2016聚焦中考数学（辽宁省）习题课件：　第22讲　矩形、菱形与正方形

1、第22讲矩形、菱形与正方形第五章图形的性质(一)1矩形的概念、性质及判定 概念有一个角是_的平行四边形叫矩形性质(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线_；(3)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有_条对称轴；判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)_是直角的四边形是矩形；(3)对角线_的平行四边形是矩形直角互相平分且相等2三个角相等2菱形的概念、性质及判定概念有一组邻边_的平行四边形叫菱形性质(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线_且每一条对角线都平分_；(3)菱形既是_对称图形，又是轴对称图形，有_条对称轴；(4)菱形的面积S_(a，b为对角线长)判定(1)有一组邻

2、边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都_的四边形是菱形；(3)对角线_的平行四边形是菱形相等互相垂直平分一组对角中心2相等互相垂直3.正方形的概念、性质及判定概念四条边都相等，四个角都是直角的四边形性质(1)正方形的对边平行，四边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)对角线互相_且相等，每条对角线平分一组对角；(4)面积Sa2(a表示正方形的边长)判定(1)有一组_相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(2)有一组邻边相等的_是正方形；(3)有一个角是直角的_是正方形；(4)_相等且互相垂直的平行四边形是正方形垂直平分邻边矩形菱形对角线1一个防范在判定矩形、菱形或正方形时，要明

3、确是在“四边形还是在“平行四边形的根底之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法2三种联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的根底上，增加“一个角是直角或“对角线相等的条件可为矩形；假设在四边形的根底上，那么需有三个角是直角(第四个角必是直角)可判定为矩形(2)平行四边形与菱形的联系：在平行四边形的根底上，增加“一组邻边相等或“对角线互相垂直的条件可为菱形；假设在四边形的根底上，需有四边相等那么可判定为菱形(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有

4、一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)3选择、填空中小规律1(2021沈阳)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是()A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形2(2021鞍山)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8，DB6，DEBC于点E，那么DE的长为()A2.4 B3.6 C4.8 D6BC3(2021本溪)在菱形ABCD中，BAD2B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，那么图中与ABE全等的三角形(ABE除外)有()A1个 B2个 C3个 D4个CA 5(2021朝阳)如图，在矩形ABCD中

5、，AB5，BC7，点E为BC上一动点，把ABE沿AE折叠，当点B的对应点B落在ADC的角平分线上时，那么点B到BC的距离为()A1或2 B2或3C3或4 D4或5A解析：如图，连接BD，过点B作BMAD于M.点B的对应点B落在ADC的角平分线上，设DMBMx，那么AM7x，又由折叠的性质知ABAB5，在直角AMB中，由勾股定理得到AM2AB2BM2，即(7x)225x2，解得x3或x4，那么点B到BC的距离为2或1C 7(2021丹东)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，那么菱形的周长是_8(2021丹东)如图，在菱形ABCD中，AB4 cm，ADC120，点E，F同时由A，C

6、两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒DEF为等边三角形，那么t的值为_209(2021鞍山)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上(点E不与点B，C重合)，过点E作EMOB于点M，ENOC于点N，那么EMEN的值为_10(2021盘锦)如图，菱形ABCD的边长为2，DAB60，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使PBE的周长最小，那么PBE的周长的最小值为_11(2021朝阳)如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE

7、DF，给出以下条件：BEEC；BFCE；ABAC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是_(只填写序号)证明：BDCD，DEDF，四边形BECF是平行四边形，当ABAC时，D是BC的中点，AF是BC的垂直平分线，BECE，平行四边形BECF是菱形12(2021葫芦岛)如图，在ABC中，ABAC，点D(不与点B重合)在BC上，点E是AB的中点，过点A作AFBC交DE延长线于点F，连接AD，BF.(1)求证：AEFBED.(2)假设BDCD，求证：四边形AFBD是矩形解：(1)AFBC，AFEEDB，E为AB的中点，EAEB，又BEDAEF，AEFBED(ASA)(2)

8、AEFBED，AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABAC，BDCD，ADBD，四边形AFBD是矩形13(2021铁岭)如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点E，F分别在边CD，AB上(1)假设DEBF，求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)假设四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长14(2021朝阳)问题：如图(1)，在RtACB中，ACB90，ACCB，DCE45，试探究AD，DE，EB满足的等量关系【探究发现】小聪同学利用图形变换，将CAD绕点C逆时针旋转90得到CBH，连接EH，由条件易得EBH90，ECHECBBCHECBACD45.根据“边角边，可证CEH_，得

9、EHED.在RtHBE中，由_定理，可得BH2EB2EH2，由BHAD，可得AD，DE，EB之间的等量关系是_CED勾股AD2EB2DE2矩形 【例1】(2021内江)如图，将ABCD的边AB延长至点E，使ABBE，连接DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：ABDBEC；(2)假设BOD2A，求证：四边形BECD是矩形【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合条件来证三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便对应训练1(本溪模拟)如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足为E.求证：AECE.证明：过点C作CGAB交

10、AB的延长线于G点，可证：CGBCED，CGCE.又GACEA90，四边形CGAE是矩形，CGAE，CEAE 菱形 【例2】(2021巴中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DEAC交BC的延长线于点E，当AB6，AC8时，求BDE的周长【点评】菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法对应训练2(2021甘南州)如图，在ABC和EDC中，ACCECB

11、CD；ACBDCE90，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)求证：CFCH；(2)如图，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论正方形 【例3】(朝阳模拟)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EHAB于点H.(1)求证：HFAP；(2)假设正方形ABCD的边长为12，AP4，求线段EQ的长【点评】正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点对应训练3(2021扬州)如图

12、，RtABC中，ABC90，先把ABC绕点B顺时针旋转90至DBE后，再把ABC沿射线平移至FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形解：(1)FGED.理由如下：ABC绕点B顺时针旋转90至DBE，DEBACB，把ABC沿射线平移至FEG，GFEA，ABC90，AACB90，GFEDEB90，FHE90，FGED(2)证明：根据旋转和平移可得GEF90，CBE90，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180，BCG90，四边形BCGE是矩形，CBBE，四边形CBEG是正方形 特殊平行四边形综合题 【例4】(

13、沈阳模拟)如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CEAD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)假设D为AB中点，那么当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由解：(1)证明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四边形ADEC是平行四边形，CEAD(2)四边形BECD是菱形，理由是：D为AB中点，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四边形BECD是平行四边形，ACB90，D为AB中

14、点，CDBD，四边形BECD是菱形(3)当A45时，四边形BECD是正方形，理由如下：ACB90，A45，ABCA45，ACBC，D为BA中点，CDAB，CDB90，四边形BECD是菱形，四边形BECD是正方形，即当A45时，四边形BECD是正方形【点评】在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形，还是在“平行四边形的根底上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法对应训练4(2021南京)如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，AEF，CFE的平分线交于点G，BEF，DFE的平分线交于点H.(1)求证：

15、四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜测四边形MNQP是菱形，请在以下框中补全他的证明思路由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MNNQ，由条件_，MNEF，故只要证GMFQ，即证MGEQFH，易证_，_，故只要证MGEQFH，易证MGEGEF，QFHEFH，_，即可得证FG平分CFEGEFHGMEFQHGEFEFH(2)答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MNNQ，由条件：FG平分CFE，MNEF，故只要证GMFQ，即证MGEQFH，易证 GEFH，GMEFQH.故只要证MGEQFH，易证MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得证22.不认真画图导致错误 试题在ABC的两边AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于点M，求证：FMMH.错解证明：如图，四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFHABC，52.3190，3