普通物理学第五版4-3力矩___刚体定轴转动定律

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动4-2刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量4-3 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律ZrAFO转动平面MrFMZM 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴力矩轴力矩ZMMFsinrFM FrM对对O O 点的力矩点的力矩：F4-3 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律1. 1. 力矩力矩 力不在转动平面内力不在转动平面内注注 （1 1）在定轴转动问题中在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力是指力在转动平面内

2、的分力对转轴的力矩。对转轴的力矩。FrM 只能引起轴的只能引起轴的变形变形, 对转动无贡献对转动无贡献。1Fr转动平面Fr1F2F)(21FFr21FrFr力矩力矩 是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。sinrd dFrFMZ22sin（2 2） （3 3） 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，1F在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。 （4 4）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+ +、- -号表示。号表示。转动平面1FF2Fr力矩力矩 2. 2. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛

3、顿第二定律，可得：OiFifiiimir对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元im-外力外力iF- -内力内力ifiiiim afF采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：sinsiniiiiiii iFfmamr O定轴转动定律定轴转动定律用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：ir2sinsini iii iii iFrf rmr 设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：2111sinsin()NNNi iii iii iiiiFrf rmr 根据内力性质

4、根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线, ,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零) )，得：，得：0sin1Niiiirf定轴转动定律定轴转动定律211sin()NNi iii iiiFrmr得到：得到： 上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M M 表表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以体转动惯量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到ddMJJt刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律定轴转动定律定轴转动定律讨论：讨论：

5、（4 4）J J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。 （3 3）J J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；ddMJJt惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1） M M 一定，一定，J J定轴转动定律定轴转动定律例题例题4-5 4-5 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为两端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1

6、，物体，物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，顺时针方向旋转，Mr r的指向如图所示。可列出下列方的指向如图所示。可列出下列方程程JMrTrTamTGamGT12222111式中式中 是滑轮的角加速度，是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得ra 定轴转动定律定轴转动定律mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212mmmrMgmmmagmT

7、21/212122111而而定轴转动定律定轴转动定律rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0时，有时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1和

8、和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小，这样就能角精确地测出这样就能角精确地测出a来。来。定轴转动定律定轴转动定律例题例题4-6 4-6 一半径为一半径为R R，质量为，质量为m匀质圆盘，平放在匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度令圆盘最初以角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdr d e解解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布

9、在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm= rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。定轴转动定律定轴转动定律此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是3200232RegdrrdegdrredrgdmgrMR因因m= e R2，代入得，代入得mgRM32根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度获得负的角加速度.定轴转动定律定轴转动定律dtdmRJmgR22132设圆盘经过时间设圆盘经过时