 线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值

36、线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值看出看出看出看出看出看出, , , L L L1 1 1( ( (x x x) ) )是由两个线性函数是由两个线性函数是由两个线性函数是由两个线性函数是由两个线性函数是由两个线性函数数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院称称称称称称l l l0 0 0( ( (x x x) ) )及及及及及及l l l1 1 1( ( (x x x) ) )为为为为为

37、为线性插值基函数线性插值基函数线性插值基函数线性插值基函数线性插值基函数线性插值基函数，它们的图形为，它们的图形为，它们的图形为，它们的图形为，它们的图形为，它们的图形为插值基函数的特点插值基函数的特点插值基函数的特点插值基函数的特点插值基函数的特点插值基函数的特点： x x x0 0 0 x x x1 1 1 1 1 1l l l0 0 01 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0l l l1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 xy y y1 1 1 O O O x x x0( )lx y y y 1 1 11( )lxO xO xO x1x0 x1x1 1

38、 1x x x0 0 0 x x x1 1 1l l l0 0 0 0 0 0l l l1 1 1 1 1 1数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院y y y= = =L L L2 2 2( ( (x x x) ) )在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点 ( ( (x x x0 0 0, , , y y y0

39、 0 0), (), (), (x x x1 1 1, , , y y y1 1 1), (), (), (x x x2 2 2, , , y y y2 2 2) ) )的抛物线的抛物线的抛物线的抛物线的抛物线的抛物线. . . n n n=2=2=2时时时时时时, , , 假定插值节点为假定插值节点为假定插值节点为假定插值节点为假定插值节点为假定插值节点为x x x0 0 0, , , x x x1 1 1, , , x x x2 2 2，要求二次插值，要求二次插值，要求二次插值，要求二次插值，要求二次插值，要求二次插值多项式多项式多项式多项式多项式多项式L L L2 2 2( ( (x x

40、 x) ) )，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足，使它满足L L L2 2 2( ( (x x x0 0 0)=)=)=y y y0 0 0 0 0 0, , , L L L2 2 2( ( (x x x1 1 1)=)=)=y y y1 1 1, , , L L L2 2 2( ( (x x x2 2 2)=)=)=y y y2 2 2. . .1,(),0,1,2.0,ikikl xi kik 用基函数方法用基函数方法用基函数方法用基函数方法用基函数方法用基函数方法, , , 此时基函数此时基函数此时基函数此时基函数此时基函数此时基函数l l l0 0 0( ( (x x

41、x), ), ), l l l1 1 1( ( (x x x), ), ), l l l2 2 2( ( (x x x) ) )是二次是二次是二次是二次是二次是二次函数函数函数函数函数函数, , , 且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院满足条件的插值基函数很容

42、易求出满足条件的插值基函数很容易求出满足条件的插值基函数很容易求出满足条件的插值基函数很容易求出满足条件的插值基函数很容易求出满足条件的插值基函数很容易求出. . . 例如求例如求例如求例如求例如求例如求l l l0 0 0( ( (x x x), ), ), 因因因因因因它有两个零点它有两个零点它有两个零点它有两个零点它有两个零点它有两个零点x x x1 1 1及及及及及及x x x2 2 2, , , 故可表示为故可表示为故可表示为故可表示为故可表示为故可表示为012( )()(),l xA xxxx 其中其中其中其中其中其中A A A为待定系数，可由条件为待定系数，可由条件为待定系数，可

43、由条件为待定系数，可由条件为待定系数，可由条件为待定系数，可由条件l l l0 0 0( ( (x x x0 0 0)=1)=1)=1定出定出定出定出定出定出01021,()()Axxxx 于是于是于是于是于是于是1200102()()( ),()()xxxxl xxxxx 同理可得同理可得同理可得同理可得同理可得同理可得0211012()()( ),()()xxxxl xxxxx 0122021()()( ).()()xxxxl xxxxx 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工

44、大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院n n n=2=2=2时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为: : : 利用二次插值基函数利用二次插值基函数利用二次插值基函数利用二次插值基函数利用二次插值基函数利用二次插值基函数l l l0 0 0( ( (x x x), ), ), l l l1 1 1( ( (x x x), ), ), l l l2 2 2( ( (x x x) ) )，立即得到，立即得到，立即得到，立即得到，立即得到，立即得到二次多项式二次多项式

45、二次多项式二次多项式二次多项式二次多项式20 01 12 2( )( )( )( ).L xy lxy lxy lx显然满足显然满足显然满足显然满足显然满足显然满足 L L L2 2 2( ( (x x x0 0 0)=)=)=y y y0 0 0 0 0 0, , , L L L2 2 2( ( (x x x1 1 1)=)=)=y y y1 1 1, , , L L L2 2 2( ( (x x x2 2 2)=)=)=y y y2 2 2. . .数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学

46、院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院20 01 12 2( )( )( )( ).L xy lxy lxy lx将上面求得的基函数将上面求得的基函数将上面求得的基函数将上面求得的基函数将上面求得的基函数将上面求得的基函数l l l0 0 0( ( (x x x), ), ), l l l1 1 1( ( (x x x), ), ), l l l2 2 2( ( (x x x) ) )代入得代入得代入得代入得代入得代入得1220010202110120122021()()( )()()()()()()()()()()xxxxL x

47、yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式对对对对对对n n n=1=1=1和和和和和和n n n=2=2=2的情形的情形的情形的情形的情形的情形, , , 得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多项式项式项式

48、项式项式项式L L L1 1 1( ( (x x x) ) )及及及及及及L L L2 2 2( ( (x x x), ), ), 它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合, , , 下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般情形情形情形情形情形情形. . .

49、L L Ln n n( ( (x x xj j j)=)=)=y y yj j j, , , j j j=0,1, =0,1, =0,1, ,n n n. . . 为了构造为了构造为了构造为了构造为了构造为了构造L L Ln n n( ( (x x x) ) )，我们先定义，我们先定义，我们先定义，我们先定义，我们先定义，我们先定义n n n次插值基函数次插值基函数次插值基函数次插值基函数次插值基函数次插值基函数. . .构造通过构造通过构造通过构造通过构造通过构造通过n n n +1 +1 +1个节点个节点个节点个节点个节点个节点x x x0 0 0 x x x1 1 1x x xn n n

50、的的的的的的n n n次插值多次插值多次插值多次插值多次插值多次插值多项式项式项式项式项式项式L L Ln n n( ( (x x x) ) )，假设它满足条件，假设它满足条件，假设它满足条件，假设它满足条件，假设它满足条件，假设它满足条件数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院定义定义定义定义定义定义1 1 1若若若若若若n n n次多项式次多项式次多项式次多项式次多项式次多项式l l lj

51、 j j( ( (x x x) () () (j=j=j=0,1,0,1,0,1,n n n) ) )在在在在在在n n n +1 +1 +1个节个节个节个节个节个节点点点点点点x x x0 0 0 x x x1 1 1x x xn n n上满足条件上满足条件上满足条件上满足条件上满足条件上满足条件1,()( ,0,1, )0,jkkjlxj knkj 就称这就称这就称这就称这就称这就称这n n n +1 +1 +1个个个个个个n n n次多次多次多次多次多次多项式项式项式项式项式项式l l l0 0 0( ( (x x x), ), ), l l l1 1 1( ( (x x x), ),

52、), , , , l l ln n n( ( (x x x) ) )在为节点在为节点在为节点在为节点在为节点在为节点x x x0 0 0, , , x x x1 1 1, , , , , , x x xn n n上的上的上的上的上的上的n n n次插次插次插次插次插次插值基函数值基函数值基函数值基函数值基函数值基函数. . .0101( )( )( )nnxxxlxlxlx 节节函函 点点 数数函数值函数值100 010 001 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太

53、原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，可得到n n n次插值基函数为次插值基函数为次插值基函数为次插值基函数为次插值基函数为次插值基函数为00()()( )()()(0,1, )nkkknxxxxlxxxxxkn 11()()kkxxxx 11()()kkkkxxxx 0101( )( )( )nnxxxlxlxlx 节节函函 点点 数数函数值函数值100 010 001 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分

54、析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院构造构造构造构造构造构造次数不超过次数不超过次数不超过次数不超过次数不超过次数不超过n n n的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式称为称为称为称为称为称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式。则则则则则则L L Ln n n( ( (x x x) ) )满足满足满足满足满足满足L L Ln n n ( ( (x x

55、xj j j)= )= )= y y yj j j , , , i i i=0,1, , =0,1, , =0,1, , n,n, n,)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn 由唯一性得：由唯一性得：由唯一性得：由唯一性得：由唯一性得：由唯一性得： L L Ln n n ( ( (x x x) ) ) P P Pn n n ( ( (x x x) ) )数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原

56、理工大学数学学院记记记记记记1010( )()()()(),nnnkkxxxxxxxxx 则则则则则则于是于是于是于是于是于是1001( )( )( ).()()nnnnk kkkkknkxL xy lxyxxx Note:Note:Note: n n n次插值多项式是次数次插值多项式是次数次插值多项式是次数次插值多项式是次数次插值多项式是次数次插值多项式是次数 n n n的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式的多项式, , , 特殊情况下特殊情况下特殊情况下特殊情况下特殊情况下特殊情况下次数可能小于次数可能小于次数可能小于次数可能小于次数可能小于次数可能小于n n n. . . 如过三点如

57、过三点如过三点如过三点如过三点如过三点( ( (x x x0 0 0, , , y y y0 0 0), (), (), (x x x1 1 1, , , y y y1 1 1), (), (), (x x x2 2 2, , , y y y2 2 2) ) )的二的二的二的二的二的二次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式次插值多项式L L L2 2 2( ( (x x x), ), ),如果三点共线如果三点共线如果三点共线如果三点共线如果三点共线如果三点共线, , ,则则则则则则y y y= = =L L L2 2 2( ( (x x x) ) )就是一直就是一直就是一

58、直就是一直就是一直就是一直线线线线线线, , , 而不是抛物线而不是抛物线而不是抛物线而不是抛物线而不是抛物线而不是抛物线, , , 这时这时这时这时这时这时L L L2 2 2( ( (x x x) ) )是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式是一次多项式. . .10()()().nkkknxxxxx 11()()kkkkxxxx数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章第二章第二章第二章第二章 插值法插值法插值法插值法插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院太原理工大学数学学

59、院 Remark: Remark: Remark:(1) (1) (1) 对于插值节点对于插值节点对于插值节点对于插值节点对于插值节点对于插值节点, , ,只要求它们互异只要求它们互异只要求它们互异只要求它们互异只要求它们互异只要求它们互异, , ,与大小次序无关与大小次序无关与大小次序无关与大小次序无关与大小次序无关与大小次序无关; ; ;(2) (2) (2) 插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数l l lk k k( ( (x x x) ) ) 仅由插值节点仅由插值节点仅由插值节点仅由插值节点仅由插值节点仅由插值节点x x xk k k ( ( (k k k=0,

60、1, ,=0,1, ,=0,1, ,n n n) ) )确定确定确定确定确定确定, , , 与被插函数与被插函数与被插函数与被插函数与被插函数与被插函数 f f f( ( (x x x) ) )无关无关无关无关无关无关; ; ;(3) (3) (3) 插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数l l lk k k( ( (x x x) ) ) 的顺序与的顺序与的顺序与的顺序与的顺序与的顺序与插值节点插值节点插值节点插值节点插值节点插值节点x x xk k k ( ( (k k k=0,1, ,=0,1, ,=0,1, ,n n n) ) ) 的顺序一致的顺序一致的顺序一致的顺