第3章 自动控制系统的时域分析

1、教学目的教学目的：掌握时域法分析系统稳态、动态性能：掌握时域法分析系统稳态、动态性能教学重点教学重点：判定稳定性、确定动态性能、稳态误差：判定稳定性、确定动态性能、稳态误差教学难点教学难点：分析系统动态性能：分析系统动态性能本章授课学时本章授课学时：10第第3章章 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析时域分析：在时域分析：在时间域时间域中分析系统的性能。中分析系统的性能。已知系统已知系统数学模型数学模型已知已知xr(t) 分析分析xc(t) 特性特性xc(t)12txc(t)t2131xx10 x10 x10 x5 . 0cc c c)4(c1xx792. 0 x21. 1cc c12

2、稳定性稳定性动态性能动态性能稳态性能稳态性能研究研究不同系统同一系统 第第3章章 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析本本 章章 研研 究究 内内 容容3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3.1.1 对控制性能的要求对控制性能的要求 系统是稳定的系统是稳定的 系统应满足给定的稳态误差的要求系统应满足给定的稳态误差的要求 系统应满足动态品质的要求系统应满足动态品质的要求3.1.2 自动控制系统的典型输入信号自动控制系统的典型输入信号 阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、 脉冲函数、正弦函数脉冲函数、正弦函数首要条件首要条件衡量控制精度衡量控制精

3、度衡量动态性能好坏衡量动态性能好坏3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标xr(t) 10 ts1)t ( 1 L) s (Xr 阶跃函数阶跃函数 定义：定义： xr(t) = 0， t0 A， t 0单位阶跃函数：当单位阶跃函数：当A=1时的阶跃函数时的阶跃函数 xr(t) = 0， t0 1(t)， t 0单位阶跃函数的拉氏变换为：单位阶跃函数的拉氏变换为：A3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标单位斜坡函数：当单位斜坡函数：当A=1时的斜坡函数。时的斜坡函数。 xr(t) = 0， t0 t， t0 单位斜坡函数的拉氏变换为：单位斜坡函数的拉氏变换为：2rsAA

4、tL) s (X2rs1 t L) s (Xxr(t)11220 t 斜坡函数斜坡函数 定义定义: xr(t) = 0， t0 At， t03.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3、抛物线函数、抛物线函数 定义：定义：xr(t) = 0， t0 At2 ， t0 32rsA2AtL) s (X单位抛物线函数：当单位抛物线函数：当 A=1/2时的抛物线函数。时的抛物线函数。 xr(t) = 0， t0 t2/2， t0 单位抛物线函数的拉氏变换为：单位抛物线函数的拉氏变换为：32rs1t21L) s (Xxr(t)0 t3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3.1 自

5、动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3、脉冲信号、脉冲信号单位脉冲信号：当单位脉冲信号：当A=1的脉冲信号，的脉冲信号， (t) 。 定义：定义： xr(t) = A/ ， 0 t 0， t AsXr)(拉氏变换为：拉氏变换为： (t) = ， t=0 0， t 0 1)()(tLsXr单位理想脉冲信号：当单位理想脉冲信号：当A=1、0的脉冲信号，的脉冲信号， (t)。 ( 很小很小) (t)0t 1/ (t) (t)在系统分析中的用处：在系统分析中的用处： 1）求未知系统的传递函数）求未知系统的传递函数 2）求系统在任意输入信号作用下系统的输出）求系统在任意输入信号作用下系统的输出在在

6、 t = t0 处的单位理想脉冲函数：处的单位理想脉冲函数： (t-t0) = ， t = t0 0 ， t t0 t0 t (t-t0) (t)0 (t)在实际中的意义：在实际中的意义： 代表作用时间很短、幅值很大的信号。代表作用时间很短、幅值很大的信号。G(s) (t)c(t)()()()(sGsGtLsC 正弦函数正弦函数 定义：定义： xr(t) =Asin( t+ ) 利用利用正弦函数作输入，可以求得系统对不同频率正弦函数作输入，可以求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应，由此间接分析系统的性能。的正弦输入的稳态响应，由此间接分析系统的性能。本章主要以本章主要以 为输入量来分析系统的

7、性能为输入量来分析系统的性能 阶跃函数阶跃函数斜坡函数斜坡函数抛物线函数抛物线函数3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标典型输入信号典型输入信号名称名称时域表达式时域表达式复域表达式复域表达式单位阶跃函数单位阶跃函数单位斜坡函数单位斜坡函数单位加速度函数单位加速度函数理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数1正弦函数正弦函数1( )0tt1s0tt21s2102tt31s( )0ttsin0Att22As3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 一阶系统：一阶系统：由一阶微分方程描述的系统由一阶微分方程描述的系统3.2.1 一阶系统

8、的数学模型一阶系统的数学模型 一阶系统微分方程为：一阶系统微分方程为：)()()(txtxdttdxTrcc Xr(s) Xc(s) 闭环传递函数：闭环传递函数：111111)()()(TssKsKsKsXsXsWrcB惯性环节惯性环节Ts13.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应sK3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 设设 xr(t) =1(t)，即即:s1) s (XrTssTsTsTsssWsXsXBrc/11111111)()()(对上式两端取拉氏反变换：对上式两端取拉氏反变换：tTcceTssLsXLtx1111/111)()(xssxtt求输出求输出xc(

9、t) =?3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应aseLat1)(tTttex1xc(t)初始斜率初始斜率1ssx暂态分量暂态分量 0 T 2T 3T 4T txr(t) =1(t)0.632 0.865 0.950 0.982稳态分量稳态分量3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应T1注意：注意：时间常数时间常数T是表征系统响应的唯一参数是表征系统响应的唯一参数 t=T, xc(t) =0.632 ； t=2T, xc(t) =0.865 t=3T, xc(t) =0.950 ； t=4T, xc(t) =0.982 一阶系统单位阶跃响应的性能指标：一阶系统单位阶跃响应的性能指标：

10、 调节时间或过渡过程时间调节时间或过渡过程时间ts ts=3T （对应（对应5%误差带）误差带） ts=4T （对应（对应2%误差带）误差带）T越小，越小， ts越小，响应过程的快速性越好越小，响应过程的快速性越好3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应例例3-1 已知一阶系统的结构图，试求：已知一阶系统的结构图，试求： 该系统单位阶跃响应的调节时间该系统单位阶跃响应的调节时间ts 。 如果要求如果要求ts 0.1s, 系统的反馈系数应取何值系统的反馈系数应取何值?解解: 由结构图求闭环传递函数由结构图求闭环传递函数0.1Xr(s) Xc(s) s100s101s1001 . 0s1001

11、s100) s (WB1s1 . 01010s100s )s101 (ss100T=0.1s当取当取5%误差带时误差带时ts=3T=0.3sKt 3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 设反馈系数取设反馈系数取Kt (Kt 0)1sK01. 0K/1K100s)Ks1001 (K100ss100Ks1001s100) s (WttttttB 故：故：T=0.01/ Kt 根据题意根据题意: ts =3T=0.03/ Kt 0.1，则：，则： Kt 0.3 当反馈系数大于等于当反馈系数大于等于0.3时，可使时，可使ts 0.1秒秒增加系统的反馈系数，可提高系统的快速性增加系统的反馈系数，可

12、提高系统的快速性3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 开环传递函数：开环传递函数： es1kCKKK k2mkBKssTK) s (W) 1sT( sK) s (Wmkk位置随动系统：位置随动系统：0KssTk2m二阶系统二阶系统 特征方程特征方程:闭环传递函数：闭环传递函数：K1 Ks r(s) (s) Uk Ud n c(s) f(s)sT1C/1mes1其中：其中：开环放大倍数开环放大倍数3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 2nn22nBs2s) s (W)2s ( s) s (Wn2nk令：令：mknTKkmKT21Xr(s

13、) Xc(s)典型二阶系统典型二阶系统)2s (sn2n开环传递函数：开环传递函数： 闭环传递函数：闭环传递函数：)2s ( s)T/1s ( sT/K) 1sT( sK) s (Wn2nmmkmkkmkm2mkk2mkBT/KT/ ssT/KKssTK) s (W2nn22ns2s3.3.1 典型二阶系统的动态特性典型二阶系统的动态特性2nn22nBrcs2ss1) s (W) s (X) s (X0s2s2nn2ns)1(22, 1特征方程：特征方程：特征根：特征根：)(212sssssn3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 二阶系统动态特性与特征根在复平面的分布有关二阶系统动态特

14、性与特征根在复平面的分布有关2222nnnssXc(s) =? xc(t)=? Xr(s)=1/s 特征根的分布与特征根的分布与大小大小有关有关1、 1 过阻尼过阻尼 此时系统有此时系统有两个不等的负实根两个不等的负实根：2 , 122 , 1) 1(psn111211)(2)1(2)1(222ttcnneetx 稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量 单位阶跃响应：单位阶跃响应： -p1 -p2s1 s2 j 3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 ns)1(22, 1-p2-p111211)(2)1(22tcnetx2、=1 临界阻尼临界阻尼 系统有系统有两个相等的负实根两个相等的负实根

15、：2, 1n2, 1ps n2 , 1p) t1 (e1) t (xntcnxc(t) txc(t) t若若-p1离虚轴很远，可忽略离虚轴很远，可忽略3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 ns)1(22, 1过阻尼时过阻尼时近似为一阶系统近似为一阶系统 3、01 欠阻尼欠阻尼 系统有系统有两个不等的具两个不等的具 有负实部的共轭复根有负实部的共轭复根2 , 122 , 1)1(pjsn)tsin(e111) t (xdt2cn21arctan=0.2=0.4=0.8=1=1.5 - n2n1j2n1j1p2p振荡角频率阻尼)(12nd3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 ns)

16、1(22, 15、0 负阻尼负阻尼 系统有系统有两个右半平面特征根两个右半平面特征根2, 1n2, 1pjstcos1) t (xnc2 -p2-p14、=0 无阻尼无阻尼 系统有系统有两个不等的共轭虚根两个不等的共轭虚根3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 等幅震荡等幅震荡发散震荡发散震荡ns)1(22, 1 上升时间上升时间tr 最大超调量最大超调量 % 调节时间调节时间ts 振荡次数振荡次数 3.3.2 二阶系统动态特性指标二阶系统动态特性指标 在欠阻尼在欠阻尼（01）时的暂态特性为：时的暂态特性为：)tsin(e111) t (xdt2cn 二阶系统暂态特性指标：二阶系统暂态特

17、性指标： 3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 有代表性x xcm 5%或或2%x xc()=1()=1t tst trt tx xc(t)(t)3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 t tm 一定时一定时 ： n大大tr小小上升越快上升越快 n一定时：一定时： 大大 tr大大上升越慢上升越慢 1、上升时间上升时间tr 令令 xc(t)=1，得：，得： d2nr1t%100%21e令令 0dt) t (dxcdn2m1t)()(%cccmxxx2、最大超调量、最大超调量 %21cme1x % %3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 3、调节时间、调节时间ts 令令 x

18、xc(t)=x(t)=xc( ()-x)-xc(t) (t) 0.05 0.05或或0.020.02 得：得： 或：或：n2ns3)1ln(2131%)5(tn2ns4)1ln(2141%)2(t ts与与n成反比，成反比， 一般由一般由 %决定，则决定，则ts值由值由 n决定决定0 0.94、振荡次数、振荡次数 在调节时间在调节时间ts内，内，xc(t)波动的次数。波动的次数。最大超调量最大超调量 %的大小反应系统相对稳定性的大小反应系统相对稳定性根据定义：根据定义： 2nsdsfs12t/2ttt215 . 1%)5(212%)2(3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 3.3.3

19、二阶工程特征参数与动态性能指标之间的关系二阶工程特征参数与动态性能指标之间的关系（1）阻尼比）阻尼比是二阶系统的重要参数是二阶系统的重要参数 当当0时时系统不能正常工作系统不能正常工作 当当1时时系统暂态响应进行太慢系统暂态响应进行太慢 欠阻尼情况（欠阻尼情况（01）是最有意义的）是最有意义的振荡周期3.3.4 二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数707. 021（2）阻尼比）阻尼比超调量超调量 % % （3）阻尼比）阻尼比调节时间调节时间ts 自然振荡角频率自然振荡角频率 n（4）一般取：）一般取： 阻尼比：阻尼比：0.4 0.8， 此时此时 %：1.5% %25%3.3 二阶系统的阶跃响应二阶

20、系统的阶跃响应 %3 . 4%100e%21T7 . 41td2nrT84)1ln(2141%)2(tn2nsT63)1ln(2131%)5 (tn2ns最大超调量：最大超调量：上升时间：上升时间：调节时间：调节时间：nnT2121令Tn213.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 解： 该系统的开环传递函数为：Xr(s) Xc(s)1s (sKk例3-2 有一位置随动系统，其结构图如图所示，Kk=4，求： 自然振荡角频率n； 阻尼比 ； 超调量% 和调节时间ts； 如果要求=0.707，应怎样改变系统参数Kk的值) 1s ( s4) s (Wk24Kkn 2n=1， =1/2 n=0.2

21、5 %47%100e%21s63%)5 (tns 若若 =0.707，则，则 故：故：5 . 0K2nk例例3-3 为改善上述系统的暂态品质，满足为改善上述系统的暂态品质，满足 %5Lj主导极点主导极点 影响大影响大影响小影响小高阶系统高阶系统 二阶系统二阶系统借助主导极点借助主导极点分析与设计分析与设计 3.4 高阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据3.5.1 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 线性系统正常工作的首要条件是系统必须是稳定的。线性系统正常工作的首要条件是系统必须是稳定的。1

22、、概念、概念扰动扰动消失消失FF稳定稳定 3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据不稳定不稳定被控系统被控系统产生初始偏差产生初始偏差恢复或接近原平衡状态恢复或接近原平衡状态输出进入新的平衡状态输出进入新的平衡状态扰动扰动作用作用稳定稳定最终最终被控系统被控系统输出发生变化输出发生变化给定给定变化变化2 2、稳定的充要条件、稳定的充要条件 系统特征方程的根（即系统特征方程的根（即闭环系统传递函数的闭环系统传递函数的极点极点）全部为负实数或具有负实部的共轭复根，）全部为负实数或具有负实部的共轭复根，即所有的闭环特征根分布在即所有的闭环特征根分布在s s平面虚轴的左侧。平面虚轴

23、的左侧。 系统特征根的分布决定于系统本身的系统特征根的分布决定于系统本身的 结构、参数，而与扰动输入量无关。结构、参数，而与扰动输入量无关。3.5.2 劳斯判据劳斯判据判定稳定性判定稳定性步骤：步骤： 初步鉴别初步鉴别特征方程不缺项，各项系数同号特征方程不缺项，各项系数同号 建立劳斯行列表，利用劳斯判据判定系统的稳定性建立劳斯行列表，利用劳斯判据判定系统的稳定性注意注意3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据系统特征方程为：系统特征方程为： a0sn+a1sn-1+a2sn-2+an-1s+an=0 n1n1n1n

24、0m1m1m1m0asasasabsbsbsb) s (W劳斯行列表：劳斯行列表： sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1计算计算表中的有关系数为：表中的有关系数为：130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc劳斯判据的内容：劳斯判据的内容： 劳斯表中的第一列元素都为正数劳斯表中的第一列元素都为正数系统稳定系统稳定3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代

25、数稳定判据改变符号的次数改变符号的次数 含有右半平面特征根的个数含有右半平面特征根的个数例例3-4 系统特征方程为：系统特征方程为：2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s+7=0 试利用劳斯判据判定系统的稳定性。试利用劳斯判据判定系统的稳定性。 解：初步鉴别：系统满足稳定的必要条件解：初步鉴别：系统满足稳定的必要条件 建立劳斯行列表：建立劳斯行列表： s6 2 3 6 7 s5 5 4 14 s4 7/5 2/5 7 s3 18/7 -11 s2 115/18 7 s1 -1589/115 s0 7 变号两次，变号两次，有两个右有两个右半平面的半平面的特征根特征根不稳定不稳定3.5 自

26、动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据-例例 系统特征方程为：系统特征方程为：s4+2s3+s2+2s+1=0 ，判定系统稳定性，判定系统稳定性 解：初步鉴别：满足要求解：初步鉴别：满足要求 建立劳斯行列表：建立劳斯行列表：s4 1 1 1 s3 2 2 s2 (0) 1 s1 2- 2/ s0 1 1、劳斯表中第一列出现零、劳斯表中第一列出现零处理方法处理方法：用一个很小的正数用一个很小的正数 代替为零项，然后继续计代替为零项，然后继续计 算其余各项；最后根据算其余各项；最后根据 0时第一列极限值时第一列极限值 的符号是否改变，来判定系统的稳定性。的符号是否改变，来判定系统的稳定

27、性。 不稳定不稳定 0，有，有两个右两个右半平面的特征根半平面的特征根两种特例两种特例：- 例例: 特征方程为：特征方程为：s3+2s2+s+2=0 ，判定系统稳定性。，判定系统稳定性。 解：解： 初步鉴别：满足要求初步鉴别：满足要求 建立劳斯行列表：建立劳斯行列表： s3 1 1 s2 2 2 s1 (0) s0 2 当当 0 时，第一列不变时，第一列不变号，系统无右半平面特征号，系统无右半平面特征根，但根，但有虚轴上的根（纯有虚轴上的根（纯虚根）虚根），系统不稳定。，系统不稳定。特征方程式分解为特征方程式分解为: (s2+1)(s+2)=0，特征根为特征根为: - p1,2= j1 - p

28、3 = - 2劳斯表中第一列出现零时，系统一定是不稳定的劳斯表中第一列出现零时，系统一定是不稳定的3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据2、劳斯表的某一行中，所有元素都等于零、劳斯表的某一行中，所有元素都等于零处理方法：处理方法：全零行的上一行全零行的上一行构成辅助方程式构成辅助方程式令其对令其对s求一阶导数求一阶导数求导后各项系数代替全零行的各项求导后各项系数代替全零行的各项继续列写劳斯表继续列写劳斯表判定稳定性判定稳定性3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据例例 3-5 系统特征方程为：系统特征方程为： s6+2s5+8s4+12s3+20s2+

29、16s+16=0 试判定系统的稳定性。试判定系统的稳定性。解：初步鉴别：满足要求解：初步鉴别：满足要求 s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 2 12 16 s3 0 0 0 全零行全零行辅助方程辅助方程s4+6s2+84s3+12s求导求导存在对称于原点的对根存在对称于原点的对根s3 4 12s2 3 8s1 4/3 s0 83.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据j2s4, 3劳斯表出现全零行时，系统一定是不稳定的劳斯表出现全零行时，系统一定是不稳定的j2s2, 1求对根求对根: 由辅助方程由辅助方程 s4+6s2+8 =0 (s2+4)(s2+2)

30、=0 说明：说明： 一阶、二阶系统稳定的充分必要条件是：一阶、二阶系统稳定的充分必要条件是： 特征方程所有系数均为正特征方程所有系数均为正 a0s+a1 =0，a0s2+a1s+a2=0 三阶系统稳定的充分必要条件是：三阶系统稳定的充分必要条件是： 特征方程所有系数均为正，且特征方程所有系数均为正，且a1 a2 a0 a3 a0s3+a1s2 +a2s+a3=0 a1 a3 a5 0 a0 a2 a4 0 0 a1 a3 0 D= 0 a0 a2 0 0 0 0 0 an-1 0 0 an-2 an 此行列式的构造方法：此行列式的构造方法： 行列式的维数为行列式的维数为 n n；在主对角线上，

31、从在主对角线上，从a1开始开始依次写入特征方程的各项依次写入特征方程的各项系数，直至系数，直至an为止；然后为止；然后在每一列内从上到下按在每一列内从上到下按下下标递减标递减的顺序填入其他系的顺序填入其他系数，最后用零补齐。数，最后用零补齐。胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据：系统稳定的充要条件是胡尔维茨：系统稳定的充要条件是胡尔维茨 行列式行列式D的的各阶主子式均大于各阶主子式均大于0。n n3.5.3 胡尔维茨判据胡尔维茨判据 特征方程：特征方程： a0sn+a1sn-1+a2sn-2+an-1s+an=0 胡尔维茨行列式系统的结构及各参数系统的结构及各参数 特征根分布特征根分布 系统稳定性

32、系统稳定性3.5.5 参数对稳定性的影响参数对稳定性的影响 即即 D1= a10, D2= 0 , D3= 0， ，Dn=D0 a1 a3 a0 a2a1 a3 a5 a0 a2 a4 0 a1 a3胡尔维茨判据只适用于胡尔维茨判据只适用于n6的系统的系统3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据例例3-6 试确定系统稳定时各参数间的关系试确定系统稳定时各参数间的关系 式中：式中： Kk系统开环放大倍数系统开环放大倍数特征方程特征方程: (T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)+ Kk=00K1s )TTT(s )TTTTTT(sTTTk32123231213321k321

33、kBK) 1sT)(1sT)(1sT(K) s (W) 1sT)(1sT)(1sT(K1) 1sT)(1sT)(1sT(K321k321k三阶系统三阶系统3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据由劳斯判据，其稳定的充要条件为：由劳斯判据，其稳定的充要条件为：)K1 (TTT)TTT)(TTTTTT(k3213213231212TTTTTTTTTTTTK0312312133221k若若 T1=T2=T3，则，则 0Kk8；若若 T2=T3，T1=10T2，则，则 0Kk0(30-K)/600K30若使系统稳定若使系统稳定例例 已知某系统的闭环传递函数：已知某系统的闭环传递函数

34、：解：特征方程：解：特征方程： s(s+1)(s+5)+K=0 s3+6s2+5s+K=0 劳斯行列表：劳斯行列表： s3 1 5 s2 6 K s1 (30-K)/6 s0 K 试确定使系统稳定的试确定使系统稳定的K值范围。值范围。劳斯判据劳斯判据 系统的待定参数系统的待定参数 3.5.6 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 稳定裕量：稳定裕量：系统相对于系统相对于临界稳定状态临界稳定状态的裕量。的裕量。 稳定裕量的衡量：稳定裕量的衡量：用系统用系统最右边特征根最右边特征根距离虚轴的距离虚轴的 距离距离 的大小来衡量。的大小来衡量。 判定方法：判定方法：设系统具有设系统具有 大的裕量，

35、以大的裕量，以 s=z- 代入原特征方程，确定在代入原特征方程，确定在 z平面平面 的新特征方程，然后判定新系统的稳定的新特征方程，然后判定新系统的稳定 性。若系统稳定或临界稳定，则有性。若系统稳定或临界稳定，则有 的的 裕量，否则，原系统不具备裕量，否则，原系统不具备 的裕量。的裕量。 zs反映反映 以以s=z- =z-1代入原代入原特征方程，得：特征方程，得： z3+2z2+z+2=0 系统正好具备系统正好具备 =1的裕量的裕量原系统稳定原系统稳定 例例3-8 系统特征方程为：系统特征方程为： s3+5s2+8s+6=0 ， 试判定系统稳定性，并检查其稳定裕量是否为试判定系统稳定性，并检查

36、其稳定裕量是否为 =1。 解：劳斯行列表为：解：劳斯行列表为： s3 1 8 s2 5 6 s1 34/5 s0 6 劳斯行列表为：劳斯行列表为： z3 1 1 z2 2 2 z1 (0) z0 2 存在虚轴上的根存在虚轴上的根(z平面平面)，或者在或者在s=-1(s平面平面) 上刚好上刚好有根。有根。 3.6 稳稳 态态 误误 差差稳态误差：稳态误差：在稳态条件下，输出量在稳态条件下，输出量xc(t)的的期望值与期望值与 实际值之间的误差实际值之间的误差，称为稳态误差。，称为稳态误差。稳态误差包括稳态误差包括3.6.1 扰动稳态误差扰动稳态误差W1(s)Wf(s)W2(s) Xr(s) Xc

37、(s)Xd(s)+扰动稳态误差扰动稳态误差给定稳态误差给定稳态误差计算方法和减小方法计算方法和减小方法定义：由于外部扰动的作用而产生的稳态误差。定义：由于外部扰动的作用而产生的稳态误差。=0 3.6 稳稳 态态 误误 差差扰动稳态误差是衡量恒值系统稳态品质的指标扰动稳态误差是衡量恒值系统稳态品质的指标)()(lim)(lim)(lim00sXssWssXtxedescsctss)()()(1)()()()(212sWsWsWsWsXsXsWfdce扰动误差传递函数为：扰动误差传递函数为：计算扰动稳态误差的方法：计算扰动稳态误差的方法： 令令Xr(s) =0，Xd(s) 0，此时，此时xc( )

38、 扰动误差扰动误差设扰动误差用设扰动误差用ess表示，则：表示，则： 扰动误差传递函数扰动误差传递函数 3.6 稳稳 态态 误误 差差拉式变换中值定理拉式变换中值定理)()()(1)()(lim)(lim21200sWsWsWsXsWstxefdscsss)(1)(lim)()()(1)(lim202120sWsWsWsWsWsWeksfsss设设Xd(s)=1/s，则：，则：扰动稳态误差的大小决定于扰动稳态误差的大小决定于:扰动稳态误差：扰动稳态误差：系统的结构（扰动系统的结构（扰动误差传递函数）误差传递函数）扰动量的形式扰动量的形式 3.6 稳稳 态态 误误 差差举例说明：如图为速度反馈系

39、统的动态结构图。举例说明：如图为速度反馈系统的动态结构图。KcCeKfsTCRmeaaR1 Ur(s) N(s)+当当 Ur(s)=0， Iz(s) 0:sT1KKKsfscsT1C/1meRa Iz(s) N(s)比例调节器比例调节器功率放大调节器功率放大调节器1/ s积分调节器积分调节器 Iz(s)sT1Kss Ud(s)扰动量扰动量=0由图可知，扰动输出为：由图可知，扰动输出为：式中式中 Kk= Kc Ks Kf / Ce系统开环放大倍数系统开环放大倍数当当 Iz(s)= Iz/s时，其扰动输出的稳态值为：时，其扰动输出的稳态值为：)(lim)(lim)(0sNstnnstsIK) 1s

40、T)(1sT(CR) 1sT(slimzksmeas0s)K1 (CRIIK) 1sT)(1sT(CR) 1sT(limkeazzksmeas0s)() 1)(1() 1()()()(sIKsTsTCRsTsIsWsNzksmeasz有差系统有差系统有差系统有差系统：在负载扰动下存在稳态误差的系统。：在负载扰动下存在稳态误差的系统。无差系统无差系统：在负载扰动下稳态误差为零的系统。：在负载扰动下稳态误差为零的系统。设积分调节器传递函数为：设积分调节器传递函数为：W1(s)=1/ ssT1C/1me)sT1 (sKKsfsRa Iz(s) N(s)比例调节器比例调节器 积分调节器积分调节器 3.

41、6 稳稳 态态 误误 差差扰动输出量为：扰动输出量为：式中：式中：K= Ks Kf / Ce 开环放大倍数开环放大倍数设：设： Iz(s)= Iz/s ，则：，则：)(lim)(lim)(0sNstnnst0K) 1sT)(1sT( s CIR) 1sT( slimsmezas0s)() 1)(1() 1()()()(sIKsTsTsCRsTssIsWsNzsmeasz无差系统无差系统在开环传递函数中串联积分环节，在开环传递函数中串联积分环节，可消除由阶跃扰动引起的稳态误差可消除由阶跃扰动引起的稳态误差3.6.2 给定稳态误差和误差系数给定稳态误差和误差系数 给定稳态误差是衡量给定稳态误差是衡

42、量随动系统随动系统稳态品质的指标。稳态品质的指标。设：设：Xr(s) - Xc(s)偏差偏差Wg(s)Xr(s) Xc(s)Wf(s)Xf(s)E(s)Xr(s)Xc(s)Wk(s)E(s)Xf(s)反映实际偏差、不可测量反映实际偏差、不可测量不反映实际偏差不反映实际偏差可以测量可以测量期望输出值期望输出值 实际输出值实际输出值定义定义: E(s) = Xr(s) - Xf(s) = Xr(s) - Wf(s) Xc(s)误差信号误差信号) s (sElim) t ( elime0stss) s (X) s (W) s (X) s (X) s (X) s (Ecfrfr) s (W) s (E

43、) s (W) s (Xgfr)()(11)()()(11)(sXsWsXsWsWsErkrgf稳态误差为：稳态误差为：误差信号：误差信号：误差传递函数误差传递函数We(s)：)(11)()()(sWsXsEsWkre)()(1lim)()(lim)(lim000sXsWssXssWssEerksressss给定给定稳态误差：稳态误差： 3.6 稳稳 态态 误误 差差给定稳态误差决定于系统的结构和输入量给定稳态误差决定于系统的结构和输入量单位反馈系统的开环传递函数为：单位反馈系统的开环传递函数为：NnjjNmiikksTssTKsW11) 1() 1()(N 开环传递函数中串联积分环节的个数开

44、环传递函数中串联积分环节的个数 （无差阶数）（无差阶数） N个串联积分环节的等效传递函数个串联积分环节的等效传递函数Kk开环放大系数（开环增益）开环放大系数（开环增益） 3.6 稳稳 态态 误误 差差Ns1N=0 0型系统型系统N=1 型系统型系统N=2 型系统型系统系统结构系统结构pssK11e N=0 0型系统型系统k0n1jj0m1iik0sk0spK) 1sT(s) 1sT(Klim) s (WlimKkKe11)(0型系统单位阶跃输入的稳态误差：型系统单位阶跃输入的稳态误差：1、典型输入情况下，系统的给定稳态误差分析、典型输入情况下，系统的给定稳态误差分析、单位阶跃输入、单位阶跃输入

45、 xr(t) =1， Xr(s) =1/s) s (WlimKk0sp 位置误差系数位置误差系数) s (Wlim11s1) s (W1slimek0sk0sss稳态误差：稳态误差： N=1 型系统型系统1n1jj1m1iik0sk0sp) 1sT(s) 1sT(Klim) s (WlimK型系统单位阶跃输入的稳态误差：型系统单位阶跃输入的稳态误差： N=2 型系统型系统2n1jj2m1iik0sk0sp) 1sT(s) 1sT(Klim) s (WlimK型系统单位阶跃输入的稳态误差：型系统单位阶跃输入的稳态误差：0K11epss0K11epss 3.6 稳稳 态态 误误 差差 速度误差系数

46、速度误差系数 单位斜坡输入单位斜坡输入 xr(t) =t， Xr(s) =1/s2 ) s (sWlim1s1) s (W1slimek0s2k0sss) s (sWlimKk0svvssK1e物理意义：物理意义：0型系统型系统：无积分环节，不能对输入进行累加，若使输无积分环节，不能对输入进行累加，若使输出保持与输入相同值，必须存在一定的误差；出保持与输入相同值，必须存在一定的误差； 、型系统型系统：有积分环节，可对输入进行累加，只有积分环节，可对输入进行累加，只有输入偏差为零时，输出才不再累加，保持一恒定值。有输入偏差为零时，输出才不再累加，保持一恒定值。稳态误差：稳态误差： N=0 0型系

47、统型系统0) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (sWlimK0n1jj0m1iik0sk0svvssK1e0型系统单位斜坡输入的稳态误差：型系统单位斜坡输入的稳态误差： N=1 型系统型系统k1n1jj1m1iik0sk0svK) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (sWlimK型系统单位斜坡输入的稳态误差：型系统单位斜坡输入的稳态误差：kvssK1K1e 3.6 稳稳 态态 误误 差差型系统单位斜坡输入的稳态误差：型系统单位斜坡输入的稳态误差：物理意义：物理意义：0 型系统型系统：在斜坡输入时，只有偏差越来越大，才能使在斜坡输入时，只有偏差越来越大，才能使输出与输入按相同的速度

48、增长；输出与输入按相同的速度增长；型系统型系统：有一个积分环节，只有输入偏差为一定值，有一个积分环节，只有输入偏差为一定值，输出才按相同的速度跟随输入变化；输出才按相同的速度跟随输入变化； 型系统型系统：有两个积分环节，只有输入偏差为零时，经有两个积分环节，只有输入偏差为零时，经过两级累加，输出才按相同的速度跟随输入变化。过两级累加，输出才按相同的速度跟随输入变化。2n1jj2m1iik0sk0sv) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (sWlimK N=2 型系统型系统0K1evss 单位抛物线输入单位抛物线输入 xr(t) =t2 /2， Xr(s) =1/s3 ) s (Wslim

49、1s1) s (W1slimek20s3k0sss 加速度误差系数加速度误差系数 ) s (WslimKk20saassK1e N=00型系统型系统0) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (WslimK0n1jj0m1iik20sk20sa0型系统单位抛物线输入的稳态误差：型系统单位抛物线输入的稳态误差：aK1)( e 3.6 稳稳 态态 误误 差差稳态误差：稳态误差： N=1 型系统型系统0) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (WslimK1n1jj1m1iik20sk20sa型系统单位抛物线输入的稳态误差：型系统单位抛物线输入的稳态误差：assK1e N=2 型系统型系统k2

50、n1jj2m1iik20sk20saK) 1sT(s) 1sT(Kslim) s (WslimK型系统单位抛物线输入时的稳态误差：型系统单位抛物线输入时的稳态误差：kassK1K1e 3.6 稳稳 态态 误误 差差输入输入1tt2 /2系统系统Kpe()Kve()Kae()0型型Kk1/(1+ Kk)00型型0Kk1/ Kk0型型00Kk1/ Kk误差系数与稳态误差误差系数与稳态误差物理意义：物理意义：0型、型、型系统型系统：在抛物线输入时，只有输入偏差越来在抛物线输入时，只有输入偏差越来越大，才能使输出与输入按相同的加速度增长；越大，才能使输出与输入按相同的加速度增长；型系统型系统：有两个积

51、分环节，只有输入偏差为定值时，有两个积分环节，只有输入偏差为定值时，经过两级累加输出才按相同的加速度跟随输入变化。经过两级累加输出才按相同的加速度跟随输入变化。为使为使ess降低降低，必须针对不同的输入量选择不同形，必须针对不同的输入量选择不同形式的系统，并且选取较高的式的系统，并且选取较高的Kk值。值。考虑系统的稳定性考虑系统的稳定性，一般选择，一般选择型以内的系统，型以内的系统，并且并且Kk值也要满足系统稳定性的要求。值也要满足系统稳定性的要求。2、动态误差系数、动态误差系数 前述方法前述方法 能求得稳态误差能求得稳态误差ess的值的值 不能求得进入稳态后误差不能求得进入稳态后误差e(t)

52、的变化规律。的变化规律。此方法此方法 能求出稳态误差值能求出稳态误差值ess 能求得进入稳态后误差能求得进入稳态后误差e(t)随时间变化的规律。随时间变化的规律。 讨论：讨论：Kk e() N e()Kk 、N太大影响稳定性太大影响稳定性m1iikNn1jjNNn1jjN) 1sT(K) 1sT(s) 1sT(snn2210nn2210ssssss合并幂次相同各项合并幂次相同各项2210sk1sk1k1误差传递函数为：误差传递函数为：) s (W11) s (W) s (W11) s (X) s (E) s (Wkgfre长除法长除法) s (Xsk1) s (sXk1) s (Xk1) s

53、(Er22r1r0 系统的稳态误差由给定量及其各阶导数决定。它表述系统的稳态误差由给定量及其各阶导数决定。它表述了系统在动态过程的误差值。了系统在动态过程的误差值。 称称: k0 动态位置误差系数动态位置误差系数 k1 动态速度误差系数动态速度误差系数 k2 动态加速度误差系数动态加速度误差系数稳态误差值为：稳态误差值为：) s (Xksksk1slim) s (sElim) t ( elimer22100s0stss误差的拉氏变换为：误差的拉氏变换为： 3.6 稳稳 态态 误误 差差进入稳态时稳态误差的时间函数进入稳态时稳态误差的时间函数(在初始条件为零时在初始条件为零时)：) t (xk1

54、) t (xk1) t (xk1lim) t ( elimr2r1r0tt结论：已知系统各动态误差系数和输入量的各阶导结论：已知系统各动态误差系数和输入量的各阶导 数，即可求出数，即可求出t时误差的变化规律。时误差的变化规律。) s (Xsk1) s (sXk1) s (Xk1) s (Er22r1r0 3.6 稳稳 态态 误误 差差例例3-6 有一单位反馈系统，其开环传递函数为：有一单位反馈系统，其开环传递函数为：1sTsTTK) s (Wm2dmkk 求当求当Xr(s)=1/s，1/s2 时，系统的时，系统的稳态误差稳态误差和和稳态误差的时间函数稳态误差的时间函数。解：误差传递函数为：解：

55、误差传递函数为：2dmmk2dmmkresTTsTK1sTTsT1) s (W11) s (X) s (E) s (W展开成展开成s的升幂级数：的升幂级数：2kdmkdmk2kmkkes)K1 (TT1)K1 (TTKs)K1 (TKK11) s (W2essLim e(t) t 3.6 稳稳 态态 误误 差差) s (sX)K1 (TK) s (XK11) s (Er2kmkrk) s (Xs)K1 (TT1)K1 (TTKr2kdm2kdmkmk2k1TK)K1 (kk0K1kT)K1 (TTK)K1 (kmkdmk3k2动态位置误差系数动态位置误差系数动态速度误差系数动态速度误差系数动态

56、加速度误差系数动态加速度误差系数 3.6 稳稳 态态 误误 差差 设设Xr(s) =1/s，即，即 xr(t) =1，则，则 , 0) t (xr0) t (xrk022100s0sK11k1s1)ksksk1( slim) s (sElim)( e稳态误差的时间函数为：稳态误差的时间函数为：k0r2r1r0ttK11k1) t (xk1) t (xk1) t (xk1(lim) t ( elim 设设Xr(s) =1/ s2 ，即，即xr(t) = t，则，则 ,1) t (xr0) t (xr稳态误差值为：稳态误差值为：222100s0ss1)ksksk1( slim) s (sElim)

57、( e)ksk1sk1(lim2100s稳态误差值为：稳态误差值为：稳态误差的时间函数为：稳态误差的时间函数为：2kmkk10)K1 (TKK1tk1kt例例3-7 一单位反馈系统的开环传递函数为：一单位反馈系统的开环传递函数为： 当当 时，时，) s51 (s) s1 (10) s (W2k2210rtg21tgg) t (x解：误差传递函数为：解：误差传递函数为：3232kres5ss1010s5s) s (W11) s (X) s (E) s (W32s52s101长除法长除法求其求其稳态误差值稳态误差值ess和和稳态误差的时间函数稳态误差的时间函数 。) t (xk1) t (xk1)

58、 t (xk1(lim) t ( elimr2r1r0tt误差信号：误差信号：) s (Xs52) s (Xs101) s (Er3r2故，故， k0= k1=， k2=10， k3=5/2)sgsgsg)(s52s101( slim) s (sElim)( e32210320s0s稳态误差的时间函数为：稳态误差的时间函数为：10g) t (x52) t (x101(lim) t ( elim2rrtt稳态误差为：稳态误差为：tgg) t (x21r0) t (xr2rg) t (x10g)sgsgsg)(s52s101(lim232210430s 3.6 稳稳 态态 误误 差差W1(s)Wf

59、(s)W2(s) Xr(s)=0 Xc(s) N(s)+复 习) s (W) s (W) s (W1) s (N) s (Wslim) s (Xslim) t (xlim)( ef2120sc0sct扰动稳态误差：扰动稳态误差：给定稳态误差：给定稳态误差：Xr(s)Xc(s)Wk(s)E(s) s (X) s (W1slim) s (X) s (sWlim) s (sElim)( erk0sre0s0sKk e()N e()Kk 、N太大影响稳定性太大影响稳定性补偿方法：补偿方法：引入引入补偿装置补偿装置增加增加前馈控制前馈控制3.6.3 减小稳态误差的方法减小稳态误差的方法控制信号包括控制信

60、号包括偏差信号偏差信号补偿信号补偿信号前馈前馈-反馈控制：反馈控制： 3.6 稳稳 态态 误误 差差) s (sElim) t ( elim)( e0st1、减小给定稳态误差的方法、减小给定稳态误差的方法Xr(s)Xc(s)W1(s)W2(s)E(s)Wc(s)Xb(s)+补偿校正装置补偿校正装置补偿信号补偿信号) s (W)s (X) s (W) s (E) s (X) s (X) s (X) s (E2b1rcr) s (W)s (W) s (X) s (W) s (E) s (X2cr1r) s (W) s (W) s (X) s (W) s (W) s (E) s (X2cr21r偏差