大学物理平面任意力系

1、12平面任意力系实例平面任意力系实例3 可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力 平行移到刚体上任意平行移到刚体上任意一点一点B B，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等于原来的力于原来的力 对新作用点对新作用点B的矩。的矩。一、证明：证明：)(FFdBMM各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫的力系叫平面任意力系平面任意力系。4参见动画：参见动画：平面力线平移定理平面力线平移定理5为什么如此攻螺纹会断？为什么如此攻螺纹会断？参见动画：参见动画：钳工用丝锥攻螺纹

2、钳工用丝锥攻螺纹(断断)参见动画：参见动画：力线平移实例力线平移实例6称点称点O为简化中心为简化中心参见动画：参见动画：平面任意力系向平面内任一点的简化平面任意力系向平面内任一点的简化7称点称点O为简化中心为简化中心F1、F2、.Fn平面汇交力系，合力为平面汇交力系，合力为FRM1、M2、.Mn平面力偶系，合力偶矩为平面力偶系，合力偶矩为MO8平面力系中所有各力的矢量和平面力系中所有各力的矢量和FR称为该力系的主矢称为该力系的主矢量（简称为主矢）量（简称为主矢）1. RyRxyxRFF cos FF ,FFF),(,)cos()()(22jFiFRR原力系的主矢与简化中心原力系的主矢与简化中心

3、O的位置无关的位置无关 FR=F1+F2+.+Fn=F = F 主矢主矢FR的大小和方向余弦为：的大小和方向余弦为：原力系中各力对简化中心原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力之矩的代数和称为原力系对点系对点O的主矩。的主矩。nionOOOOMMMMM121)()(.)()(iFFFF主矩与简化中心的选择有关主矩与简化中心的选择有关 9 平面任意力系向平面内任一点简化，一般可以得到平面任意力系向平面内任一点简化，一般可以得到，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的化中心，称为原力系的；这个力偶的矩等于原力系中各；这个力偶的矩等于

4、原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的。 固定端固定端A A处的约束力可简化为两个约束力处的约束力可简化为两个约束力FAx、FAy和一个和一个矩为矩为A的约束力偶的约束力偶=参见动画：参见动画：插入端约束受力的简化插入端约束受力的简化10参见动画：参见动画：插入端约束实例插入端约束实例(机翼机翼)参见动画：参见动画：遮雨蓬遮雨蓬111 1简化为一力偶的情况简化为一力偶的情况若若FR=0，MO0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为2 2简化为一合力的情况简化为一合力的情况（1 1）若）若FR0，MO=0，力力F

5、R就是原力系的合力就是原力系的合力FR。 此时合力此时合力FR的作用线通过简化中心。的作用线通过简化中心。RoFMd此时主矩与简化中心的选择无关。此时主矩与简化中心的选择无关。nioOMM1)(iF（2 2）FR0，MO0，此时仍可合成为一个力。此时仍可合成为一个力。12合力矩定理的证明：合力矩定理的证明： 作用于点作用于点O 的原力系合力的原力系合力FR与作用在点与作用在点O的的FR和力偶和力偶MO等效，由力的平移定理有等效，由力的平移定理有nioOMM1)(iFOROMdFM)(RF而而nioOMM1)()(iRFF合力矩定理得证合力矩定理得证合力矩定理：平面任意力系的合力对平面内任一点的

6、矩等于合力矩定理：平面任意力系的合力对平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。力系中各力对同一点的矩的代数和。3 3平面力系为平衡力系的情况平面力系为平衡力系的情况若若FR=0，MO=0，则原力系为平衡力系。则原力系为平衡力系。13在长方形平板的在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力（如图），试求以上四个力构成的力系对构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。14求向求向O点简化结果点简化结果建立如图坐标系建立如图坐标

7、系Oxy。所以，主矢的大小所以，主矢的大小1. .求主矢求主矢。152. 求主矩求主矩MO16由于主矢和主矩都不为零，所以由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力最后合成结果是一个合力FR。如图所示。如图所示。合力合力FR到到O点的距离点的距离17重力坝受力情况如图所示。重力坝受力情况如图所示。 G1=450kN，G2=200kN， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系向点求力系向点O简简化的结果，合力与基线化的结果，合力与基线OA的交的交点到点到O点的距离点的距离x，以及合力作用以及合力作用线方程。线方程。 9m3m1.5m3.9m5.7m3m90181.将力系向将力系向O

8、点简化，得点简化，得主矢和主矩，主矢和主矩，如右图所示。如右图所示。主矢的投影主矢的投影解：解：3m9m1.5m3.9m5.7m3m90力系力系主矢主矢FR的大小的大小19主矢主矢FR的方向余弦的方向余弦则有则有84.70主矢主矢FR在第四象限内，与在第四象限内，与x轴的夹角为轴的夹角为 70.84o。力系对力系对O点的主矩为点的主矩为202. 求合力与基线求合力与基线OA的交点到的交点到O点的距离点的距离 x。84.7084.70所以由合力矩定理得所以由合力矩定理得其中其中故故解得解得合力合力FR的大小和方向与主矢的大小和方向与主矢FR相同。相同。84.70合力作用线位置由合力矩定理求得。合

9、力作用线位置由合力矩定理求得。21设合力作用线上任一点的坐标为（设合力作用线上任一点的坐标为（x，y) )，将合力作用于此点，则将合力作用于此点，则3.求合力作用线方程。求合力作用线方程。84.70可得合力作用线方程可得合力作用线方程即即22 平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。和对任一点的主矩都等于零。 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的标轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代

10、数和也等于零。矩的代数和也等于零。 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3 3个个独立的平衡方程式。独立的平衡方程式。23伸臂式起重机如图所示，伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂匀质伸臂AB 重重G =2 200 N，吊，吊车车D，E连同吊起重物各重连同吊起重物各重F1= = F2=4 000 N。有关尺寸为：。有关尺寸为：l = = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，=25。试求铰链。试求铰链A对臂对臂AB的水平和铅直约束力，的水平和铅直约束力，以及拉索以及拉索BF

11、 的拉力。的拉力。24解：解：1. .取伸臂取伸臂AB为研究对象。为研究对象。2.2.受力分析如图。受力分析如图。253.3.选如图坐标系，列平衡方程。选如图坐标系，列平衡方程。264. .联立求解。联立求解。 FB = 12 456 N FAx = 11 290 N FAy = 4 936 N27如图所示为一悬臂梁，如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为固定端，设梁上受强度为为q的均布载荷作用，在自由端的均布载荷作用，在自由端B受一集中力受一集中力F和一力偶和一力偶M作用，梁的跨度为作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。，求固定端的约束力。q45282. 列平衡方程列平衡方程3. 解

12、方程解方程1. 取梁为研究对象，受力分析如图取梁为研究对象，受力分析如图解q45q4529 lq60G30B 60 q60G31B 6032B 6033 二力矩式：二力矩式： A、B两点的连线应不垂直两点的连线应不垂直于投影轴于投影轴x。 三力矩式：三力矩式： A、B、C必须是平面内必须是平面内不共线的任意三点不共线的任意三点 。341)1) 选取研究对象；选取研究对象；2)2) 画受力图；画受力图；3)3) 建立坐标轴；建立坐标轴；4)4) 列平衡方程求解未知量。列平衡方程求解未知量。注意：列平衡方程时矩心应选在多个未知力的交点上，坐注意：列平衡方程时矩心应选在多个未知力的交点上，坐标轴应当

13、与尽可能多的未知力垂直；利用合力矩定标轴应当与尽可能多的未知力垂直；利用合力矩定理求力对点之矩。理求力对点之矩。351.1.平面平行力系平面平行力系的定义：的定义：如果如果平面力系中各力的作用线相平面力系中各力的作用线相互平行，则称该力系为平面互平行，则称该力系为平面平行力系平行力系 。2.2.平面平行力系平面平行力系的平衡方程的平衡方程各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直A、B两点连线不能与力的两点连线不能与力的作用线平行作用线平行 36塔式起重机如图所示。机架重塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心。，作用线通过塔架的中心。最大起重量最大起重量G2=200

14、kN，最大悬臂长，最大悬臂长为为12m，轨道，轨道AB的间距为的间距为4m。平衡。平衡荷重荷重G3到机身中心线距离为到机身中心线距离为6 m。试。试问：问： (1)保证起重机在满载和空载时都保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重不翻倒，求平衡荷重G3应为多少应为多少? (2)当平衡荷重当平衡荷重G3=180 kN时，求时，求满载时轨道满载时轨道A，B给起重机轮子的约给起重机轮子的约束力？束力？AFBF371. 起重机不翻倒。起重机不翻倒。满载时不绕满载时不绕B点翻倒，临界情况下点翻倒，临界情况下FA=0，可得可得取塔式起重机为研究对象，受力分析取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。如

15、图所示。解：解：AFBF38空载时，空载时，G2 = 0，不绕不绕A点翻点翻倒，临界情况下倒，临界情况下FB = 0，可得可得保证起重机在满载和保证起重机在满载和空载时都不翻倒，则有空载时都不翻倒，则有AFBF75 kNG3350 kN392. 取取G3=180 kN，求满载时轨道，求满载时轨道A ，B给起重机轮子的约束力。给起重机轮子的约束力。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得AFBF40 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示

16、。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。411. .取汽车及起重机为研究取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。对象，受力分析如图。2. .列平衡方程。列平衡方程。解：解：424.不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：所以由上式可得所以由上式可得故故最大起吊重量为最大起吊重量为Gmax3. .联立求解联立求解。 43 由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统，由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统，称为物体系统。称为物体系统。内力内力组成系统的各个构件之间的相互

17、作用力，称为该组成系统的各个构件之间的相互作用力，称为该系统的内力。特点是成对出现。系统的内力。特点是成对出现。外力外力外界物体作用于这个系统的力，称为该系统的外力。外界物体作用于这个系统的力，称为该系统的外力。静定问题：未知数静定问题：未知数= =平衡方程数平衡方程数超静定问题：未知数平衡方程数超静定问题：未知数平衡方程数超静定次数超静定次数= =未知数未知数- -平衡方程数平衡方程数44三个独立方程，只能求三个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。 0iM平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程：0)(iOFM平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：平面汇交力系的平衡方程

18、：平面汇交力系的平衡方程：;0,0yxFF两个独立方程，只能求两个独立未知数两个独立方程，只能求两个独立未知数一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。;0,0yxFF45静定问题静定问题超静定问题超静定问题46静定问题静定问题1 1次超静定次超静定2 2次超静定次超静定选取适当的研究对象，进行受力分析，并列出响应的平衡方程。选取适当的研究对象，进行受力分析，并列出响应的平衡方程。物体系统平衡物体系统平衡组成物体系统的各个构件也是平衡的组成物体系统的各个构件也是平衡的如每个单体可列如每个单体可列3个平衡方程，设物系中有个平衡方程，设物系中有n 个物体，个物体，整个

19、系统可列整个系统可列 3n 个方程。个方程。解物系问题的一般方法解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部（常用）局部（常用），由局部由局部 整体（用较少）整体（用较少）47 48FAyFAxFCxFCyG 49FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE50如如图所示为曲轴冲床简图，由轮图所示为曲轴冲床简图，由轮I ，连杆连杆AB和冲头和冲头B组成。组成。A，B两处为铰链两处为铰链连接。连接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物。如忽略摩擦和物体的自重，当体的自重，当OA在水平位置，冲压力为在水平位置，冲压力为F时系统处于平衡状态。求：（时系统处于平衡状态。求：（1）作用）作用在轮在

20、轮I 上的力偶之矩上的力偶之矩M的大小；（的大小；（2）轴）轴承承O处的约束反力；（处的约束反力；（3）连杆）连杆AB受的力；受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。）冲头给导轨的侧压力。511. 取冲头为研究对象，受力分取冲头为研究对象，受力分析如图所示。析如图所示。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得522. 取轮取轮I为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得53如图所示组合梁由如图所示组合梁由AC和和CD在在C处铰接而成。梁处铰接而成。梁的的A端插入墙内，端插入墙内，B处铰接处铰接一二力杆。已知：一二力杆。已知：F=20 kN，均布载荷均

21、布载荷q=10 kN/m，M=20 kNm，l=1 m。试求。试求插入端插入端A及及B处的约束力。处的约束力。3060541. 以梁以梁CD为研究对象，受为研究对象，受力分析如图所示。力分析如图所示。列平衡方程列平衡方程解方程可得解方程可得30603060552. 以整体为研究对象，以整体为研究对象，受力分析如图所示。受力分析如图所示。列平衡方程列平衡方程3060联立求解方程可得联立求解方程可得56如图所示，已知重力如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮；定滑轮半径为半径为R，动滑轮半径为，动滑轮半径为r，且，且R=2r=l, =45 。试求：。试求：A，E支座的约束力及支

22、座的约束力及BD杆所受的杆所受的力。力。571. 选取选取整体整体研究对象，受力研究对象，受力分析如图所示。分析如图所示。列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程582. 选取选取DEC研究对象，受力研究对象，受力分析如图所示。分析如图所示。列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程2GFK59往复式水泵如图所示。电动机作用在齿轮往复式水泵如图所示。电动机作用在齿轮上的转矩为上的转矩为M，通过齿轮，通过齿轮带动曲柄滑块机构带动曲柄滑块机构O1AB。已知。已知 r1=50 mm，r2=75 mm ,O1A=50 mm，AB=250 mm，齿轮的压力角为，齿轮的压力角为 20o ，当曲柄当曲柄 O1

23、A 位于铅垂位置时，作用在活塞上的工作阻力位于铅垂位置时，作用在活塞上的工作阻力FH=600 N，求这时的转矩，求这时的转矩M，以及连杆，以及连杆AB所受到的压力和轴所受到的压力和轴承承O及及 O1 的约束力。各零件自重及摩擦均略去不计。的约束力。各零件自重及摩擦均略去不计。 601. 取取B 活塞为研究对活塞为研究对象，受力分析如图。象，受力分析如图。列平衡方程列平衡方程解：解：由几何尺寸有由几何尺寸有解得解得61列平衡方程列平衡方程2. 2. 取齿轮取齿轮为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。解得解得20F62列平衡方程列平衡方程3 3. 取齿轮取齿轮为研究对象，受力分析如为

24、研究对象，受力分析如图。图。解得解得20FOx63 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点常数，它与坐标轴与取矩点 的选择无关。的选择无关。 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧选研究对象；选研究对象； 画受力图（受力分析）；画受力图（受力分析）； 选坐标、取矩点、列平衡方程；选坐标、取矩点、列平衡方程； 解方程求出未知数。解方程求出未知数。 取矩心最好选在未知力的交叉点上；取矩心最好选在未知力的交叉点上； 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。 注意问题注意问题小结小结：对物系的解题步骤与技巧：对物系的解题步骤与技巧：64选研究对象的

25、原则：选研究对象的原则： 由所选的研究对象列出的平衡方程所含的未知数尽可能由所选的研究对象列出的平衡方程所含的未知数尽可能地少，最好是每一方程中只含有一个未知数，以避免求解联地少，最好是每一方程中只含有一个未知数，以避免求解联立方程。立方程。v 一般说来对于由杆件系统组成的结构物，可先取，解出部分未知数后，列出另外的平衡方程，求出待求的所有未知量；v 对于机构往往可以从已知到未知，。v 对于包含有固定端约束的情况,应.65仅由杆件组成的系统仅由杆件组成的系统桁架桁架66桁架桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。67桁架的优点：结构轻，充分发挥材料性能。桁架的优点：结构轻，充分发挥材料性能。68总杆数总杆数m总节点数总节点数n力学中的桁架模型力学中的桁架模型 ( 三角形有稳定性三角形有稳定性69平面复杂（超静定）桁架平面复杂（超静定）桁架平面简单（静定）桁架平面简单（静定）桁架非桁架（机构）非桁架（机构）70关于平面桁架的几点假设：关于平面桁架的几点假设：1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内