椭圆几何性质2

1、标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称

2、长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 + =1，求椭圆的离心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c带公式求带公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 变式训练1： 若椭圆 + =1的离心率为1/2，求m

3、的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0eb0)+ =1(ab0)的三个顶点为的三个顶点为B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2 (0(0，b),A(a,0),b),A(a,0),焦点焦点F(c,0)F(c,0)且且B B1 1F FABAB2,2,求该椭圆的离心率。求该椭圆的离心率。22ax22byB B2 2 (0(0，b)b)B B1 1 (0(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(

4、c,0)F(c,0)x xoy y 练习 2 ：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法： 方程的思想，转化的思想高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点，P为直线 x= 上一点， F2 P F1是底角为30的等腰三角形， 求该椭圆的离心率。22ax22bya23F2 (c,0)xoyF F1 1 (-c,0) (-c,0)x=3a/2x=3a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a

5、/2六.课后练习2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.3.3.已知椭圆的两个焦点为已知椭圆的两个焦点为F F1 1和和F F2 2，A A为椭圆上一为椭圆上一点点 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求该椭圆的，求该椭圆的离心率。离心率。1.1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6 6，则椭圆的方程则椭圆的方程 为为（ ）32e 120y36x22 15

6、y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率差数列，则其离心率e=_已知椭圆 的离心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 82 ka92b12 kcx 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 满足条件的 或 4k45k练习2：已知椭圆 的离心率 ，求 的值 ）（111522kkykx21ek练习3：例例4

7、 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到定直的距离和它到定直线线l l:x = :x = 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹。42554xyoFMlF1l( (椭圆的第二定义椭圆的第二定义) )准线方程：准线方程：cxa2 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M

8、的的轨迹是长轴、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方，化简得平方，化简得 ：222,:acb令可化得若点若点F F是定直线是定直线l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于等于常数常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画第二定义第二定义

9、 直线直线 叫做椭圆相应于焦叫做椭圆相应于焦点点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相应于焦点，相应于焦点F F1 1( (c c，0)0)的准线方程是的准线方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究2axc2axc2axc 2axc椭圆的准线与离心率椭圆的准线与离心率离心率离心率：椭圆的准线椭圆的准线 ：2axc2222:1(0)yxa bab 思考又如何呢?ceaoxyMLLFF离心率的范围离心率的范围：01e相对应焦点相对应焦点F F（c,0c,0），准线是：），准线是：相对应焦点相对应焦点F F（- c,0- c,0），准线是：），准线是：2axc2axc

10、1.1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、几何意义：几何意义：a a- -长长半半轴、轴、b b- -短短半半轴、轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率； 相互关系：相互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2.2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3.3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线），（共两条线），准线准线222bacace 焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !课堂小结课堂小结ca2ca2-准线准线 1 椭圆椭圆 + =1 + =1 上一点上一点P P到到右准线的距离为右准线的距离为10,10,则则: :点点P P到左焦点的到左焦点的距离为距离为( )( ) A.14 B.12 C.10 D.8 A.14 B.12 C.10 D.81002x362y 【答案】6例3：22594511312FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值变式变式2234121112FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则则:离心率离心率e=_2离心率离心率e=