函数的连续性(131)课件

1、函函数数的的连连续续性性第四章第四章连续性概念连续性概念第一节第一节一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量0000( )(, ),(, ),f xUxxUxxxxx 设函数在内有定义称为自变量在点的增量.0( )(),( )yf xf xf xx 称为函数相应于的增量.xy0 xy00 xxx 0)(xfy 0 xxx 0)(xfy x y x y xy自变量或函数的增量可正可负也注可以为零2.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有

2、时时使使当当1sin,0,1( )00,0,.xxf xxxx例 试证函数在 处连续2( )( )0.f xxD xx例 试证函数在点连续2,0,3( )02,0,.xxf xxxx例 讨论函数在处的 连续性3.单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 4.连续函数与连

3、续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .( , ),( ) , a bxaxbf xa b如果函数在开区间内连续 并且在左端点处右连续在右端点处左连续 则称函数在闭区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间4sin(,).yx 例 证明函数在区间内连续25.yx例用方法验证的连续性00( )(),( )f xU xf xx若在内有定义

4、 则在 不连续的正面陈述0lim( )xxf x不存在00lim( )()xxf xf x二、函数的间断点二、函数的间断点0( )f xx函数在点 处连续必须满足的三个条件:;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 00,( )(),( )().f xxxf x如果上述三个条件中只要有一个不满足则称函数在点处不连续 或间断并称点为的不连续点 或间断点1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxf

5、xfxxf 例6.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxfoxy.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例7.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 2.可去间断点可去间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与

6、可去间断点统称为第一类间断点.0.x函数在点处的左、右极限都存在特点00( ),( ).f xxxf x如果在点处的左、右极限至少有一个不存 在 则称点为函数的第二类间断点3.第二类间断点第二类间断点1,0,8( )0.,0,xf xxxxx例 讨论函数在处的连续性例91( )sin0.f xxx讨论函数在处的连续性解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间xy1sin , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型三、区间上的连续性三、区间上的连续性3、区间上的分段连续性、区间上的分段连续性1、开区间上的连续性、开区间上的连续性