Maple数学实验提高篇

1、提高篇提高篇Maple Maple Maple Maple Maple第二章第二章 Maple数学数学1 1. .寻求帮助寻求帮助2 2.Maple.Maple语言基础语言基础3 3.Maple.Maple的数据类型的数据类型4 4. .初等数学实验初等数学实验5 5. .函数函数6 6.Maple.Maple作图作图7 7. .微积分实验微积分实验8.8.输入输出与文件操作输入输出与文件操作9.9.应用专题应用专题1. 寻求帮助寻求帮助n从从Help(帮助帮助)菜单按类查找菜单按类查找n?命令命令, 例：例：?animate ?animn完整帮助信息完整帮助信息,包括六个方面包括六个方面:

2、Function:函数函数 Calling sequence:命令格式命令格式 Parameters:参数参数 Synopsis:说明说明 Examples:例例 See also:相关条目相关条目n查找部分信息查找部分信息 info(命令命令)；函数作用；函数作用 usage(命令命令)；调用格式；调用格式 example(命令命令)；实例；实例 related(命令命令)；相关条目；相关条目nF1帮助帮助 ？(命令词命令词)(或命令的前几个字母或命令的前几个字母)面板输入面板输入n选择左侧导航栏打开相应面板进行输入选择左侧导航栏打开相应面板进行输入2. Maple语言基础语言基础n语句类型

3、2.1 语句和表达式语句和表达式赋值语句赋值语句变量名变量名:=表达式表达式条件语句条件语句if 条件条件 then 语句组语句组 elif 条件条件 then 语句组语句组 else 语句组语句组end if 或或 fi循环语句循环语句for 变量名变量名from初值初值by步长步长to终值终值while条件条件do 语句组语句组;end do; 或或 odwhile 条件条件 do 语句语句end dofor 变量变量 in 集合集合 while 条件条件 do 语句语句 end do 退出语句退出语句quit ; done ; stop2. Maple语言基础语言基础n条件语句条件语句格

4、式格式1: if then statement; fi;格式格式2: if then statements; else statements fi;格式格式3: if then statements; elif then statementselse statementsend if;2.1 语句和表达式语句和表达式例例:ny:=x- if x1 then log(x) else sin(Pi*x/2) fi; evalf(y(2.7); evalf(y(1); evalf(y(0); npiecewise(x1,log(x); 定义函数定义函数: y= log x (x1), sin( x/

5、2) (x1)nx:=0: for i from 1 to 100 do x:=x+i od: x; #for-do-od1+2+100nx:=0: for i from 1 to 100 do if x100 then exit else x:=x+i fi od: x; #嵌套嵌套, 退出退出1+2+nx:=0 : j:=0: while j=100 do x:=x+j:j:=j+1 od:x; #while-do-od 1+2+100nx:=0 : j:=0: for j in 1,4,5 while jm then m:=argsi end if ; end do; m; end:n

6、Max(2,5,4,7,4,6,4); n过程过程内部变量内部变量 判断参数长度判断参数长度赋值赋值循环循环判断大小判断大小输出输出n 试用试用3. Maple的数据类型的数据类型3.1 基本数据类型基本数据类型数据数据类型类型举例举例数据数据 类型类型举例举例数数字字与与字字符符串串整数整数integer1关关系系式式=x+1=1+x分数分数Fraction1/2Pipi浮点数浮点数 Float1.=2=3复数复数complex 3*I32符号符号Symbolxcalue逻逻辑辑式式与与andP and Q字符串字符串 String“Beijing”或或orP or Q算算术术式式和和+1+

7、3非非notnot P积积*1*3幂幂 *133.2 复合数据类型复合数据类型数据数据类型类型举例举例复合复合表达表达式式序列序列Expseqs:=a, b, c集合集合Seta, b, c列表列表Lista, b, c函数函数Functionf(x)其他其他域域.1.4带指标的变量带指标的变量indexedZ1代数数代数数algebraica:=RootOf(x2+2);n软件包：软件包：3.3 软件包软件包调用调用with(软件包名软件包名):恢复初始状态恢复初始状态restart:图形包图形包plots图形工具包图形工具包 plottools线性规划包线性规划包simplex线性代数包线

8、性代数包linalg概率统计包概率统计包 stats学生包学生包student数值逼近数值逼近numaapprox组合数学组合数学combinat微分方程工具微分方程工具Detools欧氏几何欧氏几何geomatry三维欧氏几何三维欧氏几何geom3d群论群论group数论数论numtheory幂级数幂级数powseries射影几何射影几何 projgeom图与网络图与网络networks4. 初等数学实验初等数学实验n整数、分数运算整数、分数运算 p:=1153*(358+540)/(29!-736);常用运算符常用运算符:+,-,*,/,或或*,abs( )n浮点运算浮点运算 evalf(

9、p,20); 2 2.0n数学常数数学常数 Pi(p大写大写)、I(复数单位复数单位)、infinity(无穷无穷) Pi;infinity; 4.1 数字运算数字运算4.2 基本代数运算基本代数运算n运算符运算符初等运算初等运算+ - * / 或或*(不不)等式等式= = 箭头算子箭头算子-赋值符赋值符：=逻辑逻辑or and not 前次运行结果前次运行结果”% %阶乘阶乘！字符符号字符符号其他其他. . ，;n基本初等函数基本初等函数sqrt、 、exp、log、sin、cos、tan、cot、sec、csc、arcn数值显示数值显示求值求值 eval(a)浮点值浮点值evalf(a)

10、，evalf(a,n)n例：例：3！*6；sin(5); exp(1);%；%evalf(Pi,100); 4.3 多项式多项式n定义定义y:=x- x3-2*x2-5*x+6;.y(x)z:=x2-5*x+4;n算术运算算术运算基本基本+ - * / 降序降序sort最大公约式最大公约式gcd最大公约数最大公约数igcd最小公倍式最小公倍式lcm最小公倍数最小公倍数ilcm商式商式 余式余式quo (式式1,式式2,变量变量,r);r;n例例 w:=y(x)/z; y(x)*z; y(x)-z; gcd(y(x),z); lcm(y(x),z); quo(y(x),z,x,r);r;n例例

11、将将100!分解成素数分解成素数?第第1000个个素数是什么素数是什么? ifactor(100!);ithprime(1000);n重组重组例例:factor(y(x); (2*x2-5*x+6)*z; expand(%);n求根求根因式分解因式分解(有理有理)factor展开展开expand数值解数值解fsolvefsolve (eqn,var,complex);求根求根solve显示数值解显示数值解evalf(%)全部根全部根roots实根所在区间实根所在区间realroot例例:t:=x3+2; fsolve(t); fsolve(t,x,complex);realroot(t); r

12、oots(t); solve(t); evalf(%);n例例: s:= (x3-2*x2-5*x+6)/(x2-5*x+4); 4.4 有理式有理式化简化简simplifyn例例:%+x; simplify(%);simplify(%);Maple5. 函数函数n自定义函数自定义函数 赋值法赋值法 f：=数数 或或 表达式表达式; (后赋值将替换以前的赋值后赋值将替换以前的赋值, 加单引号表示符号变量加单引号表示符号变量) 箭头算子法箭头算子法 f：=x-表达式、表达式、f:：=(x,y)- 表达式表达式; y:=x2-5*x+3;y(3); y:=x-x2-5*x+3;y(3); n函数运

13、算函数运算 函数可以进行函数可以进行+,-,*,/,(复合运算复合运算)说明说明: 函数定义函数定义方方式式y:=xt-5*x+3;表达式表达式subs(x=3,t=2,y);eval(y,x=3 ,t=2);y:=(x,t)-xt-5*x+3; 运算符运算符y(3,2);定定义义赋值赋值f：=数数 或或 表达式表达式;箭头算子法箭头算子法f：=x-表达式、表达式、f:：=(x,y)- 表达式表达式;转换转换unapply(表达式表达式, x, y ,)过程过程函数名函数名:=proc(参数参数) local 变量变量; global 变量变量 Maple 语句语句;End:分段函数分段函数f

14、:=piecewise(条件条件1，表达式，表达式1，)例例:nlc := proc( s, u, t, v )description form a linear combination of the arguments:s * u + t * vend proc:print( lc );lc( Pi, x, -I, y );np:=proc(x) if x1 then x2-1 else 2*(1-x) fi end:p(2);np:=piecewise(x1,x2-1,2*(1-x) );6. Maple作图作图n基本命令基本命令二维图形二维图形 曲线曲线plot(f,x); plot(f

15、,x =a.b);plot(f,x =a.b,c.d);plot(f1(x)，f2(x),x=a.b，选项选项)；参数方程参数方程plot(x(t),y(t),t=t1.t2,x=a.b,y=c.d)； 极坐标极坐标 plot(f,x =a.b, coords=polar ); 隐函数隐函数with(plots): implicitplot(方程，范围方程，范围)； 动画曲线动画曲线 with(plots): Animate(f(x,t),x=a.b,t=t1.t2); 三维图形三维图形其他其他曲面图曲面图plot3d(二元函数，二元函数，x范围，范围，y范围）；范围）； 参数方程参数方程pl

16、ot3d(f(x,y),g(x,y),h(x,y),x=a.b,y=c.d)； 隐函数隐函数with(plots): implicitplot3d(三元方程，三元方程，x=a.b,y=c.d,z=e.f)； 三维曲线三维曲线plot3d(x(t),y(t),z(t),t=t1.t2,z=z1.z2)； 动画动画with(plots):animate3d(函数，自变量范围，参数范围，函数，自变量范围，参数范围，); 散点图散点图plot(x1,y1, x2,y2,xn,yn,style=point); 连线图连线图plot(x1,y1, x2,y2,xn,yn)； 多边形多边形plot(x1,y

17、1, x2,y2,xn,yn，x1.y1)； 例：例：n plot(x2,x=-3.3); plot(2*x3-6*x,x=-2.5.2.5,style=point,symbol=box); plot(4*x-x2+2,x2,3*x+1,x=-2.5, color=red,blue,green, linestyle= 20, 20) f:=10*sin(x)*exp(-x2):#先定义函数先定义函数 plot(f,x=-2.5,color=green,linestyle=20);作上述函数图作上述函数图 f:=x-sin(x)*exp(x): plot(f(x),x=-2.5);n plot(

18、sin(t),cos(t),t=0.2*Pi,2*x-1,x=-2.2,y=-2.2); nwith(plots):animate(sin(t*x),x=-2*Pi.2*Pi, t=.5.4, color=1, linestyle =30); 续n极坐标 plot(sin(4*x),x,x=0.2*Pi,coords=polar,thickness=3); with(plots):animate(sin(x*t),x,x=-4.4,t=1.4, coords=polar, numpoints=100,frames=100); n曲面图： plot3d(x2+y2,x=-2.2,y=-2.2,c

19、olor=0.1);n动画图 with(plots): animate3d( cos(t*x)*sin(t*y), x=-Pi.Pi, y=-Pi.Pi, t=1.2 ); n三维曲线图：plot3d(x(t),y(t),z(t),t=t1.t2,z=z1.z2,选项)； plot3d(cos(t),sin(t),t,t=0.3*Pi,z=a.b); 7. 微积分实验微积分实验7.1 极限极限极限极限limit(f(x), 极限点，选项)符号Limit (f(x), ) (用value看值)极限点x=a ，x=infinity （+、-）选项左left、右right，省略n格式nlimit(f

20、(x), 极限点，选项) 为极限计算指令 Limit (f(x), ) 为极限符号,可用value显示值例：例：nLimit(x-sin(x)/x3,x=0)=limit(x-sin(x)/x3,x=0); Limit(exp(1/x),x=0,left)=limit(exp(1/x),x=0,left); Limit(x2-3*x+2)/(5*x2-4),x=infinity)=limit(x2-3*x+ 2) /(5*x2-4),x=infinity); Limit(xsin(x),x=0)=limit(xsin(x),x=0); Limit(sin(x),x=infinity)=limi

21、t(sin(x),x=infinity); Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity);n注：注：函数若由箭头算子定义，求极限函数要用f(x)形式 y:=x-exp(x):limit(y,x=3);limit(y(x),x=3); 7.2 导数导数n格式导数偏导diff(f,x1,x2,)高导diff(f,x$m,y$n)符号Diff (f,)ndiff(f,x1,x2,) x1,x2,为各次求混合导数的自变量 diff(f,x$m,y$n) m，n分别为对自变量x、y求导阶数 Diff 为求导符号,可用value显示值例：例：n D

22、iff(exp(x2),x)=diff(exp(x2),x); Diff(log(x+sqrt(1+x2),x$2); value(Diff(log(x+sqrt(1+x2),x$2); simplify(value(Diff(log(x+sqrt(1+x2),x$2); Diff(x2*cos(y),x,y$3)=diff(x2*cos(y),x,y$3); subs(x=3,y=4,diff(exp(sqrt(x2+y2)+x),x,y); evalf(subs(x=3,y=4,diff(exp(sqrt(x2+y2)+x),x,y); #计算函数在(3,4)点混合导数值n注：注：函数若由

23、箭头算子定义，求导函数要用f(x)形式 y:=x-sin(1/x):diff(y,x);diff(y(x),x);7.3 积分积分n格式积分不定积分int(f,x)定积分int(f,x=a.b)重积分int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=a.b) 符号Int (f,x)n不定积分 int(f,x) 定积分 int(f,x=a.b) Int为积分符号，用value显示值n重积分 int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=a.b)例：例：n Int(2*x*sin(x),x)=int(2*x*sin(x),x)+c; Int(sqrt(a2+x2),x)

24、=int(sqrt(a2+x2),x)+C; Int(x-2)/(x3-1),x)=int(x-2)/(x3-1),x)+C; value( Int(x*ln(x),x)； Int(x-2)/(x3-1),x=2.3)=int(x-2)/(x3-1),x=2.3); int(sin(sin(x),x=0.2);Evalf(%);n注：箭头算子定义函数要用int(f(x)，x) f:=x-x2-1/x:int(f(x),x);n Int(Int(abs(y)*x2,y=-sqrt(1-x2).sqrt(1-x2),x=-1.1) =int(int(abs(y)*x2,y=-sqrt(1-x2).

25、sqrt(1-x2),x=-1.1) ;7.4 循序渐进循序渐进n例:f:=sqrt(x+1)/sin(x); iscont(f,x=-0.5.1); discont(f,x); 导数表达式diff(f,x1,x2,)运算符D(f), (Dn)(f)隐函数implicitdiff(eqn,y,x1,x2,xn)连续测试iscont(f(x),x=a.b ,closed)间断点discont(f(x),x)n例:f:=sqrt(x+1)/sin(x); diff(f,x); D(f); D(f)(2);g:=x-sqrt(x+1)/sin(x); diff(g,x); D(f); D(f)(2)

26、; evalf(%);eqn:=x2+y2=1; implicitdiff(eqn,y,x);续续with(student):expr:=Int(x2*exp(x),x);intparts(expr,x2); #设u=x2, 分部积分value(%);学生包with(student):7.5 级数级数n级数例:Sum(xn/n!,n=0.infinity)=sum(xn/n!,n=0.infinity);Sum(1/k2,k=1.infinity):%=value(%); 1/(1-x)=series(1/(1-x),x); taylor(1/(1-x),x);sin(x)=series(si

27、n(x),x=Pi/2,8); exp(x)/x=taylor(exp(x)/x,x);series(exp(x)/x,x); x3/(x4+4*x-5)=series(x3/(x4+4*x-5),x=infinity);求和sum(f(n),n=a.b)Sum (f(n),n=a.b)函数展开tayloe(函数，点，项数)项数省略为6项点用x表示在0点展开series(函数，点，项数)续续n幂级数一 幂级数包with(powseries):定义系数powcreate(f(n)=通项系数，初始值)显示tpsform(f,x,项数)with(powseries):powcreate(f(n)=2

28、n/n!):powcreate(h(n)=(-1)(n+1)/n,h(0)=1):Sum(2n*xn/n!,n=0.infinity)=tpsform(f,x,7);powcreate(h(n)=(-1)(n+1)/n,h(0)=1):Sum(-1)(n+1)*xn/n,n=1.infinity)=tpsform(h,x,5);powcreate(v(n)=(v(n-1)+v(n-2)/4,v(0)=4,v(1)=2):tpsform(v, x);7.6 方程求解方程求解nsolve(方程,未知数)；fsolve(方程,未知数,选项)；解数值解 选项：plex复数域上求根 2.fulldigi

29、ts保持精度 3.maxsols=n求n个解 4.范围(省略“=”号为=0) p:=x-x2+2*x-3:plot(p(x),x=-4.2); solve(p(x); fsolve(p(x)=12,x); t:=solve(6*x4-35*x3+22*x2+17*x-10):t1:=eval(t1); t2:=eval(t2); t3:= eval(t3); t4:=eval (t 4); p:=x-12*x5+32*x4-57*x3-213*x2-104*x+60: plot(p,-5.5,650. -300); solve(p(x);续续n solve(2*x+3*y,y= x+1); n

30、solve(x5-3*x4-23*x3+27*x2+166*x+120=0,x); fsolve(x5-3*x4-23*x3+27*x2+166*x+120,x, -1.5.3.5); fsolve (x4-3*x+4,x,complex); fsolve(x5-3*x4-23*x3+27*x2+166*x+120=0,x, maxsols=2);7.7 微分方程微分方程,差分方程差分方程n微分方程方程dsolve(方程，解函数方程，解函数,选项选项);方程组及初始条件dsolve(方程组及初始条件方程组及初始条件，解函数解函数，选项);选项type=numeric 数值解数值解方程中未知函数

31、要用y(x)记，n阶导可用Dn(y)(x)， 初始条件y(x0)=a,（Dn）(y)(x0)=b方程 rsolve(方程，解函数方程，解函数) ;方程组及初始条件rsolve(方程组，初始条件方程组，初始条件，解函数解函数);n差分方程例：例：ndsolve(diff(y(x),x)=0.003*y (x) *(100-y (x) ),y(0)=15,y(x); assign(“); plot(y(x),x); dsolve(diff(y(x),x$2) - y(x) = sin(x)*x, y(x);np:= dsolve(D(y)(x) = y(x), y(0)=1, y(x), type

32、=numeric): #解数值解 with(plots); odeplot(p,x,y(x),-1.1 ); #作微分方程数值解图nsys := diff(y(x),x)=z(x), diff(z(x),x)=y(x): fcns := y(x), z(x): p:= dsolve(sys,y(0)=0,z(0)=1,fcns,type=numeric): odeplot(p, x,y(x), -4.4, numpoints=25);7.8 封装程序封装程序下面通过具体实例制作下面通过具体实例制作Maple软件包。软件包。制作一个包含能自动绘制正弦、余弦、正切曲线的软件包。制作一个包含能自动绘

33、制正弦、余弦、正切曲线的软件包。xusin1:=proc() plot(sin(x),x=-2*Pi.2*Pi) end proc;xucos1:=proc() plot(cos(x),x=-2*Pi.2*Pi) end proc;xutg:=proc() plot(tan(x),x=-2*Pi.2*Pi,y=-5.5) end proc;xusst:=proc() plot(sin(x),cos(x),tan(x),x=-2*Pi.2*Pi,y=-5.5) end proc;save(xu,“xu.m”); #将文件将文件xu.m储存到储存到MapleMaple的安装目录的安装目录save(

34、xu,“d:mfilexu.m”); #储存到储存到“已存在的指定目录已存在的指定目录”with(xu); #调用软件包调用软件包xu7.8 封装程序封装程序 如果退出如果退出Maple后，要调用已保存的软件包，需要先后，要调用已保存的软件包，需要先读取保存的文件：读取保存的文件：read(“xu.m”); #读取软件包读取软件包xuwith(xu); #调用软件包调用软件包xusst(); #执行执行xu中的中的sst条款条款8. 输入输出与文件操作输入输出与文件操作 Maple提供的输入输出函数可以将运算结果写到文件提供的输入输出函数可以将运算结果写到文件中保存中保存, Maple对文件支

35、持完整的格式化文字对文件支持完整的格式化文字,如字型、字如字型、字号、颜色、对齐等功能号、颜色、对齐等功能.8.1 输入输出输入输出1、printf 函数函数printf函数可以将函数可以将Maple运算的结果输出到屏幕上。运算的结果输出到屏幕上。格式：格式：printf(fmt,x1,x2,.,xn);例如例如:printf(%-2.5s,%2.5s,%2.5sn,M,Map,Maple);x:=23;y:=-1/x;printf(x=%+06.2f y=%+0*.*f y=%a y=%mn,x,6,2,y,y,y); 2、scanf 函数函数scanf函数接受键盘输入的数据函数接受键盘输入

36、的数据.格式格式: scanf(fmt); 例如：例如：restart;printf(Input an integer:n);a:=scanf(%d):print(a!);b:=scanf(%d,%d,%d):printf(%d,%d,%d,b1,b2,b3);3、fscanf函数函数fscanf函数从文件读数据函数从文件读数据.格式格式: fscanf(file,fmt); #文件使用后必须调用文件使用后必须调用fclose(file)关闭。关闭。例如：例如：restart;tp:=fscanf(f:数学软件数学软件test.txt,%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f);fclo

37、se(f:数学软件数学软件test.txt);restart:a:=array(1.4,1.4):for i from 1 to 4 do tp:=fscanf(f:数学软件数学软件test.txt,%d,%d,%d,%d,%d,%d,%d,%d); for j from 1 to 4 do ai,j:=tpj;od:od:fclose(f:数学软件数学软件test.txt);1、文件的打开和关闭、文件的打开和关闭例如：例如：fp:=open(f:数学软件数学软件test1.txt,WRITE);fprintf(fp, Maple 9.5rn);fprintf(fp, 符号处理与应用符号处理与

38、应用);close(fp);打开文件使用打开文件使用open或或fopen;格式：格式：open(name,mode);fopen(name,mode);8.2 文件操作文件操作可以使用可以使用readline逐行读出文件内容逐行读出文件内容.restart:a:=readline(f:数学软件数学软件test1.txt);b:=readline(f:数学软件数学软件test1.txt);close(f:数学软件数学软件test1.txt);fp:=fopen(f:数学软件数学软件test1.txt,READ);a:=readline(fp);b:=readline(fp);fclose(fp

39、);2、文件的读写、文件的读写文件打开后，就可以进行读写。读写文件的函数有文件打开后，就可以进行读写。读写文件的函数有:fprintf, fscanf, readline, read, save.例如例如:restart:a:=3*5;b:=43;save(a,b,f:temp.m);restart:read(f:temp.m);a+b;9. 应用专题应用专题 本章给出应用本章给出应用Maple提供的函数和编程方法解决一些提供的函数和编程方法解决一些数学和物理问题的实例。数学和物理问题的实例。调和数列研究调和数列研究1、调和数列、调和数列 自然数的倒数组成的数列自然数的倒数组成的数列称为调和数

40、列。它的前称为调和数列。它的前n项和数列项和数列 记作记作H(n)。1 111,2 3n11nkk 2、提出问题：、提出问题：H(n)是否收敛？是否收敛？ 我们对我们对H(n)的收敛性进行观察。的收敛性进行观察。 Step1 定义前定义前n项和项和H(n) H:=n-sum(1/k,k=1.n); Step2 列出列出H(n)随随n变化的数据表变化的数据表 t:=evalf(seq(n,H(n),n=1.100);nHn11.0000021.5000031.8333342.08333995.177381005.1873810007.48547100009.78761100000014.3927

41、3Step3 根据数据表画出根据数据表画出H(n)的图形的图形with(plots): pointplot(t);ph1:=pointplot(t):204060801002345 通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数数函数的图象。我们把它与对数函数 y=lnx 的图象一起比的图象一起比较一下。较一下。Step4 与对数函数与对数函数 y=lnx 作比较作比较plot(ln(x),x=1.100);ph2:=plot(ln(x),x=1.100):display(ph1,ph2);2040608010012345 根据图象比较的结果可以看出，当根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，很大时，H(n)的的图象与图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为这个常数约为 C=H(100)-ln1000.5822.-ln1000.5822.我们将我们将 lnx 的图象向上平移的图象向上平移C个单位后再进行观察。个单位后再进行观察。c1:=evalf(H(100)-ln(100);plot(l