气体动理论习题

1、气体动理论习题气体动理论习题气体动理论习题 6-1 有一水银气压计，当水银柱为有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面为高时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的。管的截面积为截面积为2.010-4 m2。当有少量氮气混入。当有少量氮气混入水银管内顶部，水银柱高下降为水银管内顶部，水银柱高下降为0.60m。此。此时温度为时温度为270C，试计算有多少质量氮气在，试计算有多少质量氮气在管顶？（氮气的摩尔质量为管顶？（氮气的摩尔质量为0.004kg/mol,0.76m水银柱压强为水银柱压强为1.013105Pa）= 0.004 kg/mol M解：解：Phd1()=h20.76()

2、1.33105 Pa=0.60=0.282.010-4 V5.610-4 m3 =T273+27=300 K=1.9210-5kg =0.040.161.331055.610-48.31300VMPm=TRVMPm=TR 6-2 一体积为一体积为1.010-3 m3 的容器中，的容器中，含有含有4.010-5 kg的氦气和的氦气和4.010-5 kg的的氢气，它们的温度为氢气，它们的温度为 300C，试求容器中混，试求容器中混合气体的压强。合气体的压强。= 2.52104Pa = 5.04104Pa =VMPm=TR1114.010-58.31303 4.010-31.010-3 =4.010

3、-58.31303 2.010-31.010-3 VMPm=TR222=+P1P2P7.56104Pa 1= 4.110-3kg/mol MHe的摩尔质量的摩尔质量2.010-3kg/mol 2=MH2的摩尔质量的摩尔质量=T273+30=303 K解：解： 6-3 一封闭的圆筒，内部被导热的不漏一封闭的圆筒，内部被导热的不漏气的可移动活塞隔为两部分。最初，活塞位气的可移动活塞隔为两部分。最初，活塞位于筒中央，圆筒两侧的长度于筒中央，圆筒两侧的长度 l1= l2。 当两侧当两侧各充以各充以T1、p1，与与T2、p2的相同气体后，问的相同气体后，问平衡时活塞将在什么位置上（平衡时活塞将在什么位置

4、上（ 即即 l1/l2 是多是多少）？已知少）？已知 p1=1.013105Pa, T2= 680K, p2 = 2.026105Pa, T2 =280K。lPT1lP=T12221mm12()=ll12P T1P=T221mm12=12802680734lPT1lP=T12221mm12=P1P2ll12=mm12=734m解：解：=TT21平衡时：平衡时：1lMP=TR111SlP2Mm=TR222S 6-4 20个质点的速率如下：个质点的速率如下： 2个具有速率个具有速率v0, 3个具有速率个具有速率2v0, 5个具有速率个具有速率3v0, 4个具有速率个具有速率4v0, 3个具有速率个

5、具有速率5v0, 2个具有速率个具有速率6v0, 1个具有速率个具有速率7v0。试计算试计算: (1)平均速率；平均速率； (2)方均根速率；方均根速率； (3)最概然速率。最概然速率。Nvi=iNv=v0+2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2N=iNv2=vp3v0解：解： 6-5 计算在计算在300K温度下，氢、氧和水银温度下，氢、氧和水银蒸汽分子的方均根速率和平均平动动能。蒸汽分子的方均根速率和平均平动动能。MH2=210-3 kg/mol MH

6、g=20210-3 kg/mol TR3Mv2=v2=o23 8.31300 3210-3 484m/s=v2=Hg3 8.31300 202193m/sMo2=3210-3 kg/mol 解：解：(1)= 6.2110-21 JEk23=1.3810-23300 kT23(1)平均平动动能平均平动动能=v2=H23 8.31300 210-3 1934m/s 6-6 求速度大小在求速度大小在vp与与1.01vp之间的气之间的气体分子数占总分子数的百分比体分子数占总分子数的百分比.4ne2x=n2-xx=xvpv0.01=vpv4ne2x=n2-xx=0.01 4e-10.83%解：将麦克斯韦

7、速率分布公式改写为：解：将麦克斯韦速率分布公式改写为：=x0.01vp=xv式中式中=vpv1=x 6-7 求求(1)速度大小在速度大小在0与与vp之间的气体分之间的气体分子的平均速率子的平均速率;(2)速度大小比速度大小比vp大的气体分子大的气体分子的平均速率。的平均速率。提示：提示：x-847. 01022=dxepx-1022=dxepNv0d=vpvN0dpve3=v0dvpv2pvv2e2v0dvpv2pvv2vp=xv令令=vpvxdd=e20dx1-x 2pve0dx1-x 2解：解：(1)=e2x0dx1-x 2e3x0dx1-x 2pvv120.7050.84e()()=+1

8、e11epvpv(2)同理同理=e20dx-x 2pve0dx-x 2=e2x0dx-x 2e3x0dx-x 2pvv1.4=pv120.84e()()=1e01epv10 6-8 遵守麦克斯韦速率分布的分子的遵守麦克斯韦速率分布的分子的最概然能量最概然能量Ep等于什么量值？它就是等于什么量值？它就是吗？吗？2mvp1解：设每个分子的质量为解：设每个分子的质量为m ，则一个分子的则一个分子的 动能为：动能为：Evm221=2NekT23d()=ENEkETdE2NekT23d()=ENEkETdE根据麦克斯韦能量分布函数根据麦克斯韦能量分布函数最可几能量可由最可几能量可由得到得到()=NdEd

9、EddE0即：即：()=21E1ekETEkT1ekET0()=21E1ekETEkT1ekET0 Ep()=Evm221=pm21kT2m2kT=E21=pkT而分子速率为而分子速率为时，它具有的能量为：时，它具有的能量为：vp 6-9 设设N个粒子的系统的速率分布函数为：个粒子的系统的速率分布函数为：0，NVvkd()=vdvk为常量为常量()Nd=v0Vv(1)画出分布函数图；画出分布函数图；(2)用用N和和V定出常量定出常量K；(3)用用V表示出算术平均速率和方均根速率。表示出算术平均速率和方均根速率。=00vNdvNk vdk=NvkNdvvdvvO=13v200vNdNkvdv22

10、1v=00vNdNk vdvv2v(3)k=Ndvvd(2)解：解：(1)分布函数如图分布函数如图k=Nv 6-10 设氢气的温度为设氢气的温度为3000C ,求速度大求速度大小在小在3000m/s到到3010m/s之间的分子数之间的分子数n1与速度大小在与速度大小在vp到到vp+10m/s 之间的分子数之间的分子数n2之比。之比。4ne2x=n2-xxH2=TR2Mpv0.002=28.315732182 m/s=()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182300573K273T=+解：解：速

11、率在速率在3000-3010m/s之间的分子数为：之间的分子数为：速率在速率在vp-vp+10 m/s之间的分子数为：之间的分子数为：()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182=n1n2()230002182e()221823000e0.78 6-11 求氢气在求氢气在 300K 时时 分分 子子 速速 率率 在在 vp-10m/s 与与 vp+10m/s 之间的分子数所之间的分子数所占的百分比。占的百分比。H2=TR2Mpv0.002=28.313001579 m/s=4ne2=n1579-

12、101579()21579-101579201579=1.05%4ne2x=n2-xx解：解： 6-12 试求温度为试求温度为T，分子质量为，分子质量为m的气体的气体中分子速率倒数的平均值中分子速率倒数的平均值它是否等于它是否等于？1v()1v()21udueb20-bu()=提示：提示：1f0d()( )=vvv1()vkk24me23()T2mTv2v2dv0=1()vk24me23()Tk2mTv2vdv0=24m23()Tk=2mTk2()=2m()Tk212=4v11()vv1 v=Tk8mTk2m2解：解： 6-13 1mol氢气，在温度为氢气，在温度为270C时，它时，它的分子平

13、动动能和转动动能各为多少？的分子平动动能和转动动能各为多少？= 3.74103 J E23=8.31300TRk23=E=TRk8.31300=2.49103 J 解：解：平动动能平动动能转动动能转动动能 6-14 求上升到什么高度时，大气压强减求上升到什么高度时，大气压强减到地面的到地面的75%，设空气的温度为设空气的温度为00C，空气，空气的摩尔质量为的摩尔质量为0.0289kg/mol。0=PRehTMglnP=0PRhTMglnP=0PRhTMg=2.3km 8.312732810-39.80.75lnP=kehT g0P解：解： 6-15 求压强为求压强为1.013105Pa、质量为

14、质量为210-3kg、容积为、容积为1.5410-3m3的氧气的的氧气的分子的平均平动动能。分子的平均平动动能。=3102 K wk23=TVMPm=TR=1.0131051.5410-33210-3210-38.31=6.210-21 J =1.3810-23310223VMPm=TR解：解： 6-16 容器内储有容器内储有1mol的某种气体，今的某种气体，今从外界输入从外界输入2.09102J的热量，测得其温的热量，测得其温度升高度升高10K，球该气体分子的自由度。，球该气体分子的自由度。E2 i=TR=22.09 1028.31105.035E2 i=TR解：解： 6-17 导体中共有导

15、体中共有N个自由电子。电子气个自由电子。电子气中电子的最大速率中电子的最大速率vF叫费米速率。电子的速叫费米速率。电子的速率在率在 vv+dv 的概率为的概率为:式中式中A为常量。为常量。(1)由归一化条件求由归一化条件求A；(2)证证明电子气中电子的平均动能明电子气中电子的平均动能此处此处EF 叫做费米能。叫做费米能。40AFNv2d=NdvNv0vFvv35wm2()=12Fv35=FE1=4Av2dvNv0=NdNFFv331=4 ANFv33=4AN40AFNv2d=NdvNv0vFvv解：解：(1)由归一化条件：由归一化条件：求得归一化系数求得归一化系数=NdNfd( )vv=m21

16、2v0vFNdNwm2=12vm=124 AN0dvvFv4m=124 AN15Fv5m=124N15Fv5Fv334N()=35m212vF()FE=35v2f0d( )=vvvFv2(2)平均平动动能为：平均平动动能为： 6-18 无线电所用的真空管的真空度为无线电所用的真空管的真空度为1.3310-3 Pa，试求在，试求在 270C时单位体积时单位体积的分子数及分子平均自由程。设分子的有的分子数及分子平均自由程。设分子的有效直径为效直径为3.010-10 m。=3.221017 个/m3 Pnk=T12d2=nl=23.04(3.010-10)23.210171= 7.84m 1.381

17、0-233001.3310-3=解：解： 6-19 在标准状态下氦气在标准状态下氦气(He)的黏度的黏度 =1.8910-5 Pa.s，又，又Mmol =0.0040kg/mol,v = 1.20103 m/s,试求；试求；(1)在标准状态下氦原子的平均自由程。在标准状态下氦原子的平均自由程。(2)氦原子的半径。氦原子的半径。nv31=l3nv=l=2.610-7 m=31.8910-50.1781.2103=0.178 kg/m3 =410-322.410-3解：解：(1)=1.7910-10 m=1.3810-32731.4126510-73.141.013105=r2d0.8910-10

18、 m(2)2d2=plTk2d=pTkl 6-20 设氮分子的有效直径为设氮分子的有效直径为10-10 m,(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数；求氮气在标准状态下的平均碰撞次数；(2)如果温度不变，气压降到如果温度不变，气压降到1.3310-4 Pa,则平均碰撞次数又为多少？；则平均碰撞次数又为多少？；v=Tk8M解：在标准状态下解：在标准状态下N2 的平均速度为的平均速度为=454 m/s =3.140.02888.31273Pnk=T1.3810-232731.013105=2.691025 个/m3 12d2=nl=23.14(10-10)22.6910251= 8.3910-7 m

19、 =5.42108 次次/s 454zv=8.3910-7lz=zPP=1.3310-45.421081.013105=0.71 次次/s z=zPP设气压降低后平均碰撞次数为设气压降低后平均碰撞次数为z 6-21 这些温度这些温度00C和压强和压强1.0105 Pa下，空气的密度是下，空气的密度是1.293 kg/m3,v =4.6102 m/s， =6.410-8 m，求黏度。求黏度。=1.2936.410-84.6102311.2710-5 Pa.s =31=hvl解：解： 6-22 由实验室测定，在标准状态下，氧由实验室测定，在标准状态下，氧气的扩散系数为气的扩散系数为1.910-6

20、Pa.s,根据这些数根据这些数据计算氧分子的平均自由程和分子有效直径。据计算氧分子的平均自由程和分子有效直径。=425 m/s =3.140.03288.31273D31=vlv=Tk8M解：解：(1)D3=vl=42530.1910-41.3410-7 m=2.5210-10 m=1.3810-32731.413.141.3410-71.0131052d=pTkl(2) 6-23 设有遵守范德瓦耳斯方程的设有遵守范德瓦耳斯方程的 1mol 气体，试建立起临界点温度与压强、体积之气体，试建立起临界点温度与压强、体积之间的关系。间的关系。k3()=VV0解：改写范德瓦尔斯方程解：改写范德瓦尔斯方程0VPb3()=+TRPV2aPVabP(1)在临界点时，在临界点时，v 的三个根为同一值的三个根为同一值vk将此式展开得：将此式展开得：+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)在临界点在临界点 ( pk ,Vk ,Tk ) 式式(1)为：为：0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)=2aPkVk3+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)式式(2)与与(3)比较对应的系数应相等，的到：比较对应的系数应相等，的到：=V3abPkkb=+TRPVkkk