函数的极值和最值(2)课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第五节第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂函数的极值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0) (或f(x)f(x0) 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 。x1x2x3x4x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.函数的极值是

2、函数的局部性质.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值,那么f (x0)0. 驻点驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理1(必要条件) 思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 思考: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(

3、xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf点击图中任意处动画播放暂停确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(

4、xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)

5、( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例例2 求函数f(x)(x21)31的极值 解 f (x)6x(x21)2 令f (x)0 求得驻点x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因为f (0)60 所以f (x)在x0处取得极小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 所以用定理3无法判别 因为在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值 1xy1山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂试问 为何值时,

6、axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: : )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值,并指出它是极大例例3山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: 若函数f(x)在闭区间a b上连续 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x

7、1) f(xn) f(b) ; (3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(大) 值 . 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例4. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,12

8、9223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂( k 为某一常数 )例例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(km

9、)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问DKm ,公路, 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 假设某工厂生产某产品x千件的成本是售出该产品x件的收入是解解: 由题意，售出x千件产品的利润是即令而在得发生局部处达到最大利润，又故在,156)(23xxxxc,9)(xxr问是否存在一个能取得最大利润生产水平？若存在，找出这个水

10、平.).()()(xcxrxp, 0)()()(xcxrxp).()(xcxr0242 xx解得, 22284x,586. 0221x.414. 3222x,126)( xxp, 0)(1 xp, 0)(2 xp.414. 32x586. 01x最大亏损.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8

11、 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf最值点应在

12、极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .2. 连续函数的最值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂思考与练习思考与练习1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 .D山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂3. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)