机械CADCAM第4章

1、Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing2Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing3Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and

2、 Manufacturing4Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing5Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing6Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing7CAD/CAM中中几何图形几何图形是基本元素；是基本元素；2D/3D均由均由点、线、面、点、线、

3、面、拓扑关系拓扑关系组成；组成； 几何变换的实质几何变换的实质：是点的坐标的变换是点的坐标的变换； 几何变换：拓扑关系不变（改变点坐标、线面参数）；几何变换：拓扑关系不变（改变点坐标、线面参数）；Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing81.1.坐标系坐标系定量描述物体的几何形状、大小和方位，必须使用坐标系定量描述物体的几何形状、大小和方位，必须使用坐标系计算机图形学中主要使用计算机图形学中主要使用笛卡儿直角坐标系笛卡儿直角坐标系。Computer Aided Design an

4、d ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing91）世界坐标系（世界坐标系（World Coordinates System, WCS）用户绘图时，按照用户绘图时，按照产品结构特点产品结构特点建立的坐标系。建立的坐标系。多用多用右手右手直角坐标系直角坐标系，也称为，也称为用户坐标系用户坐标系。该坐标系的坐标使。该坐标系的坐标使用实数，取值范围无用实数，取值范围无限，单位可以取限，单位可以取m、mm、英寸等。、英寸等。Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Desig

5、n and Manufacturing102）设备坐标系（设备坐标系（Device Coordinates System, DCS）与设备的物理参数有关，多用与设备的物理参数有关，多用左手直角坐标系左手直角坐标系。图形显示。图形显示器使用器使用屏幕坐标系屏幕坐标系，绘图机使用，绘图机使用绘图坐标系绘图坐标系。坐标值为整数且坐标值为整数且有固定的取值范有固定的取值范围。单位为围。单位为设备设备的分辨率的分辨率（像素（像素或绘图笔的步长或绘图笔的步长） Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufact

6、uring11Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing123）规范化设备坐标系（规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates System,简称简称NDCS） 为在不同系统和应用设备之间方便地为在不同系统和应用设备之间方便地交换图形信息交换图形信息，使，使图形支撑软件图形支撑软件摆脱具体物理设备的依赖，规定一个中摆脱具体物理设备的依赖，规定一个中间坐标系。间坐标系。Computer Aided Design and ManufacturingCom

7、puter Aided Design and Manufacturing133）规范化设备坐标系（规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates System,简称简称NDCS） 坐标系的取值范围坐标系的取值范围 0-1，当把图形转换到具体的输出，当把图形转换到具体的输出设备上时，只需将图形的规范化坐标乘以相应设备的设备上时，只需将图形的规范化坐标乘以相应设备的分辨率即可。分辨率即可。Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing144）齐次坐标及齐次坐标

8、及规范化齐次坐标规范化齐次坐标用用n+1维矢量来表示一个维矢量来表示一个n维空间的位置矢量维空间的位置矢量。如果将一个如果将一个n维空间位置矢量维空间位置矢量X= X1, X2,X3 Xn，放到，放到n +1维空间表示为：维空间表示为： Z1, Z2, Z3 Zn, H ,使得：使得：X1=Z1/H， X2=Z2/H， X3=Z3/H，Xn=Zn/H 称称 Z1, Z2, Z3 Zn, H 是矢量是矢量X的齐次坐标；的齐次坐标；H0;0;Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing1

9、54）齐次坐标及齐次坐标及规范化齐次坐标规范化齐次坐标其中其中H为不等于零的比例因子；为不等于零的比例因子；当当H=1时，则称为时，则称为规范化齐次坐标规范化齐次坐标。例如平面上点例如平面上点P（x,y）的规范化齐次坐标是）的规范化齐次坐标是 P(x,y,1)Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing16 2.2.变换矩阵变换矩阵几何变换的实质几何变换的实质：是点的坐标的变换是点的坐标的变换； 二维图形齐次变换矩阵二维图形齐次变换矩阵： （x, y, 1）=(x, y, 1) *T

10、 (x, y)变换前点坐标；变换前点坐标； (x, y) 变换后点坐标变换后点坐标;T齐次变换矩阵；齐次变换矩阵； 3*3的方阵；的方阵； snmqdcpbaT=Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing17Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing18 二维图形的基本变换形式二维图形的基本变换形式 ； (1) 平移变换：平移变换：snmqdcpbaT=1010001n

11、mT=Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing19 二维图形的基本变换形式二维图形的基本变换形式 ； (2) 旋转变换：旋转变换：snmqdcpbaT=1000cossin0sincosT=例1：三角形ABC（x1,y1）、(x2,y2)、(x3,y3)，现使三角形绕（3，4）逆时针转90，试推导其变换矩阵并计算结果；（10分）Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturin

12、g20 (2) 变比例变换： X*=SxX Y*=SyY (3) 旋转变换： X*=Xcos-Ysin Y*=Xsin+Ycos 2 2坐标变换的矩阵表示形式：坐标变换的矩阵表示形式： 一个点的坐标可以用矩阵形式x y 表示，坐标变换的矩阵表示形式为： X* Y*=X Y =aX+cY bX+dY 其中：T= 为变换矩阵。 dcbadcbaComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing21 注意，不论变换矩阵中的元素a、b、c、d为何值时，都不能使图形产生平移变换，即用2行2列的变换矩

13、阵不能实现图形的平移变换。这就需要使用图形的另一种表示方法齐次坐标。 3 3齐次坐标与齐次变换矩阵：齐次坐标与齐次变换矩阵： 为了进行平移变换，要给二维点的位置矢量增加一个附加坐标，使之成为三维行向量x y l，即用点的齐次坐标表示，这样便可进行运算了。 (1) 齐次坐标： 齐次坐标是将一个n维空间的点用n+1维坐标来表示。如在直角坐标系中，二维点x y的齐次坐标通常用三维坐标Hx Hy H表示，一个三维点x y z 的齐次坐标通常用四维坐标Hx Hy Hz H表示。在齐次坐标系中，最后一维坐标H称为比例因子。Computer Aided Design and ManufacturingCom

14、puter Aided Design and Manufacturing22拓扑关系拓扑关系: 是指图形元素之间相互空间上的连接、邻是指图形元素之间相互空间上的连接、邻接关系。接关系。 如：点与点的邻接关系、点与面的包含关系、线与如：点与点的邻接关系、点与面的包含关系、线与面的相离关系、面与面的重合关系等面的相离关系、面与面的重合关系等 Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing23 三维直角坐标与其齐次坐标的关系是： x=Hx/H y=Hy/H z=Hz/H 由于H的取值是任意的

15、，所以任一点可用多组齐次坐标表示。在一般使用中，总是将H设为“1”，以保持两种坐标的一致。 (2) 齐次变换矩阵： 对于二维坐标系上的点，齐次坐标为Hx Hy H,而齐次坐标变换矩阵的形式是： T= snmqdcpbaComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing24 4 4二维复合变换：二维复合变换： 实际上，上述介绍的几种基本变换一般不单独出现，通常出现的都是复合变换。有的图形须经过多次基本变换才能完成，这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变换。设各次变换的变换矩阵分别为T1，

16、T2，Tn，则复合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积。 例：当图形要对画面中的某一点(x0,y0)作放大时，可通过如下三种基本变换复合而成： (1) 首先将坐标原点（0，0）平移至（x0，y0） (2) 然后图形以（x0，y0）为中心作放大 (3)最后将坐标原点自（x0，y0）的位置移回原处（0，0） Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing25 则以点（x0，y0）为中心，放大系数分别为Sx、Sy的复合变换矩阵为： T=T1T2T3= 同理，当图形绕坐标原点以外的任意点（x0，y0）

17、作旋转时，也可以通过三种基本变换复合而成，即将旋转中心平移到坐标原点，其变换矩阵为T1；然后使图形绕坐标原点旋转角，变换矩阵为T2；最后将旋转中心平移回原来的位置，其变换矩阵为T3。则绕坐标原点以外的任意点旋转角的复合变换矩阵为： T=T1T2T3= 1)cos1 (sinsin)cos1 (0cossin0sincos0000yxyx1)1 ()1 (000000yxyxsysxssComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing26 4.2 4.2 三维图形的坐标变换三维图形的坐标变

18、换 三维图形的坐标变换是二维图形坐标变换的简单扩展。三维齐次坐标变换矩阵的形式是： T = 4.2.1 4.2.1 三维基本变换三维基本变换 1比例变换： 2反射（对称）变换： (1)对xoy平面的反射变换 (2) 对xoz平面的反射变换 snmlrjihqfedpcbaComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing27 (3) 对yoz平面的反射变换。齐次变换矩阵为： 3 3平移变换：平移变换： 4旋转变换： (1) 绕X轴旋转角 (2) 绕Y轴旋转角 (3) 绕Z轴旋转角 4.2.

19、2 4.2.2 三维基本变换矩阵的组合三维基本变换矩阵的组合 1绕通过坐标原点的任意轴的旋转变换矩阵 2绕通过任意点P(l，m，n)，方向余弦分别为、的轴的旋转变换矩阵 Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing28 4.3 4.3 三维图形变换的应用三维图形变换的应用 4.3.1 4.3.1 正投影变换正投影变换 正投影变换可得到国家标准规定的六个基本视图主视图、俯视图、左视图、右视图、仰视图和后视图。 1 1主视图变换矩阵主视图变换矩阵 主视图变换矩阵为： Computer A

20、ided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing29 2 2俯视图变换矩阵俯视图变换矩阵 俯视图变换矩阵为： TH = 3 3左视图变换矩阵左视图变换矩阵 左视图变换矩阵为： TW = 100000001000001n100010000010001lComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing30 4.3.2 4.3.2 正轴测投影变换正轴测投影变换 正轴测投影图是工程上应用广泛的二维图形。其变换

21、矩阵为： T正轴测 = （4-1） 在上述所示的正轴测投影变换矩阵中，只要给、不同的值，就可得到不同的正轴测投影图。 10000cos000sincos0sin0sinsin0cosComputer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing31 1 1正等轴测投影变换矩阵正等轴测投影变换矩阵 按国家标准规定，以=45、=35.2644代入式（4-1），即可得到正等轴测投影变换矩阵。 2 2正二等轴测投影变换矩阵正二等轴测投影变换矩阵 按国家标准规定，以=20.7、=19.47代入式（4-1），即可

22、得到正二等轴测投影变换矩阵。 4.3.3 4.3.3 透视投影变换透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形，即通过投视中心（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上所产生的图形。 1 1透视变换矩阵透视变换矩阵 2 2一点透视变换一点透视变换 Computer Aided Design and ManufacturingComputer Aided Design and Manufacturing32 4.4 4.4 开窗与裁剪开窗与裁剪 4.4.1 4.4.1 基本概念和术语基本概念和术语 1 1用户坐标系（世界坐标系）用户坐标系（世界坐标系） 2 2屏幕坐标（设备坐标）屏幕坐标（设备坐标） 3 3窗口窗口 4 4视区视区 5 5裁剪裁剪 4.4.2 4.4.2 窗口窗口视区变换视区变换Computer Aided Design and Manufactur