实变函数与泛函分析点集 (3)

1、第二节 聚点、内点、界点(.p35.)第二章 点集I. 欧氏空间中各类点的定义(p35.36)cpEO),(0, 0使得即 P0为 Ec的内点:EOp),(0, 0使得 1.P0为 E的内点：EOp),(0, 0使得 P0为 E的外点：cppEOEO),(),(00, 0且有 2.P0为 E的边界点：E 记 为 E的内部（内点全体）E记 为 E的边界（边界点全体）I. 欧氏空间中各类点的定义 (p36.37)0EEEEEEEEE的孤立点全体),(|0),(0ppdpOp 点P0的邻域：EOp),(0, 0有 P0为 E的接触点：)(, 00),(0pEOp有 3. P0为 E的聚点：, 00)

2、,(0pEOp使得 P0为 E的孤立点：E 记 为 E的闭包（接触点全体）E 记 为 E的导集（聚点全体. ） P0为 E的聚点:Po的任一领域内都含有无穷多个属于E的点.注：接触点、聚点、边界接触点、聚点、边界点不一定属于E， 内点、孤立点内点、孤立点一定属于E。例（1）令 E = Q ， 则EREEE （2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,则 对一切1/k (k=1,2,3, )均为E的孤立点。0EEEEEEEE的孤立点全体由定义可知0EEEEEEEEE 的 孤 立 点 全 体外点、接触点、内点的关系ccccEEEE)()()()(EOp),(0, 0有P0为 E的接触点：EOp),(

3、0, 0使得P0为 E的内点：cppEOEO),(),(00, 0即使得 P0为 E的外点：1.结论1. 设p0是E的聚点, 证明p p0 0的任意邻域内都含有无穷多个的任意邻域内都含有无穷多个属于E而异于p0的点.为有限集，假如)(0),(0pEOp,)(210),(0npppppEO不妨令, 2 , 1| ),(min0nippdi取)(0),(0pEOp则0(, )0( )pOEp这与（*）矛盾，所以 为无限集。 0(, )00,( )pOEp （*） 证明 ： 由条件知P0 Pn2.结论2. E中的孤立点孤立点集或为有限集或为可数集。),(),(2121,yxyxOOyxAyx必有下证

4、),(),(2121,yxyxOOz若否则,max), ,(),(),(2121yxyxyzdzxdyxd则12( ,)|xxOxA 这与（*）式矛盾， 所以是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。Ax(*), 0),(xEOxxx使得证明：设A为孤立点集， ，由孤立点的定义知3.聚点的等价描述证明： 显然，下证) 1 ()2()3()3() 1 (定理3.：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的互异的点所成点列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limpp

5、nn定义：称点列pn 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内，至少含有一个至少含有一个属于E而异于p0的点设p0是E的聚点，证明存在存在E中的互异的点所成的点列pn使)(,),(,min0),(0110pEOpppdnpnnnn取时当0limppnn)(,),(,min0),(20121220pEOpppdp取时当)(,10),(1110pEOpp取时当0limppnn则上述取出的点列Pn是互异点列,且)(, 00),(0pEOp证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：)(, 00),(0pEOp有EOp),(0, 0有注：聚点的等价条件的证明中 ，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异。),(,min011ppdnnn0limppnnp0是E的聚点聚点的充要条件为存在E中的互异的互异的点所成的点列pn, 使得P0 Pn0limppnn为E的接触点接触点的充