第五确定信念纳什均衡

1、第五章第五章 确定信念：纳什均衡确定信念：纳什均衡 本章重点: 纳什均衡定义纳什均衡的条件和评价 纳什均衡的运用前言： 在此之前我们已经学习了严格占优策略、IESDS和可理性化三种解概念，其中严格占优策略的假设是理性，而IESDS和可理性化的假设除了理性外还需要理性的共同知识这样假设。此外，只要存在严格优势均衡，该均衡必然是IESDS和可理性化过程之后剩下的唯一结果。但我们应该也已察觉到，这些解概念都存在不尽如意之处，在很多博弈中他们都无法取得很好的效果。因此，本章我们将信念和行动结合在一起，并最终给出博弈论中最为核心、也最为著名的解概念纳什均衡。本章主要内容 一、纯策略纳什均衡 纳什均衡定义

2、 纳什均衡条件 用划线法寻找纳什均衡 纳什均衡评价 二、纳什均衡的运用 猎鹿博弈 公地悲剧 古诺均衡 贝特兰德双寡头一、纯策略纳什均衡 纳什均衡是信念和行动剖面的一个系统，其中每一个参与人都在针对其信念采取最优反应，而除此之外参与人具有的还要是正确的信念。定义纳什均衡的另外一种常见的方式则并不涉及信念，而是将它就看成是一个策略剖面，这个策略剖面是每个参与人针对所有其他参与人的策略而选择的最优反应。1、纳什均衡定义：纯策略剖面 是一个纳什均衡纳什均衡，如果对于所有的 ， 是 一个最优反应，也即对于所有的 和所有的 有： 在囚徒困境博弈中，唯一的纳什均衡是（F，F）；在前面我们所讨论过的古诺双寡头

3、博弈中唯一的纳什均衡是（ ）=（30,30）。 2、严格优势、IESDS、可理性化和纳什均衡结果之间的关系 考虑一个策略剖面 。如果 具备以下三种情况之一， 一个严格优势策略均衡， IESDS过程之后所剩下的唯一结果， 唯一的可理性化策略剖面， 那么 就是唯一的纳什均衡。3、纳什均衡的条件如下： 每个参与人都根据其信念采取最优反应。 参与人关于其对手的信念是正确的。 第一个条件是理性的直接结果。第二个条件是非常严格的，也是对我们到目前为止所讨论条件的一个巨大的飞跃。4、用划线法寻找矩阵中的纯策略纳什均衡我们来看以下这一两人有限博弈的矩阵形式： 不难看出，这个博弈中没有劣策略，所以严格优势就不适

4、用于这个博弈。出于同样的原因，IESDS和可理性化会给出一切皆可能发生的结论。 首先我们用划线法来寻找均衡，整个过程可以由下面这三个步骤来极好的得到解释： 步骤1：对于每一列而言，都是参与人2的策略，可以从中找到对参与人1来说最高的支付项，并在最高支付下画一条横线。由此我们可得： 我们可以看到有三个纯策略对，其中参与人1都选择了最优反应：（D,L）、（M，C）和（M,R）。步骤2：对于每一行而言，都是参与人1的策略，可以从中找到对参与人2来说最高的支付项。 参与人2在三个策略对中采取了最优反应：（D,C）、（M,C）和（U,R）。步骤3：如果任意矩阵项既有下划线又有上划线，那么它就是一个纯策略

5、纳什均衡的结果。我们发现（M,C）是唯一一个纯策略纳什均衡它是唯一一个两个参与人都选择了最优行为的纯策略对。5、对纳什均衡的评价、对纳什均衡的评价 具有广泛的应用范围，但唯一性得不到很好的保障，也不能保证帕累托最优性。五、纳五、纳什均衡的经典运用什均衡的经典运用 1、猎人博弈 有两个猎人，即参与人1和参与人2，他们每人都可以选择猎鹿（S），这可以提供一顿丰盛而且美味的鹿肉享用，或者选择打野兔（H）也很美味，但是就不是那么丰盛了。猎鹿是一件很有挑战性而且也需要相互合作的活动。如果只有一个人猎鹿，胜算几乎可以忽略，而打野兔是一个人就可以完成的事情，不需要两个人合作来完成。因此猎鹿对整个社会更有益，

6、但是需要猎人之间彼此“信任”，彼此相信其他人会和自己一起戮力以赴。这个博弈常被称为是猎鹿博弈猎鹿博弈，可以由下面这个矩阵来描述：容易看到，这个博弈有两个纯策略均衡：（S，S）和（H，H）。不过，从（S，S）中得到的支付帕累托优于从（H，H）中得到的支付。那么，为什么（H，H）也会成为一个合理的预测呢？这的确是纳什均衡概念的优长所在。如果每一个参与人都预期到其他人不会一起努力，那么他知道单独一人出去猎鹿几乎不可能成事，所以打野兔就会更好。这一信念最终导致个人主义的社会无法通过合作来取得更好的结果。与之相对照的是，如果参与人期待其他人和他一起合作去猎鹿，那么这一预期是自实施的，而且会得到一个可称之

7、为合作社会的结果。2、公地悲剧公地悲剧 公地悲剧指的是稀缺资源方面的冲突，源自个体自利和公共利益之间的紧张关系。哈丁举了一个假想的例子，一群牧民共有一块牧场，每个牧民都想最大化其收益，尽可能的扩大其牲畜规模。而多增加一头牲口在给其主人带来正的效应的同时，也会带来成本，因为多增加的牲畜会降低牧场的整体质量，而这一成本却是由所有其他牧民一起承担的。结果，对于每个牧民来说，个体的激励是不断扩大其牲畜规模，最终这一结局是为每个人都带来了重大的损失。对于那些受过经济学训练的读者来说，这不过是“搭便车”问题导致扭曲的另一个例子罢了。它也会让你联想起囚徒困境博弈，在其中，由自利动机驱动的个体会为整个群体带来

8、伤害。 假设这个世界上有n个参与人，比如说企业，它们每一个都在选择生产多少产量。其生产活动反过来也会消耗我们这个星球上的一部分清洁空气。清洁空气的总量等于K，对清洁空气的任何消耗都会从这一公共资源中得到。每一个参与人i选择其为生产而必须消耗的清洁空气的量， ，因此剩下的清洁空气量为 。消费 给参与人i带来的收益等于 ，没有其他人从i的选择中受益。每一个参与人也都要享受对剩余清洁空气的消费，这为每个人带来收益 。因此，从选择 中参与人i得到的支付等于：这意味着如果我们推导出了所有n个最优反应对应，而且它们是函数（唯一的最优反应），那么我们就有了一个n个方程的方程组，每一个都表示一个参与人的最优反

9、应函数，有n个未知数，这正是每一个参与人的选择。求解这个方程组可以得到一个纳什均衡。为了得到参与人i的最优反应函数（而且你可以证明它确实是一个函数），我们可以将参与人支付函数的一阶条件写下来：这给了我们参与人i的最优反应函数：因此我们有n个这样的方程，每个参与人一个方程，如果我们代之以 而不是 ，我们可以得到有n个未知数的n个方程，然后需要对这个方程组进行求解。 我们只对两参与人情况进行求解，令 表示参与人i的最优反应，我们有两个最优反应方程： 和 这两个方程我们把它们画这两个方程我们把它们画在图在图5.1中中正如该图所示，参与人j消费的越多，参与人i打算消费的就越少。特别的，如果参与人2什么

10、都不消费（符合效率的不存在），那么参与人1就会消费 ，而随着参与人2的消费量朝着K不断增加，那么参与人1的消费量则会朝向0不断减少。如果我们对这两个最优反应函数联立求解，那么我们会找到唯一的一个纳什均衡，这个均衡有两个参与人，选择的量为 现在我们可以问这个两人社会是否可以变得更好这个问题了。每个参与人消费k/2 是太多了还是太少了呢？回答这些问题的正确方式是使用帕累托标准：我们能否找到另外一个可以让每个人都变得更好的消费剖面呢？如果可以，我们就能将那个更好的消费剖面和这个纳什均衡相比较。为了找到这样的剖面，我们可以使用一点小技巧：将所有支付函数的加和进行最大化，这我们可以视为“世界的支付函数”

11、 。我们不打算就这个方法的使用进行道德上的辩护，但这样做的确是很有用的。 (一般而言，最大化效用函数之和，或最大化总福利，会带来帕累托最优结果，但是它并非是唯一的一种方法。) 因此，我们要最大化的函数是： 这个问题的一阶条件是： 和 联立求解这两个方程，可以得到 和 的帕累托最优选择。这两个方程的唯一解是 ，它的意思是从社会的角度来看，纳什均衡中两个参与人每个人都消耗了过多的清洁空气。事实上，如果每一个人消耗 而不是 那么对两个人来说都会更好一些。 这样，正如哈丁所给出的，让人们自由选择可能会使得他们人人境况更差，而如果这些选择受到些管制会比较好。当然，我们是否能够相信一个管制者可以掌控局势是

12、一种反对的理由；如果管制者无法控制局势，问题就变成了我们如何两害相权取其轻了，而这个问题的答案则非博弈论所能给出。3、古诺双寡头让我们再来回顾一下古诺博弈，其中需求函数为 ，成本函数为 ，其中企业i 。当企业i相信其对手选择了产量 时，它所面对的最大化问题是：回忆下每个企业的最优反应函数，它可以由一阶条件给出，因此有：这意味着每个企业都像下面这样选择产量： 和 产量对 是互为最优反应，它必然是一个古诺-纳什均衡，当我们联立求解两个最优反应函数（5.2）时它这个结果就会给出。图5.2中给出的最优反应函数描述了我们前面求解的那种特殊情况，其中a=100，b=1，而 ，在这种情况下唯一的纳什均衡是

13、。值得注意的是，纳什均衡与IESDS和可理性化过程后仅剩下的唯一策略是一致的。4、贝特兰德双寡头贝特兰德双寡头古诺模型假设企业选择产量，而市场价格自动调整以出清需求。然而，我们也可以认为企业经常是选择价格水平，而让消费者从中做出购买决策，而不是设定好产量，等待着市场价格来均衡需求。我们现在考虑这样一个博弈，于其间每个企业都给为无差别的产品给出一个价格。这种情况曾被约瑟夫贝特兰德（1883）予以模型化并进行分析过。和之前一样，我们假设需求由p=100-q给出，成本函数为 ，企业i 。显然，我们可以预期所有的购买者都会从那个出价最低的企业那里购买产品。如果价格一样，那该怎么办？我们假定如果两个企业

14、出价相等，则两个企业平分整个市场。 这给出了以下这个标准式博弈： 参与人参与人：N=1,2。 策略集策略集： ，其中 ，而企业选择价格 。 支付支付：为了计算支付，我们需要知道每个企业的产量是多少。给定我们对价格相等时的假设，产量由下式给出： 这反过来意味着支付函数可以由下式给出： 现在对这个博弈的描述已经完成，我们可以尝试这来计算每个企业的最优反应函数。为了做到这一点，我们从现实角度入手来做一点小小的修正：假设价格不能是任意非负的实数，而应该限制在某些较小的数值的增加上，譬如 ，这意味着策略集（价格集）是 。举个例子，如果我们考虑一分钱为价格增量，那么 ，则策略集就是 。我们很快就会看到当这

15、个较少的面值 变得非常小、近乎为零时会发生什么。 我们可以计算垄断价格，这个假设是最大化没有竞争对手的单个企业的利润时的价格。这可以通过最大化下式得到： ，其一阶条件为 ，由此得到最优价格p=55，其产量为q=45，利润等于2025美元。 我们现在转过来讨论有两个企业的双寡头情况 A、首先考虑 的情况。很容易可以看出，企业i可以表现的好像没有竞争一样：只需要将价格设在垄断价格55的水平上即可得到全部市场份额。至此，我们可以推断，如果 ，那么企业i的最优反应就是将价格设定在 上。 B、也可以很轻松的看到，在 这种情况下，企业i的最优反应是将价格设得比企业j更高一点。如果它要价 ，则它可以在低于其

16、成本的价格上卖出正的数量，反而会使得企业i损失货币。如果它要价 ，则它什么都卖不出去，当然也没有任何损失。 C、现在考虑 。，企业i可以选择以下三个选择项之一：要么设定价格 而什么也得不到，要么设定 而平分市场，要么设定价格 而得到整个市场。并不难得出的结论是，企业i希望以低于企业j的价格来进行销售，从而得到整个市场，这个目标可以通过将价格设定为 。 D、我们可以来探讨两种最终的情况： 和 。 需要考虑的这三个选项是： 或 。 当 时，刚好低于企业j的价格意味着将价格设定在 上，这给企业i带来零利润，和将价格设定 在任意的 上是一样的。这样一来，最优反应就是设定为 ，并以较低的利润平分市场。

17、最后如果 ，那么任何 的价格选择都只能使得企业i获得零利润，而设定 则会带来损失。因此，任何 的价格都是当 时的最优反应。或 总之，我们可以计算得到： 现在，给定企业j的最优反应是对称的，那么就不难看出存在两个纳什均衡，可以直接从下面这个最优反应函数形式中得到：对 的最优反应是 ，而对 的最优反应则是 或 。这样，这两个纳什均衡就是：这一分析所带来的信息颇具震撼力：一个企业可能会有垄断势力，但是如果我们多加入一个企业进行竞争，而且是在价格上进行竞争，那么这个市场就会表现出竞争性的特征如果两个企业都选择价格为10美元，那这个价格正好等于边际成本！要注意，如果我们加上第三个、第四个企业进去也不会改

18、变这一结果；价格将会是10美元不变（或者几乎等同的10.01美元），对所有纳什（贝特兰德）均衡中的企业来说都是如此。这不和古诺竞争大不一样，在古诺竞争中只要企业的数目不是最够多，它们就可以获得一定程度上的市场势力。 注意：当 时，参与人1对于任何他选择的10和10以上的价格并无差异：如果 他平分市场而无利润，如果他令 则失去所有市场也没有利润。如果参与人2选择 ，那么 参与人1 任何选择 和 一起构成了一个纳什均衡。这是不对的！因为如果 则 就不会是参与人2针对 的最优反应。则 贝特兰德博弈的结果和古诺博弈的结果比较 在古诺博弈下（产量竞争），唯一的纳什均衡是 。计算显示总产量 ，我们可以得到

19、需求价格p=40，而每一个企业都可以得到利润900美元。在贝特兰德博弈下(价格竞争），这两个可能出现的纳什均衡要么两个人都选择定价10美元从而得到零利润，要么选择定价10.01美元得到微不足道的一点利润额（大约0.45美元）。在古诺博弈和贝特兰德博弈之间存在一个有趣的差别。在古诺博弈中，每个参与人的最优反应函数是向下倾斜的。也就是说，参与人j生产的越多，参与人i的最优反应数量就越低。然而，在贝特兰德博弈中，对于边际成本（在主体例子中是10）和垄断价格（等于45）之间的价格而言，参与人j设定的价格越高，参与人i的最优反应价格越高。这些差异在文献中业已受到不少关注。一个参与人的最优反应随着其他人的选择而递减的博弈，像古诺博弈，被称为是策略替代博弈策略替代博弈（games with strategic substitutes）。策略替代博弈的另一个例子是公地悲剧博弈。