喀蔚波医用物理学课件05章静电场

1、第五章 静电场库仑定律高斯定理静电场力的功 电势静电场中的电介质静电场的能量电是一种现象, 人们通过毛皮与琥珀的磨擦和对自然界闪电的观测发现了这一现象一.电荷的根本性质 电荷是构成物质的根本粒子的一种性质, 不能脱离物质而存在. 只存在两种电荷正电荷和负电荷, 同种电荷相斥, 异种电荷相吸.5-1 库仑定律 电荷量子化 (charge quantization )1906-1917年,密立根用液滴法首先在实验上证明了电量的变化是不连续的.微小粒子带电量 Q = N e .根本电荷 e 1.60210-19C C 是电量的单位, 称库仑; 它是由安培(A)导出的, 导线内流有1A电流, 1s内流

2、过导线横截面的电量为1C 电荷的相对论不变性带电粒子的电量不因其运动状态的变化而发生变化. 电荷守恒定律 (law of conservation of charge)在一个和外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.电荷守恒定律是物理学中的根本定律二.库仑定律1785年, 库仑通过扭称实验得到.表述为:在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力大小, 与它们的电量的乘积成正比, 与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线, 同号电荷相斥, 异号电荷相吸.以F12表示电荷q1对电荷q2的作用力, q1q2q1q2表示由电荷q1指向电荷q2的单位矢量, 那

3、么而电荷q2受到电荷q1的作用力F21为两静止点电荷间作用力满足在国际单位制中, K写成0 8.8510-12 C2 N-1 m-2 , 称为真空电容率, 也称为真空介电常数库仑定律是一实验定律, 其精确性已经受了各种检验, 它在原子尺度内也是适用的, 可正确描述电子与原子核间的作用力.而且对于原子结合成分子; 原子、分子聚合成固体液体的力也可给出正确说明在早期的实验中, r 的指数并不严格地等于2, 差值大约在0.020.04左右. 从公式的形式上看库仑定律与万有引力公式相同引力公式通过类比, 物理学家确信库仑定律中 r 的指数应严格等于 2. 现在的实验证明这个偏差不大于10-16多电荷的

4、作用力-静电力叠加原理实验证明, 静电力满足叠加原理如图: q 电荷受力为对于点电荷系对某电荷q的作用可表示为q1q2qF1F2Fr2r1qiq对于电荷连续分布的带电体, 可将带电体分割成假设干小带电体dq,带电体对某电荷 q 的作用可视为dq作用的叠加, 表示为rdqQ三.电场 电场强度法拉第提出近距作用, 并提出力线和场的概念(一).电场 (electric field) 电荷在其周围产生电场, 对存在于该电场内的其它电荷施加作用.1.电场的根本性质 对放其内的任何电荷都有作用力 电场力对移动电荷作功2. 静电场 相对于观察者静止的电荷产生的电场 是电磁场的一种特殊形式(二).电场强度 (

5、electric field intensity)电场强度是描述场中各点电场的强弱的物理量. 以单位电荷在电场中的受力来描述：一空间带电体, 电量为Q, 考察P点的场强, 为此引入一试验电荷q放到P处, 测量试验电荷受力状况QPq试验电荷应满足的条件为： 电量充分地小 线度足够地小P点处试验电荷受力为实验说明： P点比值 与试验电荷无关电场强度定义为单位 N/C 或V/mQPq点电荷在电场中受的电场力电场强度与源电荷及场点位置有关, 试验电荷在此仅为辅助的工具, 与电场的存在与否无关.电场是矢量场, 可用一空间坐标的矢量函数表示这样的函数表达了空间中各点的电场强弱及方向, 表达了电场在空间的分

6、布(三).电场强度的计算1.点电荷的场强公式根据库仑定律和场强的定义由库仑定律由场强定义由上述两式得Qq试验电荷 点电荷的电场特点: 球对称; 以1/r2衰减qQ从源电荷指向场点r 能等于 0 吗？场强方向为正电荷受力方向由场强定义qiq2.场强叠加原理任意带电体的场强可根据电力叠加原理和场强定义求得如果带电体由 n 个点电荷组成, 如图由电力叠加原理整理后得场强叠加原理表述为：电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢量和). 对于点电荷系假设带电体是电荷连续分布的, 如图示把带电体看作是由许多个电荷元组成, 然后利用场强叠加原理.其中 为电荷体密度rdqQ 线电荷密度注意：

7、电荷密度是带电体内电荷的分布函数, 不一定是常量带电体电荷的分布：电荷密度 体电荷密度 面电荷密度例1 长为 l 均匀带电直线, 电荷线密度为求：如下图 P 点的电场强度解：在坐标 x 处取一个电荷元dq该点电荷在 P 点的场强方向如下图大小为xOdxrlPax由于各电荷元在 P点的场强方向一致那么场强大小直接相加xOdxrlPax例2 均匀带电圆环(电量Q, 半径R)轴线上的场强解：在圆环上任取电荷元dq由对称性分析知垂直 x 轴的场强为0 xOzydqRx假设 x R点电荷其中例3 求半径为R, 面电荷密度为 的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强. 可利用上题结果Rxprodrdqx将此

8、圆盘分解成一系列宽度为 dr 的同心圆环, 同心圆环上的电量为2rdr, 在p点的场强为dE上题的结论Rxprodrdqx当x R点电荷例4. 电偶极子中垂线上的电场强度电偶极子是由相距很近的等量异号点电荷组成的带电体系. 由负电荷到正电荷的矢径称为电偶极子的轴线, 轴线与其中一个电荷的绝对值的乘积称为电偶极矩.电偶极子是某些实际带电体的物理模型, 如H2O分子的电特性可看作是一电偶极子, 包括生物大分子等.“相距很近是相对于我们在多大距离处观察它.-q+q电偶极矩-q+qP取中垂线上任意点P, 距偶极子为r由场强叠加原理, P点场强为由于 r l , r r-, r+-q+qP由于q与l 的

9、乘积不变那么电偶极子的电性质不变, 电偶极矩是描述电偶极子特征的物理量电偶极子的电场强度以1/r3衰减, 比点电荷电场强度衰减快 电场是矢量场一.电场线用一族空间曲线形象描述场强分布, 通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)1.规定 方向：电场线上每一点的切线方向 大小：在电场中任一点, 取一垂直于该点场强方向的面积元, 使通过单位面积的电场线数目, 等于该点场强的量值.5-2 高斯定理假设面积元不垂直电场强度, 电场强度与电场线条数、面积元的关系怎样？以dS表示面元的大小, d表示电场线条数, 那么由上面的

10、规定可得dS由图可知：通过dS和dS电场线条数相同dSdS为dS的法线, 那么2.电场线的性质 电场线起始于正电荷(或无穷远处), 终止于负电荷, 不会在没有电荷处中断; 两条电场线不会相交; 静电场的电场线不会形成闭合曲线.这些根本性质由静电场的根本性质和场的单值性决定的, 可用静电场的根本性质方程加以证明. 二.电通量 (electric flux)借助电场线认识电通量按前面对电场线的规定, 电通量可定义为通过任一面的电场线条数 通过任意面积元的电通量在流体一章中, 用流速线来描绘流场, 流场是速度的矢量场；对于电场这一矢量场, 用电场线来描绘, 在这一点上两者具有相似性.流场中通过任一面

11、元的流量为与之相对应, 通过任一面元的电通量就可定为 通过任意曲面的电通量怎么计算？将给定曲面 S 分成许多个小面积元, 每一面元处视为匀强电场, 那么 dS 处的电通量为将上式对整个曲面积分, 得曲面S的电通量S电场线穿入电场线穿出 通过闭合面的电通量规定：面元方向由闭合面内指向面外S1.表述在真空中的静电场内, 任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0 .三. 高斯定理 Gauss theorem先证明点电荷的场, 然后由库仑定律和叠加原理推广至一般电荷分布的场1) 场源电荷是点电荷2.高斯定理的证明 以点电荷为中心以 r 为半径取一球形闭合面(如图示)球面上场强处处相等各

12、处场强方向垂直该处球面特点qS面上场强为过球面的电通量为因球面上场强处处相等, 上式写为因场强方向垂直球面qS过球面的电通量为 取任意闭合面S包围点电荷q, 由电通量的电场线解释可知：过任意闭合面的电通量与过球面的电通量相等, 如图SS有2)场源电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷(如图示)由图中可见, 电场线穿越此闭合面, 进入与穿出闭合面的电场线条数相等.电场线进入闭合面的这一区域的电通量为负, 电场线穿出闭合面的区域的电通量为正, 且两者绝对值相等, 那么过此闭合面的全部电通量为“0Sq3)任意场源和面如图, 这一带电体系由多个点电荷q1, q2, , qk, , qn组成, 这一体系

13、的电场根据叠加原理可得任取一闭合面S包围其中q1, q2, , qk电荷过闭合面S的电通量为S根据前面的证明, 上式前 k 项的和为k+1项到 n项的和为 0由此可得1.闭合面内、外电荷的奉献对E都有奉献2.静电场性质的根本方程 有源场3.源于库仑定律 高于库仑定律对电通量的奉献有差异只有闭合面内的电量对电通量有奉献讨论非静电场也适用四. 高斯定理的应用均匀带电的球面均匀带电的无限长的柱面, 带电线无限大均匀带电平板, 平面对电荷的分布具有某种对称性的情况下利用高斯定理求解 E 较为方便 常见的电量对称性分布有： 例1 均匀带电球面, 半径为R, 总电量为Q. 求：电场强度分布根据电荷分布的对

14、称性分析可知, 距球面等距离处场强相等, 且场强垂直球面, 选取过任意点 P 的以球心 O 为心的球面解:QROPS计算过此面的电通量根据高斯定理带电球面内外场强表达式不同E = 0QROPS得到无限大均匀带电平板，电荷密度SSSSEE两块无限大均匀带电平板，电荷密度-一.静电场力作的功电场对处于其中的电荷有作用力, 假设移动这些电荷, 电场力可能作功.在点电荷q的电场中, 取一试探电荷q0由a点移至b点的过程中, 电场力作的功为：qrbraab5-3 静电场的功 电势qrbraabdrcos dl=dr 由此看到, 电场力作功只由被移动电荷的起点、终点的位置决定, 与移动的路径无关, 因此静

15、电场是保守力场.在点电荷系的电场和电荷连续分布的电场中, 结论也是如此. 如右图q1q2q0bara1ra2rb1rb2更普遍的形式静电场的环路定理表述为静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 二.静电场的环路定理(Circulation theorem )在静电场中, 沿闭合路径 L 移动电荷 q , 电场力作功环路定理是静电场的根本方程, 可用环路定理检验一个电场是不是静电场. 环路定理要求静电场的电场线不能闭合. 静电场是保守场, 无旋场.电场线电场线如图电场是静电场吗？一试探电荷q0在静电场中由a点移动至b点, 在此过程中静电力对q0所做的功Aab等于电势能的减少. 电势能应属于q

16、0和产生电场的场源电荷所共有.三.电势1.电势能静电场是保守力场, 可引入电势能的概念.静电力作功和势能增量的关系为 选参考点的原那么：当源电荷分布在有限范围内时, 参考点一般选在无穷远. 对于实际问题, 如电器等可选机壳或大地为参考点.静电力(或外力)作功给出了势能的变化量. 电势能的具体量值那么需要给出参考点势能零点. 假设令b点电势能为0, 那么q0在电场中某点 a 的电势能为2.电势(electric Potential)电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移至参考点过程中电场力作的功. 电势是表征电场性质的物理量, 是由场源电荷决定的, 与试探电荷的存在与否无关.电势的量值与电势零

17、点的选择有关, 电势零点即是电势能的零点 3.电势差(Electric Potential difference)即两点间的电势之差静电场中由a 到 b 移动电荷, 电场力作功为电势是空间位置的标量函数, 即U=U(x, y, z)单位: 伏特(V) 1Vl JC-1 4.电势的计算当带电体系的电场分布时, 可根据电势定义求电势的分布 点电荷电场的电势点电荷场强选无穷远处为电势零点qPr特点:球对称、有正负 任意带电体电势电势叠加原理由定义各带电体在场点P产生的电场为分别E1、E2、 场点P的电势电势叠加原理: 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加.注意：各带电体的电势零点必须

18、相同.电荷离散分布电荷连续分布例1 计算电量为Q均匀带电球面的电势 如图解：均匀带电球面电场的分布为假设场点选在球内 即 r RRPrQORUrO球面内等电势,等势体球面外与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同例2 计算电量为 Q 的带电圆环中心处的电势解：在圆环上任取一电荷元dq那么电荷元在中心的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势dqRQO思考：上题中是否要求电量分布均匀？球面中心如何？圆弧如何？两同心带电球面的电势如何计算？QQ 电偶极子电场的电势根据电势叠加原理, P点的总电势应为 -q+qP根据电偶极子的定义知r+l, r-l, rl, 故可认为r+ r- r2, r+ -

19、r- lcos , p = ql 电偶极子电场中的电势与电矩成正比.说明电矩是表征电偶极子整体电性质的物理量. 电偶极子的电势与r的平方成反比.说明电偶极子的电场比起点电荷的电场, 其电势随r的变化更快. 电偶极子电场中电势的分布与方位有关.以电偶极子轴线的中垂面为零势面而将整个电场分为正、负两个对称的区域, 正电荷所在一侧为正电势区；负电荷所在一侧为负电势区.电偶极子电场的电势分布特点： 例3.平行板电容器两板间的电势差解：平行板电容器内部的场强为两板间的电势差ds-s5.等势面由电势相等的点组成的面叫等势面 当常量C取等间隔数值时, 在电场中可以得到一系列的等势面, 这些面间的电势差相等等

20、势面的疏密反映了电势变化的快慢程度这些点满足在等势面上任意相距dl的两点间有dUEcosdl0, 但E 0, dl 0, 那么 =/2.即等势面必与电场线垂直 电场线与等势面的关系(1)电场线处处垂直等势面q电场线等势面(2)电力线从高电势处指向低电势处(3)等势面密处场强大四.电场强度与电势的关系在电场中任取相距很近的两等势面A, B, 且UA UB UA= UB-dU现有一实验电荷q0由a点沿dl移动到b点, 电场力作功为得到aUBUAbb假设选取与电场方向相反的n方向, 那么方向导数为 有显然, 沿不同方向电势的变化率是不同的, 沿n方向电势变化率最快 电势沿 l 方向的增加率, 称方向

21、导数El为a点电场强度沿dl方向的分量aUBUAbb 电势梯度矢量 电势沿增加最快的方向的变化率, 记作U或grad U 方向：电势增加最快的方向大小：沿该方向的电势变化率 场强和电势梯度的关系 由前面的分析可知aUBUAbb电场强度矢量等于电势梯度矢量的负值利用上述的结论, 在电势分布函数时可以求解电场分布例如点电荷的电势q直角坐标下梯度算符 因此有依导物质电性质的不同可分为： 导体(conductor)存在大量的可自由移动的电荷 绝缘体 (dielectric) 理论上认为没有自由移动的电荷 也称 电介质 半导体( semiconductor)介于上述两者之间本章讨论电介质对电场的影响5-

22、4 静电场中的电介质一.电介质的微观图象有极分子 H2O, HCl无极分子 He, H2, CO2无外场时：有极分子无极分子+ -二.电介质的极化1.无电场时介质分子热运动, 紊乱, 呈电中性2.有电场时有极分子介质取向极化共同效果是介质边缘出现电荷分布无极分子介质位移极化此电荷称极化电荷 或称 束缚电荷电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度. 排列愈有序说明极化愈烈3.极化强度取宏观上小微观大的体积元V定义单位 C/m2每个分子的电偶极矩为极化强度矢量 对于各向同性线性电介质有e介质的电极化率r介质的相对电容率4.极化强度与极化电荷的关系在已极化的介质内任意作一闭合面S, S 将把位于S 面附近的电介质分子分为两局部:一局部在 S 内, 一局部在 S 外. 电偶极矩跨越 S 面S 以位移极化为例，在S面上取一小面元dS, 以dS为底, 以电偶极子轴长l为斜高作一柱体, 如图示在dS附近薄层内认为介质均匀极化, 分子数密度为n, 柱体内的分子数为 nldScos由于极化, 穿过dS的电荷量为l如果 /2 落在柱面内的是负电荷如果 /2 落在柱面内的是正电荷在S所围的体积内的极化电荷q与P的关系柱面内的极化电荷l均匀极化不均匀极化电介质外表极化电荷面密度如果dS在位于介质的外表,那么外表极化电荷面密度为l为外表法向矢量三