2006年硕士研究生入学考试(数学三)试题及答案解析

1、2006年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析填空题：16小题，每题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.1 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 .2设函数在的某邻域内可导,且，那么 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 .3设函数可微,且,那么在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 .4设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，那么 2 .【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可

2、.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.5设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，那么 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.那么.6设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，那么 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 . 二、选择题：714小题，每题4分，共32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.7设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，假设，那么(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】

3、题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). 8设函数在处连续，且，那么(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，那么 . 令，那么. 所以存在，故此题选C.9假设级数收敛，那么级数(A) 收敛 . B收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选().或利用排除法：取，那么可排除选项，；取，那么可排除选项.故项正确.10设非齐次

4、线性微分方程有两个不同的解为任意常数，那么该方程的通解是. . . 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选().11设均为可微函数，且，是在约束条件下的一个极值点，以下选项正确的选项是(A) 假设，那么. (B) 假设，那么. (C) 假设，那么. (D) 假设，那么. 【分析】 利用拉格朗日函数在是对应的参数的值取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，那么 ， 即 .消去，得 ,整理得.因为，假设，那么.应选.12设均为维列向量，为矩阵，以下选项正确的选项是假设线性

5、相关，那么线性相关. 假设线性相关，那么线性无关. (C) 假设线性无关，那么线性相关. (D) 假设线性无关，那么线性无关. A 【分析】 此题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，那么.所以，假设向量组线性相关，那么，从而，向量组也线性相关，故应选().13设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，那么.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，那么有.故应选.14设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且那么必有 (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义

6、可得.【详解】 由题设可得，那么，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，那么，即.应选(A).三 、解答题：1523小题，共94分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15此题总分值7分设,求() ；() . 【分析】第()问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含未定式极限. 【详解】() . () 通分 16此题总分值7分 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解的一次函数，“先后积分较容易，所以 .17此题总分值10分 证明：当时，. 【分析】 利用“参数变易法构造

7、辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令，那么 ，且.又 ，故当时，单调减少，即，那么单调增加，于是，即.18此题总分值8分在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于常数.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】() 设曲线的方程为，那么由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.19此题总分值10分求幂级数的收敛域及和函数.

8、【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记，那么. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，.20此题总分值13分设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大

9、线性无关组. 【详解】记以为列向量的矩阵为，那么 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.21此题总分值13分设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】 ()因为矩阵的各行元素之和均

10、为3，所以，那么由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.()因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，那么，由是实对称矩阵必可相似对角化，得. 由()知 ，所以 . ，那么.22此题总分值13分设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；() ；().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 = 1 * ROMAN I 设的分布函数为，即，那么当时，；当时， .当时，.当，.所以. = 2 * ROM