高数D函数极限PPT课件

1、从函数的观点看，数列是下标变量n的函数( )nxf n，它有极限. A也可以这样叙述：若在自变量n时，相应的函数则称当n时，函数)(nfxn有极限。这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数)(xf，由于)(xf的自变量 x变化方式的不同，)(xf的极限定义就有不同的形式，需分类定义。( )f nA ，, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:第1页/共23页一、自变量趋于有限值时函数的极一、自变量趋于有限值时函数的极限限1. 0 xx 时函数极限的定义问题:如何用数学语言描述下述过程:在0 xx 的过程中,函数)(xf无限趋近

2、于确定值.A要点:(1)过程:0 xx , 0 ;|00 xx 体现x与0 x的接近程度.(2)函数)(xf与A无限接近:, 0 有.|)(| Axf第2页/共23页定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xUx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: AA几何解释:OAx0 xy)(xfy 第3页/共23页一般说来, ,)(lim0Axfxx 论论证证应

3、从不等式 Axf)(出发,这个正数就是要找的与 相对应的 , 这个推导常常是困难的. 但是, , 注意到我们不需要找最大的, 所以Axf )(适当放大些,的式子,变成易于解出0 xx . 找到一个需要的 找到就证明完毕.可把推导 小于怎样的正数, ,0 xx 第4页/共23页例例1. 证明证明)(lim0为常数CCCxx证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有第5页/共23页 . lim 00 xxxx证明证 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例2.2.第6页/共23页例例3. 证明证明1)1

4、2(lim1xx证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx第7页/共23页例例4. 证明证明211lim21xxx证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x第8页/共23页例例5. 证明证明: 当当00 x证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证

5、 .必有Ox0 xx第9页/共23页2. 保号性定理保号性定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第10页/共23页AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(

6、23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第11页/共23页定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf第12页/共23页3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0

7、 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 题*11 )第13页/共23页例例6. 给定函给定函数数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy第1

8、4页/共23页验证xxx0lim不存在. .证xxx 0lim)1(limlim00 xxxx; 1 xxx 0lim1limlim00 xxxx. 1 左右极限存在但不相等. .)(lim0 xfx不存在. .第15页/共23页XXAAOxy)(xfy A定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极二、自变量趋于无穷大时函数的极限限第16页/共23页例例

9、7. 证明证明. 01limxx证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyOxyxy1第17页/共23页Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，Oxyx21x21第18页/共23页解显然有,2arctanlim xx,2ar

10、ctanlim xx可见xxarctanlim 和xxarctanlim 虽然都存在, ,但它们不相等. .xxarctanlim 故不存在. . 讨论极限 是否存在? ?xxarctanlim 22yxyarctanx第19页/共23页三、函数极限的性质与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相应性质. .下面仅以0 xx 的极限形式为代表给出这些性质, ,至于其他形式的极限的性质, ,只需作出些修改即可得到. .唯一性若)(lim0 xfxx存在, ,则极限唯一. .局部有界性若,)(lim0Axfxx 则存在常数0 M和, 0 使得当 |00 xx时, ,有.| )(|Mxf 第20页/共23页函数极限与数列极限的关系如果极限存在,nx为函数)(xf的定义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列且满足:0 xxn ),( Nn)(nxf必收敛,且且证设则, 0 , 0 ,|00时时当当 xx.|)(| Axf有故对故对, 0 ,N ,时时当当Nn 有有.|0 xxn,时时当当Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn即即0limxxnn )(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn )(limnnxfA,)(lim0Axfxx 第21页/共23页内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义及应用2. 函数