阳新县英才高中2012届数学人教a版第二章(2.6幂函数、二次函数)教师版教案.

1、2.6幂函数、二次函数备课人：闵党生授课班级： 累计课时数：1 授课时间：考试大纲目标：了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值（研究重点为：二次函数的综合应用）例题探究（创新教程例题）考点一 幂函数的概念例1 变式训练1已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或备选训练题1比较大小：（1） （2）（

2、3）（4）解：（1）在上是增函数， （2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上， （4），考点二 幂函数的图象与性质例2 变式训练1（11安徽文）函数f(x)axn(1x)2在区间0,1上的图像如图11所示，则n可能是()图11A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】 由函数图像可知a>0.当n1时，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x1)(x1)，所以函数的极大值点为x<0.5，故A可能；当n2时，函数f(x)ax2(1x)2a(x22x3x4)，f(x)a(2x6x24x3) 2ax(2x1)(x1)，函数的极大值点为x，故B错误；当n3时

3、，f(x)ax3(1x)2a(x52x4x3)，f(x)ax2(5x28x3)ax2(5x3)(x1)，函数的极大值点为x>0.5，故C错误；当n4时，f(x)ax4(1x)2a(x62x5x4)，f(x)a(6x510x44x3)2ax3(3x2)(x1)，函数的极大值点为x>0.5，故D错误（11安徽理） 函数f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图像如图12所示，则m，n的值可能是()图12Am1，n1 Bm1，n2 Cm2，n1 Dm3，n1【答案】 B【解析】 由图可知a0.当m1，n1时，f(x)ax(1x)的图像关于直线x对称，所以A不可能；当m1，n2时，f(x)

4、ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)，所以f(x)的极大值点应为x0.5，由图可知B可能当m2，n1时，f(x)ax2(1x)a(x2x3)，f(x)a(2x3x2)ax(3x2)，所以f(x)的极大值点为x0.5，所以C不可能；当m3，n1时，f(x)ax3(1x)a(x3x4)，f(x)a(3x24x3)ax2(4x3)，所以f(x)的极大值点为x0.5，所以D不可能，故选B.备选训练题2.求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）点评：这是复合函数求

5、值域的问题，应用换元法考点三 二次函数的图象与性质例3 变式训练1(11北京) 已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】 由已知可得|AB|2，要使SABC2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：xy20，所以有，所以x2x2±2，当x2x22时，有两个不同的C点；当x2x22时，亦有两个不同的C点因此满足条件的C点有4个，故应选A.备选训练题3 （10天津理）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属

6、于难题。依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.备选训练题4. （10安徽理）设，二次函数的图象可能是 答案 D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.考点四 二次函数的综合应用例4 变式训练1已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问

7、题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为（1，3答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，3备课资料：1、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考

8、查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01

9、和1三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型2、（11·浙江六校联考 已知二次函数f(x)ax2bx1的导函数为f(x)，f(0)0，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )A. 2 B. C. 3 D.3.（10江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。4.（10四川理）函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是（A） （B

10、） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x ， 于是1 Þ m2答案 A5.（10全国卷1理）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .二次函数专题知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) (1)x1&l

11、t;,x2< ,则; (2)x1>,x2>,则(3)<x1<b,<x2<b,则 (4)x1<,x2>b (<b),则(5）若f(x)=0在区间(,b)内只有一个实根，则有4 最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间,b上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响1讨论二次函数的区间最值问题：注意对称轴与区间的相对位置； 2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别

12、式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是题型讲解 例1函数是单调函数的充要条件是（）A B C D解：函数的对称轴，函数是单调函数

13、，故选A例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点和，又过点， ，例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或例4 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为例5设二次函数，

14、已知不论，为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令 从而知 （2）由即， 又因为 （3） 当 由 解得 点评注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b （1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；证明（1）：f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 f(1)=a+b+c=0又abc3aa+b+c3c a0,c0由 =(b

15、a)24a(cb)(b+a)24ac0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=,x1x2=,由题意，A1B1=x1x2=abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范围是（，2）例7是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有xf(x) ” 解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0 又因为xf(x) 当x1时，1f(1) 1 ， 所以f(1) =1 即a+b+c=1 从而 所以b=

16、xax2+对一切实数x恒成立即的解集为Ra=0或a=, 所以a=c=,b=例8设f(x)是定义在-1，1上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当（1）求f(x)的表达式 （2）对于任意解：（1）设P（x,y）是f(x) 图象上的任意点，则P（x,y）关于直线x=1的对称点为Q (2-x ,y)必在g(x)图像上，且22-x3即x-1，0x-1，0f(x)是定义在-1，1上的奇函数，f(0)=0, c= 当 （2）当时，例9设函数f(x)=|xa|ax，其中0<a<1为常数（1）解不等式f(x)<0;（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出

17、其最小值；若不存在，说明理由解：（1）由f(x)<0得，|xa|<ax，即ax<xa<ax,不等式的解集是（2）内是增函数，内是减函数例10对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和（2）函数恒有两个相异的不动点，恒有两个不等的实根，对恒成立，得的取值范围为（3）由得，由题知，设中点为，则的横坐标为，当且仅当，即时等号成立，的最小值为学生练

18、习 1设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ）(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值2函数f(x)=2x2-mx+3,当xÎ(-¥,-1时是减函数，当xÎ-1,+¥)时是增函数，则f(2)= 3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 _ ；至少有一根为零的充要条件 _ 4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是 5设方程x2-mx+1=0的两个根为,b,且0<<1,1<

19、;b<2,则实数m的取值范围是 _ 6直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是 7已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(-¥,-3)È(2,+¥),则关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集是 8方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则mÎ ;或m=6-2)在(0,1)内至少有一根，则mÎ 9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围10已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6

20、=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x都成立，试求f(1-)的值12已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系：销售量g(t)与时间t满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0£t£40),tÎN),求这种商品日销售量的最大值14已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，

21、求实数m的取值范围 15若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一点c¸使f(c)>0,求实数p的取值范围16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cÎR)(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围17设 2sin2x+acosx13a对xR恒成立，求实数a的取值范围18在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b(a>b),A=60°,在AB,AD,CB

22、,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0xb),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？19已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a0)在区间-3/2,2上的最大值为1，求实数a的值20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根，证明：()如果2，2，那么2a4+b且b4；()如果2a4+b且b4，那么2，221已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,f(x)1()证明:bl;()证明:当-1x1时,g(x)2;22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意实数x，都有f(x)-

23、x³0,并且xÎ(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)23若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围 24线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围参考答案：1 C 2 193 b2-4c>0,b<0,c>0，c<0，c=04 a<-15 2<m<5/26 -£k<-17 (-3,2) (用韦达定理可得b=a,c= -6a,a<0,代入不等

24、式即可）8 1/2<m£2/3， mÎ(1/2,6-2 有一根，分为四种情况讨论：(i)f(0)f(1)<01/2<m<2/3;(ii)=0,0<(2-m)/2<1m=6-2;(iii) f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意有两根，则mÎ (2/3,6-2)另法：可以观察二次函数y=x2-2x-1与y= -m(x+2)的图象得到结果9 £a<9/410 (1)m=2时，交点为(-1/4,0),m2时，(i)一正一负，(m-2)(2m-6)

25、<0, 2<m<3,(ii)两负，1£m<2,(iii)一根为零，一根为负，无解，综合得1£m<311 f(x)=x2-2x-1, f(1-)=012若m=0，满足要求；若m0,原点两侧各一个根，x1x2=/1m<0, m<0; 两根都在原点右侧，则³0,x1+x2>0,x1x2>0,解得 0<m£1,综合可得：mÎ(-¥,113当0£t<20时，日销售额S=(t/2+11)(-t/3+43/3)= -(t2-21t-22´43)/6故当t=10或1

26、1时，Smax=176,当20£t£40时，S=(t-41)(t-43)/3,故t=20时，Smax=161综上，日销售额的最大值是17614 (1)-1<m<2；(2) m³2或m£ -1)15解1：依题意，有f(-1)>0,f或(1)>0,即2p2-p-1<0,或2p2+3p-9<0, -1/2<p<1或-3<p<3/2, -3<0<3/2解2：(补集法)令f(-1)£0,且f(1)£0,解得:p£-3或p³3/2,符合条件的pÎ(-3,3/2) 观察图象而得到16 (1)联立方程，得ax2+2bx+c=0,=4(a2