著名的数学公式总结

1、一些著名的数学公式· 塞尔伯格迹公式· 泰勒公式· 乘法公式· 二倍角公式· 全期望公式· 全概率公式· 和差平方· 和平方· 和立方· 外尔特征标公式· 婆罗摩笈多公式· 差平方· 差立方· 拉普拉斯展开· 斯托克斯公式· 斯特灵公式· 斯科伦范式· 柯西-阿达马公式· 柯西积分公式· 格林公式· 格林第一公式· 格林第二公式· 欧拉-笛卡尔公式· 欧拉公

2、式· 海伦公式· 牛顿-寇次公式· 立方和差· 素数公式· 蔡勒公式· 角平分线长公式· 诱导公式· 默比乌斯反演公式基本乘法公式及恒等式 （因式分解）分配律和平方基本三数差平方平方差和立方差立方立方和立方差其他公式立方和是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一个立方数，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下：同时立方和被因式分解后，答案分别包含二项式及三项式，与立方差相同。此公式对几何学及工程学等有很大作用。主验证验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以

3、下公式：然后代入：透过因式分解，可得：这样便可验证：和立方验证透过和立方可验证立方和的原理：那即是只要减去及便可得到立方和，可设：右边的方程 运用因式分解的方法：这样便可验证出：几何验证图象化透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：要得到，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：···把三个部分加在一起，便得：之后，把减去它，便得：  上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：可透过和平方公式，得到：这样便可证明反验证透过也可反验证立方和。以上计算方

4、法亦可简化为一个表格：x)这样便可证明例题讲解1. 把因式分解· 把两个数项都转为立方：· 运用立方和可得：2. 把因式分解· 把两个数项都转为立方：· 运用立方和便可得：· 但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：· 亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：· 直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和来验证，例如：把两个数项都转为立方数：运用负正得负，可得：然后运用立方和，可得：这个方法更可验证到立方差的公式是平方差平方差公式是数学公式的一种，它属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方

5、数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：及的排列并不重要，可随意排放。主验证平方差可利用因式分解及分配律来验证。先设及。那即是，同时运用了环的原理。把这公式代入：若上列公式是的话，就得到以下公式：以上运用了，也即是两方是相等，就得到：· 注：塞尔伯格迹公式在数学中，塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间  的函数空间上某类算子的迹数，其中  是李群而  是其离散子群。塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格函数。此时的

6、公式相似于解析数论关注的“明确公式”：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。定义设  为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面  对  的某离散子群  的商。考虑  上的拉普拉斯算子由于  为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征值  至多可数事实上，更可将其由小至大排列：对应的特征函数&

7、#160;，并满足以下周期条件： 行变元代换 于是特征值可依  排列。迹公式塞尔伯格迹公式写作和式中的  取遍所有双曲共轭类。所取函数  须满足下述性质：· 在带状区域  上为解析函数，在此  为某常数。· 偶性：。· 满足估计：，在此  为某常数。函数  是  的傅里叶变换：。后续发展为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省

8、去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后， 为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取  为算术子群，便不免要处理非紧的情形。在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的 、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的

9、数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例1。泰勒公式泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数ex

10、60;在x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：称为指数函数在0处的n 阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x 有用，x 离0 越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：，其中 是h 的高阶无穷小。也就是说，或。注意到 和 在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 

11、;次导数值都与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：定理：设n 是一个正整数。如果函数f 是区间a, b 上的n 阶连续可微函数，并且在区间a, b) 上n+1 次可导，那么对于a, b) 上的任意x，都有：2其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。 的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程

12、度：也就是说，当x 无限趋近a 时，余项 将会是 的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于3。这个结论可以由下面更强的结论推出。带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：即，其中4。带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广5：余项估计拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间a  r, a + r上n 次连续可微并且在区间(a  r, a + r) 上

13、n + 1 次可导。如果存在正实数Mn 使得区间(a  r, a + r) 里的任意x 都有 ，那么：其中。这个上界估计对区间(a  r, a + r) 里的任意x 都成立，是一个一致估计。如果当n 趋向于无穷大时，还有，那么可以推出 ，f 是区间(a  r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a 

14、60;r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。多元泰勒公式对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a, r ) 是欧几里得空间RN 中的开球， 是定义在B(a, r ) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有，其中的 是多重指标。其中的余项也满足不等式：对所有满足 | = n + 1 的 ，的莱布尼茨公式在数学领域，的莱布尼茨公式说明左边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到&

15、#160; 4。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：证明考虑下面的幂级数对等式两边积分可得到反正切的幂级数：将x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是  4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。初等证明考虑如下分解对于|x| <&

16、#160;1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：当时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0： 当 这便证明了莱布尼茨公式。乘法公式乘法公式1. 分配律：。2. 和平方：。· 三数和平方：3. 差平方：。4. 平方差：。5. 和立方：。6. 差立方：。7. 立方和：。8. 立方差：。9. 。10. 。二倍角公式二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍

17、角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。正弦二倍角公式此式就是正弦二倍角公式：余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：正切二倍角公式此式就是正切二倍角公式：全概率公式假设 Bn : n = 1, 2, 3, . 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合Bn是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：又因为此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：条件概率的期望值在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：此处N是任意随机变量。这个公式还可以表达为：&quo

18、t;A的先验概率等于A的后验概率的先验期望值。全期望公式全期望公式，即设X,Y,Z为随机变量，g(·)和h(·)为连续函数，下列期望和条件期望均存在，则1.三数和平方三数和平方，指三个（或可多个）数目的总和的平方，得来的公式是：验证验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：因式分解因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。两个平方之和或两个平方之差（请参见平方差）根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。两个n次方数之和与差两

19、个立方数之和可分解为两个立方数之差可分解为两个n次方数之差两个奇数次方数之和一次因式检验法一个整系数的一元多项式，假如它有整系数因式，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）··不过反过来说，即使当和都成立时，整系数多项式也不一定是整系数多项式的因式另外一个看法是：一个整系数的次多项式，若是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）··因式定理在代数，因式定理(factor theorem)是关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊案件。因式定理指出，一个多项式有一个因式当且仅当。多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个

20、多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：1. 先设法找出多项式的一个零点。2. 利用因式定理确认是多项式的因式。3. 利用长除法计算多项式。4. 中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式外尔特征标

21、公式外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔。定义：群G的表示r的特征标为一函数 ，其中Tr 为线性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。）特征标 记住了表示 r 本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 。 本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而“不可约”亦等价于“不可分解”（即非二子表示之直和）。公式紧李群G 之不可约表示之特征标符合下式：其中&#

22、183; 为群G 之外尔向量，即各正根之和之半；· W 为 外尔群；· 为不可约表示之 最高权；· 遍历G之每一正根。外尔分母公式在 1 维表示的特例中，特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成 外尔分母公式：若G为特殊么正群，则简化成范德蒙行列式的等式：。外尔维度公式若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式 特殊化成 外尔维数公式,其中· V为有限维表示，其最高权为；· 为外尔向量，· 遍历所有正根。由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。Freu

23、denthal 公式Hans Freudenthal发现了权重数1符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式，而在某些情况下更简便。式曰：；其中· 为一最高权，· 为另一权，· dim V 为权 之重数，· 为外尔向量，· 外和中之 历遍所有正根。外尔-Kac 特征标公式外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示 外尔-Kac 特特征标公式。同样地，分母恒等式亦可推广至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代数之特例成为Macdonald 恒等式。其在 A1 仿射李代数之例成为经典的 雅可比三

24、重乘积恒等式：此特征公式可推广至广义卡茨-穆迪代数之可积最高权表示：其中 S 为一修正项：其中 I历遍虚简单根集内 所有与最高权 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基数，而 I为集 I 内元素之和。而Monster 李代数之 分母公式 则为椭圆模函数2j之积公式：。Peterson 发现了（广义）可对称化3卡茨-穆迪代数之根重数 mult() 递归公式。此公式等价于外尔-卡茨分母公式，但更便于计算：,其中 与 遍历所有正根，而。婆罗摩笈多公式欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面

25、积基本形式婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：其中p为半周长：证明圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积但由于是圆内接四边形，因此。故。所以：对和利用余弦定理，我们有：代入（这是由于和是互补角），并整理，得：把这个等式代入面积的公式中，得：它是的形式，因此可以写成的形式：引入，两边开平方，得：证毕。更特殊情况若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：证明由于四边形内接于圆O，所以：其中p为半周长：

26、又因为四边形外切圆C，所以：则：同理:， ， 综上：证毕。一般情况对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：其中是四边形一对角和的一半。（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是。而，所以。)因为圆内接四边形的对角和为，而，所以项为零，给出公式的基本形式。差分差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数  映射到 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。差分的定义差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。前向差分函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数，如果：，则称为的一阶前向差分。在微积分学

27、中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。逆向差分对于函数，如果：则称为的一阶逆向差分。差分的阶称为的阶差分，即前向阶差分 ，如果根据数学归纳法，有其中，为二项式系数。特别的，有前向差分有时候也称作数列的二项式变换差分的性质对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：· 如果C为常数，则有· 线性：如果  和  为常数，则有· 乘法定则：·

28、除法定则：或· 级数：牛顿数列牛顿数列（级数），也称作牛顿前向差分方程是一个以数学与物理学家牛顿命名的函数关系。具体为：要注意的是，上式对所有的多项式都成立，但只对部分解析函数成立。其中为二项式系数，为  的  阶下降阶乘幂。牛顿数列与泰勒级数的相似性是哑微积分的一个典型。卡尔森定理（Carlson's theorem）指出，如果一个函数的牛顿数列存在，则该函数存在的牛顿数列是唯一的。然而牛顿数列并不总存在。牛顿数列是差分多项式（差分级数）的特例。差立方差立方是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。差立方是指一个

29、数项，减去另一个数项后，得出来的差的立方：主验证差立方可直接计算验证：以上计算方式便可证明:布巴克尔多项式布巴克尔多项式在数学中，布巴克尔 多项式 1有两种常见定义。第一种是 :有时也会使用另一种定义,可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前三 个布巴克尔多项式为：然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。布巴克尔 多项式也可以用母函数表示 :产生了许多整数序列在On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)2 e PlanetMath.生成解布巴克尔 多项式的通解为 :微分

30、操作代表布巴克尔 多项式亦可记为 :布雷特施奈德公式在几何学当中, 布雷特施奈德公式 是一条任意 四边形 的 面积 公式:在公式当中, a, b, c, d 均是四边形的边长, s 则是半周界,亦即是a+ b+c+ d再除以2, 而  and  则是其中两个对角。半周界Bretschneider's 公式可运用于任何四边形,不论是否为圆内接四边形公式是由一位德国的数学家 Carl

31、 Anton Bretschneider 所发现一个四边形在几何学当中, 布雷特施奈德公式 是一条任意 四边形 的 面积 公式:布雷特施奈德公式的证明设四边形的面积为 A。由此得到因此由 余弦定理 所指出这亦可改写为接着在中代入这亦可改写为刚才半周界的公式因此上式成为得证。弗莱纳公式在向量微积分中，弗莱纳公式(FrenetSerret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗莱纳公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。单位切向量 T，单位法向

32、量 N，单位副法向量 B，被称作 弗莱纳标架，他们的具体定义如下：· T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。· N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。· B 是 T 和 N 的外积。弗莱纳公式如下：其中d/ds 是对弧长的微分， 为曲线的曲率， 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。弗莱纳公式平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。记r(t) 为欧式空间R3中的曲线，表示粒子在

33、时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线，即速度向量r(t)和加速度向量r(t)不为零的曲线。记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：由于假设r 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s)。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗莱纳标架 (或弗莱纳基底)定义如下：· 单位切向量 T：· 主

34、法向量 N：· 副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：螺旋线上弗莱纳标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑丝的箭头表示副法向量。由于  所以 N 与 T 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。弗莱纳公式如下：其中 为曲线的曲率， 为曲线的挠率。弗莱纳公式有时也被称作弗莱纳定理，并且可以写做矩阵的形式：1其中的矩阵是反对

35、称矩阵。对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。拉普拉斯展开在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n 个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展开一共有 2n 种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子

36、式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。公式设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij 是指B的（i，j）余子式Mij与(1)i + j的乘积：Cij = (1)i + j Mij拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j  1,

37、 2, .,n：例子考虑以下的矩阵：这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。证明设B是一个n × n的矩阵，i、j  1, 2, ., n。为了明确起见，将的系数记为，其中1  s,t  n  1.考虑B的行列式|B|中的每个含有的项，它的形式为：其中的置换   Sn使得(i) = j，而 &

38、#160;Sn-1 是唯一的将除了 i 以外的其他元素都映射到与 相同的像上去的置换。显然，每个 都对应着唯一的 ，每一个 也对应着唯一的 。因此我们创建了Sn  1与  Sn : (i) = j之间的一个双射。 置换 可以经过如下方式从 得到：定义 '  Sn 使得对于 1  k  n  1，'(k) = (k) 并且 '(n) = n，于是 sgn ' = sg

39、n 。然后由于两个轮换分别可以被写成 n  i 和 n  j 个对换，因此因此映射 是双射。由此，从而拉普拉斯展开成立。拉普拉斯定理拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。斯托克斯公式斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中，关于微分形式的积

40、分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯爵士命名³上的斯托克斯公式设为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与S的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面S（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。这个公式叫做³上的斯托克斯公式或开尔文斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：它在欧氏3维空间上的向量场的旋度的曲

41、面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般的斯托克斯公式（在n=2时）的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把向量场看作等价的1形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森 (开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。类似的，高斯散度定理也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。另一种形式通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面

42、积的面积积分之间相互转换：流形上的斯托克斯公式令M为一个可定向分段光滑n维流形，令为M上的n1阶C1类紧支撑微分形式。如果M表示M的边界，并以M的方向诱导的方向为边界的方向，则这里d是的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高奥公式、³上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。该定理经常用于M是嵌入到某个定义了的更大的流形中的子流形的情形。定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上

43、的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。斯特灵公式斯特灵公式是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。公式为：这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：或历史这个公式是亚伯拉罕·棣莫弗首先发现的，形式为： 常数 ×斯特灵证明了公式中的常数为。更加精确的形式是雅克·比内发现的。推导这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。我们不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：这个方程的右面是积分的近似值（利用梯形法则

44、），而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出：其中Bk是伯努利数，Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：我们把这个极限记为y。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足：其中我们用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：两边取指数，并选择任何正整数m，我们便得到了一个含有未知数ey的公式。当m=1时，公式为：将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出ey（）。因此，我们便得出斯特灵公式：这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和用积分近似代替，可以得出不含的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际应用中无关）：收敛速率和

45、误差估计y轴表示截断的斯特灵级数的相对误差，x轴表示所使用的项数。更加精确的近似公式为：其中：斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：当时，截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个例子。它不是一个收敛级数；对于任何特殊值n，级数的准确性只在取有限个项时达到最大，如果再取更多的项，则准确性将变得越来越差。阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：在这种情况下，级数的误差总是与第一个省略掉的项同号，且最多同大小。伽玛函数的斯特灵公式对于所有正整数，有：然而，伽玛函数与阶乘不一样，它对于所有复数都有定义。尽管如此，斯特灵公式仍然适用。如果，那么：反复使用分部积分

46、法，可得以下渐近展开式：其中Bn是第n个伯努利数。当，其中是正数时，这个公式对于绝对值足够大的z是适用的，当使用了最初m个项时，误差项为。对应的近似值可以写为：斯特灵公式的收敛形式欲得出斯特灵公式的一个收敛形式，我们必须计算：一种方法是利用含有上升阶乘幂的级数。如果，那么：其中：从中可以得出斯特灵级数的一个收敛形式：它在时收敛。适用于计算器的形式以下的近似值或可以通过把斯特灵公式整理，并注意到它的幂级数与双曲正弦函数的泰勒级数展开式的相似性来得出。当z的实数部分大于8时，这个近似值精确到小数点后8位。2002年，Robert H. Windschitl建议计算器用这个公式来计算伽玛函数。Ger

47、g Nemes在2007年提出了一个近似公式，它的精确度与Windschitl的公式相等，但更加简单：或斯科伦范式一阶逻辑的公式是Skolem 范式的，如果它的前束范式只有全称量词。一个公式可以被Skolem 化，就是说消除它的存在量词并生成最初的公式的等价可满足的公式。Skolem 化是如下(二阶的)等价的应用Skolem 化的本质是对如下形式的公式的观察它在某个模型中是可满足的，在这个模型必定对于所有的有某些点 使得为真，并且必定存在某个函数(选择函数)使得公式为真。函数 f 叫做 Skolem 函数。举例说明: 其中a为常数在一阶逻辑中为

48、何我们需要Skolem范式?首先当我们根据一阶逻辑构成法则构建一个公式，为了测试证明是否该公式存在一个模型（或解释），也就是说他是否是可满足的· 所谓可满足式的公式是指该公式至少拥有一个模型(或称解释)，使该公式为真(也就是说使该公式在一定的解释下有意义)为了能够测试证明所有公式的满足性问题，我们就使用一种通过让公式变形达到公式统一标准为目的的方法，来证明公式的满足性问题 因此我们引入(Clause)句子的概念，也就是说把公式变形成Clause()的形式来判断公式的可满足性问题· 为何要把公式统一化？其目的是为了更好地使判断可满足性的算法应用于任何公式中，因此公式变形成统一

49、的表达标准我们有一个定理: 如果是可满足的当且仅当Clause()是可满足性的由于该定理的存在，确保公式的可满足性在Clause()中是等价的，所以我们应用算法，来使公式变形 在公式转变成Clause()过程中，由于根据公式构成规则，公式中可能有存在量词，所以我们使用Skolemisation方法，其目的是消减公式中所有的存在量词 根据(Clause)句子的定义，句子中的每个变量必须是以所有量词限定的约束变量· 我们有一个定理: 前提如果有公式且是(formule normale negative)否定标准式，如果公式是由公式通过Skolemisation方法所得到公式，那么

50、3; 如果 I |= ,那么 I |= · 如果 I |= ,那么存在I的保守扩展J J|= 根据如上定理我们确保在使用Skolemisation方法后，公式和公式的可满足性是等价的在应用Skolemisation方法之前，公式必须是(formule normale negative)否定标准式，否则可满足性就有问题比如有公式：=(xp(x)(xp(x)不是(formule normale negative)否定标准式，我们如果不把变成(formule normale negative)否定标准式，当我们应用Skolemisation方法后(xp(x)(xp(x)就变成p(a)p(b

51、),a,b是常数，因此p(a)p(b)是可满足式的，然而当我们先把转换成(formule normale negative)否定标准式，于是(xp(x)(xp(x)就变成xp(x)(xp(x),我们应用Skolemisation方法以后就变成xp(x)p(a),a为常数，此时xp(x)p(a)为永假式，所以当应用Skolemisation方法前，公式必须是(formule normale negative)否定标准式柯西比内公式线性代数中，柯西比内公式（CauchyBinet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。假设 A

52、60;是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 1, ., n  中具有 m 个元素的子集，我们记AS 为 A 中列指标位于 S 中的 m×m 子矩阵。类似地，记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 m× m 子矩阵。柯西比内公式说这里求遍 1, .,&

53、#160;n  中 m 个元素的所有可能子集 S（共有 C(n,m) 个）。如果 m = n，即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合 S，柯西比内公式退化为通常行列式的可乘性。如过 m = 1 则有 n 容许集合 S，这个公式退化为点积。如果 m > n，没有容许集合 S，行列式 det(AB) 是零（参见空和（empty sum）。这个公式对

54、矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将 AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合，利用行列式的可乘性，将属于一个 det(AS) 的项收集起来，并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式，得出 det(AS) 的系数是 det(BS)。这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它。如果 A 是一个实 m×n 矩阵，则 det(A AT) 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体 m-维体积的平

55、方。柯西比内公式说这等于该平行多面体在所有 m-维坐标平面（共有 C(n,m) 个）的正交投影的平行多面体的 m-维体积的平方之总和。m=1 的情形是关于一条线段的长度，这恰是毕达哥拉斯定理。柯西比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式。该公式在子式一文给出。例如果  与  则柯西-比内公式给出行列式：柯西积分公式在数学中，柯西积分公式是复分析的一个核心理论。以著名数学家柯西命名。它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值。并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算。而在实分

56、析中这样的结果是完全不可能达到的。定理假设 U 是复平面C的一个开子集，f : U  C 是一个在闭圆盘D上复可微的方程，并且闭圆盘 D =  z : | z  z0|  r 是U的子集。 设C 为D 的边界。则可以推得每个在D 内部的点a:其中的积分为逆时针方向沿着C的积分。柯西阿达马公式柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)为复分析（Complex analysis）中求单复变形式幂级

57、数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。公式陈述对于单一复数变量“z”的形式幂级数上式中,则该级数收敛半径 R 由下式给出：其中 limsup 定义为其中 sup 为集合的最小上界。格林公式在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导

58、数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。特殊情况的证明以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。如果我们可以证明以及那么就证明了格林公式是正确的。把右图中I型的区域D定义为：其中g1和g2是区间a, b内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集。对于C1，使用参数方程：

59、x = x，y = g1(x)，a  x  b。那么：对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a  x  b。那么：沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：所以：(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。高斯散度定理高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯奥斯特罗格拉德斯基公式或高奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量

60、场的表现联系起来的定理。更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。定理设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有或这里是的整个边界曲面的外侧，cos 、cos 、cos 是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦这两个公式叫做高斯公式。用散度表示高斯公式用散度表示为：其中是空间闭区域的边界曲面，而n是向量A在曲面的外侧法向量上的投影。用向量表示令V代表

61、有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则推论· 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：· 对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：· 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：· 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：二阶张量的高斯公式二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。1. 两个矢量 &

62、#160;和  并排放在一起所形成的量  被称为矢量  和  的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。2.  的充分必要条件是  或 。3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。4.  分别线性地依赖于  和 。5. 二阶张量  和矢量  的缩并  以及  对  和  都是线性的。6. 特别是，当  时，所以，一般说来，。下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写  和 。我们还用到二阶张量  的转置  （又可以记为 ），定义如下：1.  仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 。2