2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算：sin105°=(

)A.6−22 B.62.若复数z=m2−4+(2−m)i(m∈R)为纯虚数，则m的值为A.2 B.−2 C.2或−2 D.3.一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对边的长为4，那么30°角所对边的长为(

)A.2 B.22 C.24.已知a，b为单位向量，其夹角为120°，则(2a+bA.2 B.1 C.0 D.−15.在△ABC中，若a2+b2+A.30° B.45° C.135° D.150°6.已知平面向量a=(k,5)在向量b上的投影向量为(2,1)，则|a|=A.2 B.5 C.5 7.已知θ为第一象限角，sin(π−θ)=2425，则cosθA.35 B.45 C.±38.如图，已知D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且满足AB=32AD，AC=5AE，BE与CD交于O，连接AO并延长交BC于F点，若AO=λA.34

B.74

C.94二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题中正确的是(

)A.|a+b|2=a2+2a⋅b+b210.下列命题中正确的是(

)A.tan15°+1tan15∘−1=−3 B.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin(B−C)=2sinCcosB，则(

)A.tanB=3tanC

B.b2+c2≤a2

C.a<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(2,3)，b=(m,−6)，则当a//b时，m的值为

13.若sinx+3cosx=2，x∈(0,π)，则x=

14.如图，平面四边形ABCD中，AB=8，AE=23，∠A=30°，CD=3，∠ADC=90°，点E满足AE=25AD，则线段BE的长=

，四边形ABCD的面积四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=1+3i1−i．

(1)将复数z化成a+bi(a,b∈R)的形式，并求|z|；

(2)复数z−是z的共轭复数，求z16.(本小题15分)

如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=4，E，F分别为边BC，CD的中点．

(1)设AB=a，AD=b，试用a，b分别表示BC，EF；

(2)17.(本小题15分)

已知α为第二象限角，tan(α+π4)=12．

(1)求sinα+cosα的值；

(2)求cos(5π6−2α)18.(本小题17分)

定义：对于非零向量OM=(m,n)，若函数f(x)=msinx+ncosx，则称f(x)为向量OM的“H−函数”，向量OM为f(x)的“H−向量”.例如，对于向量OM=(−1,2)，则称f(x)=−sinx+2cosx为向量(−1,2)的“H−函数”，向量(−1,2)为f(x)的“H−向量”.记平面内所有向量的“H−函数”构成的集合为S．

(1)已知h(x)=sin(x+π3)+2sinx，若函数h(x)∈S，求函数h(x)的“H−向量”的模长；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量OM=(a,bcosC+ccosB)的“H−函数”为F(x)，且当x=A时，F(x)取得最大值．

①求角A的大小；

②设G为△ABC的重心，T19.(本小题17分)

(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

①已知a=3，c=23，B=π6，求△ABC的外接圆半径；

②若A是钝角，求证：b2+c2<4R2，其中R表示△ABC的外接圆半径；

(2)给定三个正实数m，n，r，其中m≥n，试确定m，n，r满足怎样的数量关系时，存在以m，n为边长，r为外接圆半径的△MNP，并用m，n，r表示相应的第三边p的值.(角M参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.C

9.ABD

10.ABD

11.AC

12.−4

13.π614.215.解：(1)z=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)−=1+3i+i−32=−1+2i，

故|z|=(−1)2+22=5；

(2)因为复数z−是z的共轭复数，所以z−=−1−2i，

复数z−的实部是−1，虚部是−2．

16.解：(1)BC=BA+AD+DC=−a+b+12a=−12a+b，

因为E，F分别为边BC，CD的中点，

所以EF=EC+CF=12BC+12CD=12(−12a+b)+12(−12a)=−12a+12b；

(2)解法一、AE=AB+BE=AB+12BC=a−14a+12b=34a+12b，

AF=AD+DF=b+14a=14a+b，

因为∠DAB=90°，AB=4，AD=2，所以AE17.解：(1)因为tan(α+π4)=12，

所以tanα=tan[(α+π4)−π4]=12−11+12=−13，

可得sinα=−13cosα，

将其代入sin2α+cos2α=1，得109cos2α=1，可得cos2α=910，

因为α为第二象限角，所以cosα<0，

可得cosα=−31010，sinα=1010，

故sinα+cosα=−105；

(2)由(1)可得sin2α=2sinαcosα=−35，cos2α=cos2α−sin2α=45，

可得cos(5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=−43+310；

(3)因为2cos(3α+β)+3cos(α+β)

=2cos(2α+β+α)+3cos(2α+β−α)

=2[cos(2α+β)cosα−sin(2α+β)sinα]+3[cos(2α+β)cosα+sin(2α+β)sinα]

=5cos(2α+β)cosα+sin(2α+β)sinα

=0，

所以sin(2α+β)sinα=−5cos(2α+β)cosα，

可得tan(2α+β)tanα=−5，

又由(1)可知tanα=−13，

所以tan(2α+β)=15．

18.解：(1)h(x)=sin(x+π3)+2sinx可化为h(x)=12sinx+32cosx+2sinx=52sinx+32cosx，

由定义可得函数h(x)的“H−向量”OM=(52,32)，

所以|OM|=(52)2+(19.(1)①解：由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB，

代入a=3，c=23，B=π6，得

b2=32+(23)2−2×3×23×cosπ6=9+12−18=3，

故b=3．

由a2+b2=9+3=12=c2，知△ABC为直角三角形，且角C为直角．

因此，外接圆半径R=c2=3．

②证明：由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc．

因A为钝角，故cosA<0，得b2+c2−a2<0，即b2+c2<a2．

由正弦定理，a=2RsinA，且