第一章,第五节

1、主讲人：魏勇 第一章 集合论基础与点集初步65/jp/sbhsl/index1.htm22/jxcg_wy/(). (,)(,)().(,)(,), (,)()().(,)(,)()aUxUxEbUxUxEUxC EcUxUxC E 满 足内 点 )满 足边 界 点满 足外 点( )0,( , ) ( ). 0,( , ) ()( ). 0,( , ) ()eU xExfU xExgU xE 对聚点)孤立点外点 nRnREO内核EE ( EC )OE EE E E E 导 集E-EnR00()(nCREEE按第一种分类)0(

2、)(nCREEE孤按第二种分类)记 为 E的导集（聚点全体）记 EO 为 E的内核（内点全体）记 为 E的边界（边界点全体）显然E的外点全体为( EC )O(CCEEEE 与边 界 共 拥 )EE0 EEEEEEE EEEE的孤立点0(, )0,pOE 有P0为 E的接触点：注:接触点(非外点)不一定属于E（虚边界不属于E）E记 为 E的接触点全体,称为E的闭包0()CC E22 (, )|( 5 ) ( 4) (,0)1111 , , ,., ,23|,. (,0)|(5 ,4)30,5 4Exxny xyxxx 022( , )|0(5)(4)4Ex yxy22001 11E ( , )|

3、(5) (4)4 ( ,0)|,1 , , ,., ,. ( ,0)|3,52 3 xyxyxxxxn 1 11EE ( ,0) |1,.,.2 3Exxn孤 证明： 显然(3)(2)(1)定理.2综合：下列三条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得0(, )0(0,O pEp有） P0 Pn00lim (,)0, 0,0,O(, )nnnd ppNnNpp复习:若即有 0limnnpp 称点列pn 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内含有无穷多个属于E而异于p0的点0limnnpp00121O(,),.,nnnppEp P P

4、P取220201(,), pO pEp P011令=min ,d(P ,P),取2100O(,1)()ppEp取0limnnpp则上述取出的点列Pn是互异点列,且000,O(, )pEp 证明：由聚点的定义知其中（2）是称为“聚点”的原因, :(1)(3)还须证01), (,nnd p P令=mi1nn （3）是称为“极限点”的原因EEEE 若 , 则称E为开集（没有E的边界点在E中)若 , 则称E为闭集（所有E的边界点在E中）二、特殊集合1( ,)yOE( , )xOyccEE,EE,cEEE ,ccEEE 定理1.5.61). ，Rn为开集，显然；2). 任意多个开集之并仍为开集；000:

5、 2) 0,( ,)xOxOO xOO 证明 满足A B3). 有限个开集之交仍为开集。定理1.5.6(续)1 , ,0,)niiiiiixAi xAixA证明满足O( 注：无限多个开集的交不一定为开集，A B3). 有限个开集之交仍为开集。10111m in,),() ,niiinnniiiiiixAAAA于 是 取则 O(即故是 开 集如：En=(-1/n, 1+1/n),其交集为0定理1.5.7)1).空集，Rn为闭集，显然；2).有限多个闭集之并仍为闭集；CiA注：无限多个闭集的并不一定为闭集，1111: 2 )(), ()nncCiiiinnCciiiiAAAA证明开闭iA（因为闭集

6、，3).任意多个闭集之交仍为闭集。则 为开集）如：En=0,1-1/n，其并为0，1）定理1.5.7续)3).任意多个闭集之交仍为闭集。: () ccAAA证明为开集为闭集定理1.5.8的应用完备集: 没有孤立点的闭集反过来,完备集不一定含有区间(下节讲)自密集:没有孤立点的集10. 互不相交区间至多可数证明:每区间取一个有理数作代表, 代表互不相同 区间与代表一一对应, 因代表集至多可数,从而区间至多可数证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而,| ),(QrQyxryxQQQA r(x,y)|,!nQnN mNm 可数13.单调函数间断点至多可数(不妨设单调增)证明

7、:每个间断点a对应一个跃度区间(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一对应 跃度区间互不相交从而可数 间断点至多可数13.单调函数间断点至多可数(不妨设单调增)证明:每个间断点a对应一个跃度区间(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一对应 跃度区间互不相交从而可数 间断点至多可数 但如何具体建立(0,1) 与0,1之间的一一对应呢？(不用定理1.2.9的结果,只用证明方法!)10 211() ,3 , 4 , 5 , . . . . ,2 ( 0 , 1 )xfxxnnnxx为中其它值同理可具体构造 之间的一一对应习题15：0,1 (0,1)AR无实与*,AAAAAAA设 是一个无限集，则存在(真子集)使得而是可数集。假设这是无限集A从中可以取出可数子集很容易将M分为M1(奇数项）,M2（偶数项），均为可