高中数学北师大版选修《定积分的概念》1 素材

1、定积分一、定积分的概念定义：设函数在区间上有定义，如果和式极限存在其中那么称这个极限为函数从a到b的积分，记作。几何意义：当时，表示由x轴，直线x=b,x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积。运算法那么(1) (2) (3) (4) 二、可积准那么 1、可积准那么：函数在闭区间可积的充要条件是0或 其中分别表示关于T的大和与小和，为振幅。 2.可积的必要条件：假设函数在区间可积，那么函数在有界。1假设函数在闭区间连续，那么函数在可积；2假设函数在闭区间有界，且有有限个间断点，那么函数在闭区间可积。3假设函数在闭区间单调可能有无限多个间断点同函数在闭区间可积。 4设函数在上的有界函数，那么以下说法等

2、价： 在上可积。 0，使积分上限函数及其性质定义：设函数在上可积，那么函数称为函数在上的积分上限函数其中，性质：如果在上可积，那么积分上限函数在上连续。如果在上连续，那么积分上限函数可导，且定积分的计算牛顿莱布尼兹公式其中是的一个原函数定积分的换元法注意换元而且要换限定积分的分部积分法定积分的中值定理及性质三、定积分的应用1、微元法：曲边梯形的面积 物体运动的路程 变力所做的功 直角坐标系 参数方程 极坐标 假设C的极坐标方程为 那么面积 3.平面曲线的弧长：参数方程：，那么 弧长 直角坐标系： 弧长 极坐标 弧长 为截面面积 将区间上的连续曲线绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积旋转体的侧面积将

3、区间上非负连续曲线绕x轴旋转得到旋转体的侧面积为假设曲线由参数方程：给出，那么侧面积为假设曲线由极坐标方程：给出，那么侧面积为：四例题 1.证明：假设函数在上可积，且，那么存在某个闭区间 ，有。证 假设任意闭区间，总存在，使。给任意分法T，将分成个小区间：，.取，使，。作积分和有与条件矛盾，那么存在某个闭区间，有，2.证明：假设函数与在上同是单调增加或单调减少，那么证法：应用定积分定义和不等式,其中与或与 证 函数与在上可积，从而在上也可积，将等分成个小区间，取，由函数与在上有相同的单调性，由的不等式，有或由定积分定义，当时，或在上可积，函数在上是否可积?解 不一定，例如函数 而或在上都可积，

4、但是，函数在上却不可积。 反之，假设函数在上可积，那么在上可积。而在上也可积。见练习题8.2第6题4.证明：假设函数在连续，非负，且，使那么。证函数在连续，且根据连续函数的保号性，有设，且又有。于是5.证明：假设函数在单调减少，那么证 在单调减少，那么在可积。将n等分，分点是：。有1 2 3 解 (1) (2) (3)设求以下平面曲线所围成的区域的面积。y=sinx,y=cosx, (0) (0)解1 2，这是星形线所围成的区域。它关于x轴与y轴都对称。因此它的面积是第一象限那局部区域面积的4倍。 这是四叶玫瑰线，这四个叶关于x轴与y轴都对称，四叶玫瑰线围成区域的面积是第一象限一叶面积的4倍。

5、8 积分第二中值定理的三种形式：1假设函数在上单调减少，非负，函数在上可积，那么存在，使 2假设函数在上单调增加，非负，函数在上可积，那么存在，使 3假设函数在上单调, 函数在上可积，那么存在，使证1给任意分法T，分点是。 函数在上有界，即，有又因在上可积，即 有从而作辅助函数那么函数在上连续，设与分别是函数在上的最小值与最大值，注意到,有= 有即 根据连续函数介值性，存在，使即2同法可证设3设函数在上单调增加，函数在上单调减少，非负。由1的结果，有或即9.证明，假设函数在上有连续导数，且那么证。由牛顿莱布尼兹公式，有 应用柯西施瓦兹不等式 于是， 练 习 题1,证明，假设与在上可积，那么在上也可积。2.证明，假设函数在上单调减少，对任意，那么3.证明：假设函数与在上连续非负，且，那么有不等式 称为赫尔德积分不等式4.证明：假设函数与在上连续非负，且，那么有不等式称为闵可夫斯基积分不等式 1 2 1 27.证明：，其中为连续函数。 1 29.求曲线与直线围成的平面图形的面积10.求心脏线： 围