矩阵的标准型及分解ppt课件

1、第三章第三章 矩阵的规范形与假设干分解方矩阵的规范形与假设干分解方式式1 1 矩阵的类似对角形矩阵的类似对角形2 2 矩阵的约当规范形矩阵的约当规范形3 3 哈密顿哈密顿- -开莱定理及矩阵的最小多项式开莱定理及矩阵的最小多项式4 4 多项式矩阵与史密斯规范形多项式矩阵与史密斯规范形5 5 多项式矩阵的互质性与既约性多项式矩阵的互质性与既约性6 6 有理分式矩阵的规范形及其仿分式分解有理分式矩阵的规范形及其仿分式分解7 7 系统的传送函数矩阵系统的传送函数矩阵* *8 8 舒尔定理及矩阵的舒尔定理及矩阵的QRQR分解分解9 9 矩阵的奇特值分解矩阵的奇特值分解 规范型的实际源自矩阵的类似性，由

2、于类似矩规范型的实际源自矩阵的类似性，由于类似矩阵有许多类似不变量：特征多项式、特征值包括代阵有许多类似不变量：特征多项式、特征值包括代数重数和几何重数、行列式、迹及秩等，并且特征数重数和几何重数、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的类似变换矩阵相互求出。这向量也可以借助于可逆的类似变换矩阵相互求出。这自然导出了寻觅类似矩阵集合中的自然导出了寻觅类似矩阵集合中的“代表矩阵的问代表矩阵的问题。题。“代表矩阵当然越简单越好。对于可对角化矩代表矩阵当然越简单越好。对于可对角化矩阵，阵，“代表矩阵就是特征值组成的对角矩阵。特别代表矩阵就是特征值组成的对角矩阵。特别地，对于正规矩阵，可逆的类

3、似变换矩阵特殊化为酉地，对于正规矩阵，可逆的类似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：普通矩阵矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：普通矩阵未必与对角矩阵类似！未必与对角矩阵类似！n3.2、矩阵的、矩阵的Jordan规范型规范型由于普通矩阵与对角矩阵不类似，因此我由于普通矩阵与对角矩阵不类似，因此我们们“退而求其次，寻觅退而求其次，寻觅“几乎对角的矩几乎对角的矩阵。这就引出了矩阵在类似下的各种规范阵。这就引出了矩阵在类似下的各种规范型问题，其中型问题，其中Jordan规范型是最接近对规范型是最接近对角的矩阵，只在第角的矩阵，只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了矩

4、阵类似的本质，实际上、计算弄清楚了矩阵类似的本质，实际上、计算上以及运用上的许多问题就容易处置了，上以及运用上的许多问题就容易处置了，当然破费也大了。当然破费也大了。一、一、 Jordan规范型的概念规范型的概念VT11( )()()smms CVT12()smmmn AA)()(iiimTNKeEr 那么那么 可分解成不变子空间的直和可分解成不变子空间的直和这里这里12sVNNN排排 V1122(),(),()ssJdiag JJJ 适中选取每个子空间适中选取每个子空间 的基称为的基称为JordanJordan基，基，那么每个子空间的那么每个子空间的JordanJordan基合并起来即为基合

5、并起来即为 的的JordanJordan基，并且基，并且 在该在该JordanJordan基下的矩阵为块对角基下的矩阵为块对角阵阵ViNV称称 为为 的的Jordan规范型。并称方阵规范型。并称方阵JA1(),1, 2 ,1iiiiiiimmJis 为为 阶阶Jordan 块。块。im11( )()()smms 12()smmmn n nAC A1PAPJ 那么那么 可经过类似变换化成独一的可经过类似变换化成独一的 Jordan规范型规范型 (不计不计Jordan块的陈列次序块的陈列次序)，即存在可逆矩阵，即存在可逆矩阵(称为称为Jordan变换矩阵变换矩阵) 使使n nPC AJ或者或者 有

6、有JordanJordan分解分解A1APJP 二、二、 Jordan规范型的一种简易求法规范型的一种简易求法1122(),(),()AttJdiag AAA 把把 的同一个特征值的假设干个的同一个特征值的假设干个Jordan块陈列在一块陈列在一同，就得到同，就得到Jordan规范型规范型A12()tnnnn 12(),(),()iiiiiikdiag JAJJ 其中其中 是是 阶的阶的Jordan子矩阵，有子矩阵，有 个个阶数为阶数为 的的Jordan块，即块，即()iiA inik12()iiii ji kinnnnn 12(,)tPppp 其中其中 是是 阶的矩阵。阶的矩阵。ipinn

7、根据根据 的构造，将的构造，将Jordan变换矩阵变换矩阵 列分块为列分块为AJP由由 ，可知，可知AAPP J () (1,2, )iiiiiApApt 12(,)iiiikipppp 进一步，根据进一步，根据 的构造，将的构造，将 列分块为列分块为ip()iiA 其中其中 是是 阶矩阵。阶矩阵。i jnn (1, 2,)i jijpk 由由 ，可知，可知()iiiiA pp A ()(1,2,)ijiiji jJkpjAp ()(1)(2)(,)i jini ji jji jpppp 最后，根据最后，根据 的构造，设的构造，设()jiJ 由由 ，可知，可知()i ji jjipAJp (

8、)( )( )12()(11)()()()i ji jii jii ji jii ji jnnAI pAIppAIpp ()(2)(1),i jni ji ji jppp解这个方程组，可得到解这个方程组，可得到Jordan链链这个称号也可以这样了解：这个称号也可以这样了解：()(1)(1)iiijjiiiAIAIAInnijijiAIjppp A其中，其中， 是矩阵是矩阵 关于特征关于特征值值 的一个特征向量，的一个特征向量， 那么称为那么称为 的广义特征向量的广义特征向量,称称 为为 的的 级根向量。级根向量。i ()(2),i jni ji jpp(1)(1,2,)ii jjpk i i

9、i ()i jni jpi jn当一切的当一切的 时，可知时，可知 ，此时矩阵没，此时矩阵没有广义特征向量，有广义特征向量， 的各列是的各列是 的线性无关的特的线性无关的特征向量，因此征向量，因此Jordan块块 都是一阶的，此时都是一阶的，此时Jordan规范型为规范型为 即矩阵即矩阵 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。特殊的可对角化矩阵。211212,(,),tntntndiagJ i ipiikn 1i jn ( ) (1, ;ijiJjk )1,it A110430102A 例例 3 3 求矩阵求矩阵 的的 JordanJord

10、an规范型规范型 和相应的和相应的JordanJordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中APAJ解：解： 特征值特征值为为 ，所以设，所以设A1232,112(2)(1)AAJA 由于特征值由于特征值 为单根，所以为单根，所以12 1(2)2A 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为(2 )AI x 1(0,0,1)T 211(1)01A 对于二重特征值对于二重特征值 ，由，由231 只解得独一的特征向量为只解得独一的特征向量为()AI x 2(1,2, 1)T 因此因此 中只需一个中只需一个Jordan块，即块，即2(1)A求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向

11、量2()AI(0,1, 1)T 对重根有几个特征向量，就有几个约旦块010200021,011111001APJ 综合上述，可得综合上述，可得112212313432d xxxd td xxxd td xxxd t 例例 4 4 用用 JordanJordan规范型实际求解线性微分规范型实际求解线性微分方程组方程组解：解： 方程组的矩阵方方程组的矩阵方式为式为d xAxd t 这里这里312123(,) ,(,) ,TTdxdxdxdxxxxxdtdtdtdt 110430102A 010200021,011111001APJ 其中其中由上例，存在可逆线性变换由上例，存在可逆线性变换 使得使得

12、xP y 1APAPJ 所以原方程组变为所以原方程组变为111Ad yd xPPAxPAP yJyd td t 即即31212332,d yd yd yyyyyd td td t 解得解得221122333,ttttyc eyc ec teyc e 最后，由可逆线性变换最后，由可逆线性变换 得原方程组的解得原方程组的解xP y 123223231232(21)(1)tttttttxc ec texc ectexc ec ec te xAxBuyCxDu 例例 5 5 现代控制实际中，线性定常系统现代控制实际中，线性定常系统(Linear time invariant , LTI )(Linea

13、r time invariant , LTI )的形状空间的形状空间描画为描画为这里矩阵这里矩阵 表示了系统内部形状变量之间的联络，表示了系统内部形状变量之间的联络，称为系统矩阵；矩阵称为系统矩阵；矩阵 称为输入矩阵或控制矩阵；称为输入矩阵或控制矩阵；矩阵矩阵 称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵 称为直称为直接观测矩阵。接观测矩阵。ABCD1111PxBPxPxuxuyCP xDuPAPC xADuB 做可逆线性变换做可逆线性变换 ，那么，那么 显然，最简单的显然，最简单的 就是就是 的的Jordan规范型。此时规范型。此时虽然没有实现形状变量间的完全解耦，但也到达了能虽

14、然没有实现形状变量间的完全解耦，但也到达了能够到达的最简耦合方式。因此线性变换就是形状空间够到达的最简耦合方式。因此线性变换就是形状空间的基底变换，其目的在于寻觅描画同一系统的运动行的基底变换，其目的在于寻觅描画同一系统的运动行为的尽能够简单的形状空间描画。为的尽能够简单的形状空间描画。AAxP x 010000102301xAxBuxu 求以下形状方程的约当规范型：求以下形状方程的约当规范型： 这里矩阵这里矩阵 是特征多项式是特征多项式 的友矩阵。的友矩阵。A|IA 解：解：的特征值为的特征值为 ，故设，故设A1232,1 12(2)( 1)AAJA 由于特征值由于特征值 为单根，所以为单根

15、，所以12 1(2)2A 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为(2 )AI x 32|32(2)(1)0IA1(1,2,4)T 211( 1)01A 只解得独一的特征向量为只解得独一的特征向量为对于二重特征值对于二重特征值 ，由，由2,31 ()AI x 2(1, 1,1)T 因此因此 中只需一个中只需一个Jordan块，即块，即2( 1)A 求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向量2()AI(1,0, 1)T 111200210,011411001APJ综合上述，可得综合上述，可得112112529633P 因此经过可逆线性变换因此经过可逆线性变换 后，系统矩

16、阵后，系统矩阵 和和控制矩阵控制矩阵 分别为分别为 AxP x B1200011001APAPJ 1211 .91P BB 2111213211011122A 例例 6 6 求矩阵求矩阵 的的 JordanJordan规范型规范型 和相应的和相应的JordanJordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中APAJ12(2)(1)AAJA 由于特征值由于特征值 为单根，所以为单根，所以10 1(0)0A 解：解： 的特征值的特征值为为 ，那么，那么 A12340,1 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为(0)AI x 1( 1,3,1, 2)T 2111( 1)11111A 或或对于三

17、重特征值对于三重特征值 ，由，由2341 解得两个特征向量为解得两个特征向量为( 1)AI x 23(1,0,0, 1) ,(0,1,0, 1)TT 因此因此 中有两个中有两个Jordan块，即块，即2( 1)A 求解求解 ，无解！，无解！2(+ )A I 求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向量3(+ )A I ( 1 0,1,0)T ，综合上述，可得综合上述，可得1101030101,10011121101APJ 综合上述，可得综合上述，可得1101030101,10011121101APJ 要特别留意的是，假设选取三重特征值要特别留意的是，假设选取三重特征值 的特征向量

18、为的特征向量为2341 32(1,0,0, 1) ,(1, 1,0,0)TT 求解求解 ，无解！，无解！2(+ )A I 求解求解 ，也无解！，也无解！3(+ )A I (1)(1)(1)12,iiiikppp这阐明，在选取特征值这阐明，在选取特征值 的的 个特征向量个特征向量iki 前述求法显然存在有待深化。前述求法显然存在有待深化。iki 这阐明，在选取特征值这阐明，在选取特征值 的的 个特征向量个特征向量iki 三、三、 Jordan规范型的普通方法规范型的普通方法1()()kkiirank AIrank AI 有非零解的最小正整数。有非零解的最小正整数。1(),()kkiiAIxAIx

19、 根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特征值征值 的最大的最大Jordan块的阶数。块的阶数。i 设设 为复方阵为复方阵 的代数重数为的代数重数为 的特征值，的特征值， 为为使得等式使得等式i i kA成立的最小正整数成立的最小正整数(称为特征值称为特征值 的目的的目的)，即使得，即使得i (),0,1,2,ttirrank AIt 3计算计算 。 1,1,2,tttddtk 10;kd 按此计算出的按此计算出的 就是就是 阶阶Jordan块块 的个的个数。不计顺序，就独一确定了相应的数。不计顺序，就独一确定了相应的Jordan规范型。规范型。

20、t t()tiJ 规定规定 。1计算计算0rn 2计算计算 直至出现直至出现 1,1,1tttdrr tk 1(),()kkiiAIxAIx 那么那么12340,2,0,1. 12344,10,7,438,2inrrrkr 那么可得最长的那么可得最长的Jordan链链取取 满足满足1ip321111()()()iiiiiiiAIpAIpAI pp ，. .至于相应的子矩阵至于相应的子矩阵 的构造，我们经过一个例子来的构造，我们经过一个例子来阐明。假定阐明。假定ip这里这里对于另外两条长为对于另外两条长为 2 的的Jordan链，可这样选取：链，可这样选取：2233()(,;,.)iiiiiiA

21、I ppAI pp 1232(1),(2)()(),2,3iiililiiipppAIplAI p 线线性性无无关关；且且. .2111213211011122A 例例 7 7 求矩阵求矩阵 的的 JordanJordan规范型规范型 和相应的和相应的JordanJordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中APAJ12(2)(1)AAJA 由于特征值由于特征值 为单根，所以为单根，所以10 1(0)0A 解：解： 的特征值的特征值为为 ，那么，那么 A12340,1 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为(0)AI x 1( 1,3,1, 2)T 对于三重特征值对于三重特征值 ，计算

22、得，计算得2341 4(1,0, 1,0) ,T 12122,1,22,1,.krr 从而得最长的从而得最长的Jordan链链44()(0, 1,0,1) ,(1,0, 1,0) .TTAI 解解 得非零向量得非零向量2(),()AIxAI x 2(1, 1,0,0) .T 1244(,(),)PAI 显然显然 线性无关。线性无关。24, 解解 得非零向量得非零向量1()AIx 令令1101311010012010 可以验证成立等式可以验证成立等式101111APAPJ 3.3、 Cayley-Hamilton定理及其运定理及其运用用Jordan规范型的计算复杂，而特征多项式规范型的计算复杂，

23、而特征多项式与之关系亲密。由于与之关系亲密。由于Cayley和和Hamilton发发现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多项式现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多项式相当于零因子式，因此类比多项式的相当于零因子式，因此类比多项式的带余除法实际，以适当的零化多项式为商，带余除法实际，以适当的零化多项式为商，将矩阵多项式转化为相应的余式，从而降将矩阵多项式转化为相应的余式，从而降低多项式的次数，就成了另一种思绪。低多项式的次数，就成了另一种思绪。一、一、Cayley-Hamilton定理定理( ) An()AO A()f AO ( )f ( )f 显然矩阵显然矩阵 的特征多项式的特征多项式 是矩是矩阵阵 的

24、一个零化多项式。的一个零化多项式。AA( )| IA= =- -110430,102A 例例 3 3 求矩阵求矩阵 的矩阵多项的矩阵多项式式 ，其中，其中A()f A5432()46663.f AAAAAAI 解：解： 矩阵矩阵 的特征多的特征多项式为项式为A32( )|452IA 令令5432( )46663f 那那么么()AO 可知可知2( )(1) ( )1f 210420101AI 2()() ()f AAIAAI 因此因此二、最小多项式二、最小多项式minimal polynomial)AA( )m 例如矩阵例如矩阵(2 )(4 )AIAIO- - -= =332152130A 的最

25、小多项式的最小多项式 ，由于，由于( )(2)(4)m =-=-( ) A( )m AA( )m 定理定理5 5阐明可以从矩阵的特征多项式中寻觅矩阵的阐明可以从矩阵的特征多项式中寻觅矩阵的最小多项式。最小多项式。A( )f ( )( )( )( )f q m r = =+ +因此因此()()()()f Aq A m Ar A= =+ +由于由于()()f Am AO= = =所以所以()r AO= =由于由于 的次数小于的次数小于 的次数，所以的次数，所以( )r ( )m ( )0r = =A( )m AA( )m A特征值与类似关系严密，类似矩阵的特征多项式特征值与类似关系严密，类似矩阵的

26、特征多项式一样，那么类似矩阵的最小多项式呢？答案是也一样，那么类似矩阵的最小多项式呢？答案是也一样。所以求矩阵的最小多项式就转化为求其一样。所以求矩阵的最小多项式就转化为求其JordanJordan规范型的最小多项式。但遗憾的是具有一规范型的最小多项式。但遗憾的是具有一样最小多项式的矩阵未必是类似的样最小多项式的矩阵未必是类似的( (为什么？为什么？) )。假设假设 有特征对有特征对 ，那么，那么A( , ) O= = =1110kkkA bAb Ab- - -= =+ + + + +L L1110kkk bb b- - -= =+ + + + +L L( )m = =1110()kkkAbA

27、b Ab I - - -+ + + + += =L L( )m A 因此因此( )0m = = 那么那么 的最小多项式为的最小多项式为A( )nd AA( )m n11( )|()()smmsIA 11( )()()sddsm 这里这里 为为 的的JordanJordan规范型规范型 中包含中包含 的的 最大最大JordanJordan块的阶数，即目的。块的阶数，即目的。i idAJ110430102A 例例 8 8 求矩阵求矩阵 的的 最小多项最小多项式式 ，其中，其中A( )m 5432()46663.f AAAAAAI 并求矩阵并求矩阵 的矩阵多项式的矩阵多项式A解：解： 对矩阵对矩阵

28、进展初进展初等变换，可得等变换，可得IA 110430102IA 210001000(2)(1)因此因此 的最小多项式为的最小多项式为A23( )( )(1) (2).md 由于由于5432( )46663f 2(1)( )1m 210420101AI 2()() ()f AAIAAI 因此因此AA例例 10 10 证明幂等矩阵一定类似于对角证明幂等矩阵一定类似于对角矩阵。矩阵。2AA A2( )f2( )0f( )0m 3.4 Smith规范型规范型由于由于Jordan规范型的计算需求特征值、规范型的计算需求特征值、特征向量及广义特征向量的信息，因此与特征向量及广义特征向量的信息，因此与特征

29、多项式关系亲密。从函数的目光看，特征多项式关系亲密。从函数的目光看，特征多项式实践上是特殊的函数矩阵元特征多项式实践上是特殊的函数矩阵元素是函数的矩阵，这就自然引出对素是函数的矩阵，这就自然引出对 矩阵的研讨，并希望能籍此简化矩阵的研讨，并希望能籍此简化Jordan规范型的繁杂计算。规范型的繁杂计算。- 一、一、 矩阵及其规范型矩阵及其规范型- ( )i jAa= =- F(1,2,;,)( )1 2,i jimjan= = =L LL L ( )A - n( )B ( ) ( )( ) ( )nA B B A E= = =( )A 留意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的。留意与数字矩阵不

30、同的是满秩矩阵未必是可逆的。( )A )et( (0d)A c= = ( )A ( )B ( )( )A B : :( )A ( )B ( )A ( )( )()B A QP= =( )B ( )( )P Q 、( ( )A rankr= =12( )( ),( ),( ),0,0)rD diag d d d L LL L( )A - mn 12( ),( ),( )rd d d L L1( )|( )(1,2,1)iid dir+ += =- -L L0(1)0( )01002A 例例 7 7 求矩阵求矩阵 的的 SmithSmith规范规范型型 ，其中，其中( )A 解：解： 对矩阵对矩阵

31、 进展初进展初等变换，可得等变换，可得( )A 0(1)0( )01002A 000(1)0201 00(1)00102 00(1)10200 00(20)10(1)0 00(100(10)20 10000(1(2)2)(0) 100(0(02)1)0 0(0(210)01)0 00(1)(210001)( 00(1)10)00(20 1000000(1)(2) 即为所求的即为所求的Smith规范型。规范型。3.7 3.7 传送函数矩阵传送函数矩阵2 2MIMOMIMO系统，多输入对多输出，故引入传送函数阵系统，多输入对多输出，故引入传送函数阵G(s) G(s) ，G(s)G(s)是一个矩阵，

32、可以表征多个输入对系统输出的影响；是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；形状空间表达式：形状空间表达式：)1( DuCxyBuAxx 根据传送函数定义，根据传送函数定义，式式(1)(1)拉氏变换，并令拉氏变换，并令 ，得式，得式(2)(2)：0) 0(0 xx) 2()()()()()()( sDUsCXsYsBUsAXssX1 1SISOSISO系统，一输入对一输出，用传送函数系统，一输入对一输出，用传送函数G(s)G(s)描画，描画， G(s)G(s)是一个元素；是一个元素；整理整理2 2式得：式得：) 3()()()(1sUDBAsICsY mrmmrrGGGGGGGGGDBAs

33、ICsUsYsG2122221112111)()()()(留意矩阵求逆留意矩阵求逆定义传送函数阵：定义传送函数阵：1 1dim(G(s)=mdim(G(s)=mr r，其中，其中dim()dim()表示表示的维数。的维数。 m m是输出维数，是输出维数，r r是输入维数。是输入维数。)()()(sUsYsGjiij 2 2G(s)G(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i i个输出中，由第个输出中，由第j j个输入变量引起个输入变量引起的输出和第的输出和第j j个输入变量间的传送关系。个输入变量间的传送关系。3 3同一系统，不同的形状空间表达式对应的同一系统，不同的形状空间表达

34、式对应的G(s)G(s)是一样的。是一样的。 1120112012016116100010CBA，)det()()(1AsIAsIadjAsI 根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传送函数阵公式得：由传送函数阵公式得： 20120161161001112011)()(11sssDBAsICsG 222316116)6(6161166116161161001sssssssssssssss求得：求得：求得传送函数阵为：求得传送函数阵为： 14173525644329461161)(222223ssssssssssssG求如下图二输入二输出求如下图二输入二输出系统的传送函数阵。系统的传送函数阵。

35、113112121)(sssssG)()()(sUsYsGjiij )(1sY21 s)(1sU11 s)(2sU 121 s)(2sY31 s 第三章第三章 矩阵的规范形与假设干分解方矩阵的规范形与假设干分解方式式8. 舒尔定理及矩阵的QR分解舒尔定理恣意n阶复矩阵A，存在酉矩阵U，使得其中T是上三角阵，且其对角线元素为A的特征值。U AU =TH3.8 Schur 定理及矩阵的定理及矩阵的QR分解分解QR分解在矩阵计算中占据相当重要的位置。分解在矩阵计算中占据相当重要的位置。利用利用QR分解，可以处理各种运用中例如工分解，可以处理各种运用中例如工程力学、流膂力学、图像紧缩处置、构造分析程力

36、学、流膂力学、图像紧缩处置、构造分析等出现的最小二乘问题、特征值问题等矩阵等出现的最小二乘问题、特征值问题等矩阵计算中的中心问题。尤其是基于计算中的中心问题。尤其是基于QR分解的分解的QR算法，是求解小型稠密矩阵特征值问题的最主算法，是求解小型稠密矩阵特征值问题的最主要的、数值稳定的算法。要的、数值稳定的算法。运用矩阵言语，就是运用矩阵言语，就是QR分解：分解：ARQ 这里，这里， 是酉矩阵或正交矩阵，是酉矩阵或正交矩阵， 是上三角阵是上三角阵RQ此时线性方程组此时线性方程组Axb 变成变成QRxb 即三角方程组即三角方程组1HxbQRQb 421201201121A 1(4,2,2,1) ,T 解：解：1112(0.8,0.4,0.4,0.2)|T 11(4,2,2,1)T 2222(0.2, 0.4,|0.4,0.|8)|T 22211(0.4, 0.8(,), 0.8,1.6)T 33113232(,)(,)(0,1, 1,0)T 33321(0|,2|,2,0)2T 所以所以 的的QR分解为：分解为：A521021002TRQ A1230.80.200.40.42 2(,)0.40.42 20.20.80Q 对于一幅用对于一幅用 像素矩阵像素矩阵 表示的图像，假表示的图像，假设传送一切设传送一切 个数据，显然数据量太大。因个数据，显