第二章（函数连续性学习教案

1、会计学1第二章（函数连续性第二章（函数连续性第一页，编辑于星期二：十五点 二十四分。1 变量在一点处的改变量（增量）：变量在一点处的改变量（增量）：设设函函数数)(xfy 自变量的改变量：自变量的改变量：,0000 xxxxxxxxx 即即：为为处处自自变变量量的的改改变变量量，记记称称为为在在点点则则将将终终值值自自变变量量从从初初始始值值变变到到因变量的改变量：因变量的改变量：)()(,0 xfxfyx 因因变变量量的的改改变变量量为为相相应应地地，时时当当自自变变量量的的改改变变量量为为)()(00 xfxxfy 或或xxx0或：第1页/共40页第二页，编辑于星期二：十五点 二十四分。x

2、y00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy ，则则自自变变量量从从例例如如：变变到到31, 12 xy;213 x8)11()13()1()3(22 ffy，则则又又：自自变变量量从从变变到到23 ; 132 x5)13()12()3()2(22 ffy，则则又又：自自变变量量从从变变到到21 ;312 x3)11()1)2()1()2(22 ffy第2页/共40页第三页，编辑于星期二：十五点 二十四分。强调：强调：可可正正可可负负；或或 yx ;没没有有必必然然的的正正负负关关系系与与一一般般地地，yx 乘乘的的关关系系。是是一一个个整整体体，勿勿看看成成

3、相相或或 yx 第3页/共40页第四页，编辑于星期二：十五点 二十四分。定义定义1.)(0lim)(000处处连连续续在在点点，则则称称的的某某邻邻域域内内有有定定义义，且且在在点点如如果果函函数数xxfyyxxfyx .)()()(lim)(0000处处连连续续在在点点，则则称称的的某某邻邻域域内内有有定定义义，且且在在点点如如果果函函数数xxfyxfxfxxfyxx 定义定义2注释：注释：定义表明：定义表明： 处处连连续续在在点点0)(xxfy;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ;)(10存存在在）（xf（1）函数在一点的连续性定义）函数在一点的连续

4、性定义第4页/共40页第五页，编辑于星期二：十五点 二十四分。处处连连续续在在点点证证明明：例例031xxy 证明：证明：,0 xx 处处取取得得增增量量设设在在)()(00 xfxxfy 则则：3030)(xxx 32020)()(33xxxxx yx 0lim)()(33lim320200 xxxxxx 0 处处连连续续在在点点03xxy 第5页/共40页第六页，编辑于星期二：十五点 二十四分。的的某某邻邻域域内内有有定定义义：在在点点设设函函数数0)(xxfy 左连续：左连续：.)()()(lim000处处左左连连续续在在点点，则则称称若若xxfyxfxfxx .)(0lim00处处左左

5、连连续续在在点点，则则称称若若xxfyyx 0 xxy0左连续左连续第6页/共40页第七页，编辑于星期二：十五点 二十四分。右连续：右连续：.)()()(lim000处处右右连连续续在在点点，则则称称若若xxfyxfxfxx .)(0lim00处处右右连连续续在在点点，则则称称若若xxfyyx 0 xxy0右连续右连续第7页/共40页第八页，编辑于星期二：十五点 二十四分。0 xxy0左连续左连续0 xxy0右连续右连续0 xxy0连续连续重要结论：重要结论：.右右连连续续左左连连续续函函数数在在一一点点连连续续 第8页/共40页第九页，编辑于星期二：十五点 二十四分。处处的的连连续续性性及及

6、在在，讨讨论论设设：例例11)(1311121)(2 xxxfxxxxxxxf解：解：处处：在在1 x )1(f11)1(2 )(lim1xfx xx1lim1 )1( f;1)(处处左左连连续续在在 xxf )(lim1xfx)12(lim1 xx11)1(2 )1( f;1)(处处右右连连续续在在 xxf.1)(处处连连续续在在 xxf第9页/共40页第十页，编辑于星期二：十五点 二十四分。11)(1311121)(处处的的连连续续性性。及及在在，讨讨论论设设 xxxfxxxxxxxf处处：在在1 x )1(f213 )(lim1xfx)12(lim1 xx3112 )1(f 处处不不左左

7、连连续续，在在1)( xxf.1)(处处不不连连续续在在 xxfxy011313第10页/共40页第十一页，编辑于星期二：十五点 二十四分。处处的的连连续续性性在在，讨讨论论设设：例例0)(000)(321 xxfxxexfx解：解：0)0( f2100lim)(limxxxexf 0 )0(f .0)(处处连连续续在在 xxf第11页/共40页第十二页，编辑于星期二：十五点 二十四分。处处连连续续在在使使得得，确确定定常常数数设设：例例0)(02sin01011sin)(4 xxfaxaxxxxxxxf解：解：1)0( f )(lim0 xfx)11sin(lim0 xxx1 )0(f 处处

8、左左连连续续；在在0)( xxf )(lim0 xfx)2sin(lim0axxx axxx 22sin2lim02a 2第12页/共40页第十三页，编辑于星期二：十五点 二十四分。处处连连续续，必必须须右右连连续续，在在要要使使得得0)( xxf)0()(lim0fxfx 12 a1 a处处连连续续在在时时0)(1 xxfa第13页/共40页第十四页，编辑于星期二：十五点 二十四分。定义：定义：内内连连续续：在在开开区区间间),(ba;),()(),()(内内连连续续在在开开区区间间一一点点都都连连续续，则则称称内内每每在在开开区区间间若若baxfybaxfy 上上连连续续：在在闭闭区区间间

9、,ba上上连连续续在在点点左左连连续续，则则称称在在点点右右连连续续且且在在连连续续内内在在开开区区间间若若,)(,),()(baxfybabaxfy 注释：注释：表表示示上上的的连连续续函函数数常常用用闭闭区区间间,)1(baCba上的连续函数上的连续函数是是表示表示,)(,)(baxfbaCxf 第14页/共40页第十五页，编辑于星期二：十五点 二十四分。在在其其定定义义域域上上处处处处连连续续证证明明：例例xysin5 证明：证明：为为定定义义域域上上任任意意一一点点，设设0 x,0 xx 处处取取得得增增量量且且在在)()(00 xfxxfy 则则：00sin)sin(xxx 2sin

10、)2cos(20 xxx ;02sinlim0 xx有有界界)2cos(20 xx 02sin)2cos(2lim00 xxxx0lim0 yx即即：,sin0处处连连续续在在xxy 在在其其定定义义域域上上处处处处连连续续的的任任意意性性，再再由由xyxsin0 第15页/共40页第十六页，编辑于星期二：十五点 二十四分。注释：注释：（2）函数在一点处极限存在与连续的关系：）函数在一点处极限存在与连续的关系：存存在在点点连连续续在在)(lim)(00 xfxxfxx第16页/共40页第十七页，编辑于星期二：十五点 二十四分。.)(,)(00的的间间断断点点为为称称点点则则的的连连续续点点不不

11、是是函函数数如如果果点点xfxxfx间断点：间断点：1 概念概念 处处连连续续在在点点0)(xxfy;)(10存存在在）（xf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 第17页/共40页第十八页，编辑于星期二：十五点 二十四分。：有以下三种情形有以下三种情形的间断点的间断点为为,)(0 xfx;)()1(0不不存存在在xf;)(lim)2(0不不存存在在xfxx).()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在存存在在第18页/共40页第十九页，编辑于星期二：十五点 二十四分。分析：分析：;)()1(0不不存存在在xfxy

12、o0 x第19页/共40页第二十页，编辑于星期二：十五点 二十四分。;)(lim)2(0不不存存在在xfxx 相相等等左左右右极极限限都都存存在在，但但不不 存存在在，但但为为左左右右极极限限至至少少有有一一个个不不xy1sin 为为至至少少有有一一个个不不存存在在也也不不xyo0 xoxy0 xoxy0 x第20页/共40页第二十一页，编辑于星期二：十五点 二十四分。).()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在存存在在xy00 x第21页/共40页第二十二页，编辑于星期二：十五点 二十四分。分类如下：分类如下：xyo0 xxy0 xo第一类间断点：

13、第一类间断点：左右极限都存在的间断点左右极限都存在的间断点oxy0 x可可去去型型间间断断点点跳跳跃跃型型间间断断点点称称为为跃跃度度)(lim)(lim00 xfxfxxxx 则则连连续续，设设 00)(lim)()(0 xxxfxxxfxgxx第22页/共40页第二十三页，编辑于星期二：十五点 二十四分。xyo0 xoxy0 xxy1sin 左右极限至少有一个不存在的间断点左右极限至少有一个不存在的间断点第二类间断点：第二类间断点：无无穷穷型型间间断断点点（此此处处为为振振荡荡型型）非非无无穷穷型型间间断断点点第23页/共40页第二十四页，编辑于星期二：十五点 二十四分。总结：总结： 非非

14、无无穷穷型型无无穷穷型型第第二二类类间间断断点点跳跳跃跃型型可可去去型型第第一一类类间间断断点点间间断断点点左左右右极极限限都都存存在在一一个个不不存存在在左左右右极极限限至至少少有有第24页/共40页第二十五页，编辑于星期二：十五点 二十四分。xxfxxfxxxfxxxxxxf1sin)(41)(311)(2020002)(162 ）（）（）（）（，并并判判断断类类型型对对下下列列函函数数找找出出间间断断点点例例解：解： 可可能能是是间间断断点点时时函函数数均均连连续续，只只有有及及000 xxx, 0)0( f)(lim0 xfx )2(lim0 xx)0(2f )(lim0 xfx )2

15、(lim0 xx)0(2f （1）是是第第一一类类跳跳跃跃型型间间断断点点0 x）（且且跃跃度度为为422 第25页/共40页第二十六页，编辑于星期二：十五点 二十四分。11)(22 xxxf）（是是间间断断点点不不存存在在，因因此此1)1( xf)(lim1xfx11lim21 xxx2)1(lim1 xx是是第第一一类类可可去去型型间间断断点点1 xxxf1)(3 ）（是是间间断断点点不不存存在在，因因此此0)0( xf)(lim0 xfxxx1lim0 是是第第二二类类无无穷穷型型间间断断点点0 x第26页/共40页第二十七页，编辑于星期二：十五点 二十四分。xxf1sin)(4 ）（是

16、是间间断断点点不不存存在在，因因此此0)0( xf)(lim0 xfxxx1sinlim0 振荡型不存在振荡型不存在是是第第二二类类振振荡荡型型间间断断点点0 x第27页/共40页第二十八页，编辑于星期二：十五点 二十四分。并并讨讨论论类类型型。的的间间断断点点，问问何何处处是是设设例例)(,2212)(711xfxfxx 解：解：;0)0(是是间间断断点点不不存存在在，因因此此 xf.1)1(是是间间断断点点不不存存在在，因因此此 xf)(lim0 xfx 2212lim110 xxx)02 ,1,0(1 xxx时时21 第28页/共40页第二十九页，编辑于星期二：十五点 二十四分。)(li

17、m0 xfx 2212lim110 xxx)2 ,1,0(1 xxx时时xxx110221211lim 1 )(lim0 xfx )(lim0 xfx 是是第第一一类类跳跳跃跃型型间间断断点点0 x第29页/共40页第三十页，编辑于星期二：十五点 二十四分。2212)(11 xxxf)(lim1xfx2212lim111 xxx01222lim111 xxx 2212lim111xxx )(lim:1xfx即即是是第第二二类类无无穷穷型型间间断断点点1 x第30页/共40页第三十一页，编辑于星期二：十五点 二十四分。1 连续函数的四则运算法则连续函数的四则运算法则定理定理1：两个连续函数的和、

18、差、积、商仍是连续函数两个连续函数的和、差、积、商仍是连续函数证明：证明：只对和的情况证明：只对和的情况证明：连连续续在在点点连连续续，要要证证在在点点、设设00)()()()(xxgxfxxgxf )()()(xgxfxF 设设存存在在，、)()(00 xgxf存存在在)(0 xF)()(lim)(lim00 xgxfxFxxxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx )()(00 xgxf )(0 xF 连连续续在在点点即即0)()()(xxgxfxF #第31页/共40页第三十二页，编辑于星期二：十五点 二十四分。推论：推论： 任意有限个连续函数的和、差、积、商仍是任意有限个连续函

19、数的和、差、积、商仍是连续函数连续函数注释：注释：商的情况下要求分母不为商的情况下要求分母不为0都都连连续续知知连连续续，再再由由定定理理、由由定定义义可可知知xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan1cossin 三角函数在定义区间上连续三角函数在定义区间上连续第32页/共40页第三十三页，编辑于星期二：十五点 二十四分。2 反函数的连续性反函数的连续性定理定理2 ：原函数连续则反函数也连续原函数连续则反函数也连续反三角函数在定义区间上连续反三角函数在定义区间上连续3 复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3 ：连续函数复合后仍是连续函数连续函数复合后仍是连续函数结论：结论：

20、一切初等函数在其定义区间上连续一切初等函数在其定义区间上连续由定义可知：由定义可知：其它基本初等函数在其定义区间上连续其它基本初等函数在其定义区间上连续)()(lim)(000 xfxfxxfxx 则则是是其其定定义义区区间间上上的的点点，是是初初等等函函数数，且且若若第33页/共40页第三十四页，编辑于星期二：十五点 二十四分。的的连连续续区区间间）（或或：求求的的连连续续性性讨讨论论设设例例)()(,2sin21)(821xfxfxxxexfx 解：解：),()( 的的定定义义域域为为xf）上上连连续续，在在定定义义区区间间（是是初初等等函函数数，21)(211 xexf上上连连续续在在定定义义区区间间是是初初等等函函数数，), 2sin)(2 xxf 的的连连续续性性只只要要考考察察在在2 x12sin)2( f第34页/共40页第三十五页，编辑于星期二：十五点 二十四分。)(lim2xfx )1(lim212 xxe)2(1f )(lim2xfx xx sinlim2 2sin )2