微积分——中值定理及导数应用PPT教案

1、微积分微积分中值定理及导数应用中值定理及导数应用定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)()(bfaf(3) (3) (1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2) (2) 在开区间在开区间 内可导内可导; ;),(ba则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，3.1.1 3.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得0)(f第1页/共74页 几何解释如图几何解释如图ABab在直角坐标系在直角坐标系Oxy中中曲线曲线 两端点的连线两端点的连线 平行平行于于 轴轴, ,其斜率为零其斜率为零x( )yf xAB故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点

2、的切线平使曲线在该点的切线平行于弦行于弦 ，即平行，即平行于于 轴。轴。AB( ,( )Mf x0( )f Oxy即即第2页/共74页则在区间则在区间 内至少存在内至少存在),( ba(1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2) (2) 在开区间在开区间 内可导；内可导；),(ba定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)(xfy MABbaT( )( )( )f bf afba 一点一点 ，使得使得3.1.2 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理第3页/共74页曲线曲线 处处有不垂直处处有不垂直于于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标系在直角

3、坐标系Oxy( )yf xx端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为( )()f bf aba所以定理实际是说存在所以定理实际是说存在点点 ，使曲线在该点的，使曲线在该点的切线切线T平行于弦平行于弦ABAB。 ( )yf xMABba Toxy( )()()f bf afba 即即第4页/共74页2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，),(ba1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点内定有点),(ba)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得3.1.3 3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理

4、设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：( )f x)(xg第5页/共74页RolleRolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特例定理的特例: : 在在LagrangeLagrange中值定理中如果中值定理中如果 则则LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推广定理的推广 在在CauchyCauchy中值定理中如果中值定理中如果 ， 则则CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。)()(afbf xxg

5、)(三个中值定理的关系第6页/共74页 如果在某极限过程下如果在某极限过程下, ,函数函数f ( x)与与g(x)同时趋于零或同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：一般分为三种类型讨论：)()(xgxf3.2 洛必达法则001 1 型不定式型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式第7页/共74页定理定理1 1 设函数与在的某空心邻域内有定义，设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：且满足如下条件：000)(

6、lim)(lim)1( xgxfaxax且且在该邻域内都存在在该邻域内都存在和和，xgxf)()()2( ;0)( xg.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 则则） （ )()(lim)3(xgxfax存存在在或或为为1 1 型未定式型未定式第8页/共74页（ 为任意实数）为任意实数） 例例1 1 求求xxx1)1(lim0 1)1(lim1)1(lim120 xaxxxx解解例例2 2 求求20)1ln(limxxxxxxxxx211lim)1ln(lim020 解解 )1(21lim0 xxx第9页/共74页例例3 求求 202limxeexxx 解解 12lim2lim

7、2lim0020 xxxxxxxxxeexeexee此定理的结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。 00 x 例例4 求求xxx1arctan2lim解解 22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx 第10页/共74页2型不定式型不定式 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件(1)lim( )lim ( )xaxaf xg x (2)( )fx 与与( )g x 在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且( )0g x ( )(3)lim()( )xafxAg x 有有限限或或则则 ( )( )limli

8、m( )( )xaxaf xfxg xg x 定理定理2 2 设函数设函数( )f x( )g xxa 与在在点点第11页/共74页例例5 求求xxx3tantanlim2 解解: xxxxxx3sec3seclim3tantanlim2222 xxx22cos3coslim312 )sin(cos2)sin3(3cos2lim312xxxxx 32sin6sinlim2 xxx 定理定理2 2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式型未定式的极限问题同样适用。的极限问题同样适用。 x 第12页/共74页例例6 6求求nxxxlnlim解解 01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnx

9、xxx则可继续使用洛必达法则。即有则可继续使用洛必达法则。即有能满足定理中能满足定理中)(xf)(xg与与应满足的条件，应满足的条件，)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax )(xf )(xg 与与还是还是 型未定式，且型未定式，且)()(limxgxfax 00如果如果第13页/共74页如果反复使用洛必达法则也无法确定如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效则洛必达法则失效. . 此时需用别的办法判断未定式此时需用别的办法判断未定式)()(xgxf的极限。的极限。 )()(xgxf或能断定或能断定)()(xgxf 的极限，的极限，无极限，无极限

10、，第14页/共74页例例7 7 求求xxxxsin1sinlim20解解 这个问题是属于这个问题是属于00型未定式，型未定式，20011sinsinlimlim01sinsinxxxxxxxxx但分子分母分别但分子分母分别112 sincoscosxxxx求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得第15页/共74页3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除00和和 型外，还有型外，还有 1000 0 型型、 型型、等五种类型。等五种类型。 型型、 型型、 型型、第16页

11、/共74页型或者型或者 型型型：型： 0 100010 ( 型型) )变变为为xxxlnlim30 301lnlimxxx 4031limxxx xxx3lim40 3lim30 xx xxxlnlim30 例例8 8 求求解解0 第17页/共74页 型型:通分相减变为通分相减变为 型型00例例9 9 求求)ln11(lim1xxxx （ 型）型）解解 )ln11(lim1xxxx xxxxxxln)1(1lnlim1 (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型第18页/共74页 1000 型未定式型未定式: :由于

12、它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限 )()(xgxf因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用 )()(xgxf)(ln)(xfxge 00 即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解。型求解。 0例例10 10 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解所所以以第19页/共74页例例11 11 求求xxxsin0)(cotlim ,)(cotsinxxy xxycotl

13、nsinln yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解解 设设xxxcotlnsinlim0 所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e（ 型）型）0 第20页/共74页例例12 12 求求xexxln11)(lnlim （ 型型）1,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy xxxxxyexexex11ln1limln1lnlnlimlnlim 1)ln1(lim xex所以所以 1ln11)(lnlim exxex解解第21页/共74页3

14、.3 3.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f ( (x) )在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调增加内单调增加( )0fx 2.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。0)( xfabab3.3.1 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法第22页/共74页例例2 2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.xxxf3)(3 可导，可导， 且等号只在且等号只在 x= =0 成立成立

15、. . 0cos1 xy解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内, ),( 例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. .xxysin , 所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加. .xxysin , 解解 )1)(1(333)(2 xxxxf所以当所以当 x = -1, x = 1时时0)( xf x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f (x) + 0 - 0 +f(x)第23页/共74页解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内连续且在定义域内连续),(例例3 3 确定函数确定函数的单调区间。的单调区间。32

16、xy 332xy 其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的的点点0 xy 0 y用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两个区间，见下表：0 x x(- -,0)(0,+ +) f (x) - - + + f (x) 单增单增 单减单减第24页/共74页 反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒，恒有有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值， 称为极小值点。称为极小值点。)(xf)(0 xxx )(0 xf0 x)()(0 xfxf 3.3.2 3.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义

17、，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值， 称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点； )(xf0 x)(0 xxx )()(0 xfxf )(0 xf0 x)(xf)(xf 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。第25页/共74页ab1x3x5x2x4xABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不整个区间上的最大最小。极大

18、值点与极小值点也不是唯一的。如下图中是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，不一定小于极大值，如图中如图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。第26页/共74页定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）：设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此的某邻域内连续，且在此邻域内（邻域内（ 可除外）可导可除外）可导)(xf0 x0 x（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极大值。取得极大值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)(xf0)( xf0)( x

19、f 0 x 0 x0 x（）如图所示：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，),(00 xx0)( xf在在 取得极大值。取得极大值。)(xf0 x第27页/共74页（2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极小值。取得极小值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)(xf0)( xf0)( xf 0 x 0 x0 x（）如图所示：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，),(00 xx0)( xf在在 取得极小值。取得极小值。)(xf0 x（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不不是是 的极值点，

20、如图的极值点，如图示示0 x)(xf 0 x)(xf0)( xf 0 x 0 x0 x（）0)( xf第28页/共74页(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果是如果是求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;)(xf 0)( xf)(xf 讨论在每个区间讨论在每个区

21、间 的符号的符号;)(xf (5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.第29页/共74页例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.32)1()1()( xxxf解解 函数的定义域为函数的定义域为),(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx0)( xf, 11 x,512 x13 x令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值,3125345651 f极小极小值值0)1( f第30页/共74页)1)(1(333)(2 xxxx

22、fxxf6)( 令令 得得11 x12 x0)( xf由于由于06)1( f06)1( f定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法) 设函数设函数 在点在点 处具有处具有)(xf0 x 二阶导数，且二阶导数，且 ， ；0)(0 xf0)(0 xf（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；0)(0 xf0 x)(xf（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；0)(0 xf0 x)(xf例例5 求函数求函数 的极值的极值. xxxf3)(3 解解 函数的定义域为函数的定义域为),( 所以所以 为极大值为极大值, 为极小值为极小值.2)1( f2)1( f第

23、31页/共74页3.3.3 3.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。,ba连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ; ;1.1.区间区间,ba( )( )f af b2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；),(ba0)( xf内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间),(ba)(xf 这些值中最大

24、的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,ba,ba上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念, ,函数在区间函数在区间,ba如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：第32页/共74页上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解)1)(1(444)(3 xxxxxxf令令0)( xf，得驻点，得驻点11 x0,2 x1,3 x13)2()2( ff4)1()1( ff例例6 6 求函数求函数 在区间在区间52)(24 xxxf 2,2 )(xf4

25、)1(,5)0(,4)1( fff3)2()2( ff比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的)(xf 2,2 第33页/共74页M1xyo1 2 M2M1xyo1 2 M23.4.1 3.4.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所如图所示示3.4 3.4 函数图形的描绘函数图形的描绘第34页/共74页 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在

26、这个区间上是凸的。如下图：这个区间上是凸的。如下图： 当曲线为凹时，曲线当曲线为凹时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函数；反之，当是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线曲线为凸时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随随着着 的增加而减少，即的增加而减少，即 是减函数。是减函数。 )(xfy xxftan)( x)(xfy )(xf ( )tanfxx x)(xf M1x1 2 M2yoM1xyoM2第35页/共74页定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 （1 1）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凹

27、的；内为凹的； （2 2）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凸的。内为凸的。定义定义2 2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内内 必然异号，因而在拐点处必然异号，因而在拐点处 或或 不存在。不存在。 )(xfx)(xfx)(xf)(xf )(xf 0)( xf),(ba),(ba0)( xf),(ba),(ba),(ba0)( xf第36页/共74页例例1 1 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得

28、 ， 1234 xxy2364xxy 2,121212 (1)yxxx x 列表如下列表如下 0 0 0 y1 , 021 xx)1 , 0(), 1( )0 ,(10)1 , 0()0 , 1( )fx ( )f x有拐点有拐点有拐点有拐点x第37页/共74页 可见可见, ,曲线在区间曲线在区间 内为凹的，在区内为凹的，在区间间 内为凸的，曲线的拐点是内为凸的，曲线的拐点是 和和 . . ), 1( , )0 ,( )1 , 0()1 , 0()0 , 1( 如果函数如果函数 在在 的某邻域内连续，当在点的某邻域内连续，当在点 的二的二阶导数不存在时，如果在点阶导数不存在时，如果在点 某空心

29、邻域内二阶导数存某空心邻域内二阶导数存在且在在且在 的两侧符号相反，则点的两侧符号相反，则点 是拐点；如果是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点不是拐点. .)(xf0 x0 x0 x)(,(00 xfx)(,(00 xfx0 x综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1 1）求一阶及二阶导数）求一阶及二阶导数 ， ；（2 2）求出）求出 及及 不存在的点；不存在的点；)(xf )(xf )(xf )(xf 第38页/共74页（3 3）以（）以（2 2）中找出的全部点，把函数的定义域分成）中找出的全部

30、点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。 )(xf 例例2 2 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。 2xey 解解 函数的定义域为函数的定义域为 当当 时，时， ，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下： 0 y21 x22xxey 22,2(21)xyex 21 x21 x),( 第39页/共74页x1(,)2 1211(,)22121(,)2)(xf )(xf +0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点

31、 在在 处，曲线上对应的点处，曲线上对应的点 与与 为拐点。为拐点。 21 x)1,21(e )1,21(e第40页/共74页3.4.2 3.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。是曲线的渐近线。 定义定义3 3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线

32、的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。1 1水平渐近线水平渐近线如果曲线如果曲线 的定义域是无穷区间，且有的定义域是无穷区间，且有 或或 , ,则直线则直线 为曲线为曲线 的渐近线，称的渐近线，称)(xfy bxfx )(limby bxfx )(lim)(xfy 为水平渐近线为水平渐近线. .如下图如下图 第41页/共74页xyoxyo例例3 3 求曲线求曲线 的水平渐近线。的水平渐近线。11 xy解解 因为因为所以所以 是曲线的一是曲线的一条水平渐近线，如图示条水平渐近线，如图示011limxx0 yyxo1第42页/共74页2、铅直渐近

33、线、铅直渐近线如果曲线如果曲线 满足满足 或或 )(xfy )(limxfcx )(limxfcx )(limxfcx则称直线则称直线 为曲线为曲线 的铅的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图直渐近线（或垂直渐近线），如图cx )(xfy 例求曲线例求曲线 的铅直渐近线。的铅直渐近线。11 xy解解 因为因为所以所以 是曲线的一条铅直渐近线。是曲线的一条铅直渐近线。 11lim1xx1 x如前页图所示如前页图所示第43页/共74页3.4.3 3.4.3 函数图形的作法函数图形的作法 函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研究函函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研究函数图形的描绘方法很有必要

34、，现在综合上面对函数性态的数图形的描绘方法很有必要，现在综合上面对函数性态的研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下：研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下： （1 1）确定函数的定义域；）确定函数的定义域； （2 2）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性；）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性； （3 3）确定函数的单调区间和极值）确定函数的单调区间和极值; ; （4 4）确定曲线的凹凸区间和拐点；）确定曲线的凹凸区间和拐点；（5 5）考察曲线的渐近线；）考察曲线的渐近线；（6 6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。（7 7）用平

35、滑的曲线连接各点。）用平滑的曲线连接各点。第44页/共74页例例5 5 作函数作函数 的图形。的图形。 2) 1(42xxy解解 （1 1）定义域为）定义域为: :(,0) (0,) （2 2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；因为因为 ，3)2(4xxy 4)3(8xxy 令令 得得 ；令令 得得 列表如下列表如下: :0 y2 x0 y3 xx(,3) (3,2)(2,0)320 0 + 0 + + + ),0(yy y第45页/共74页（3 3）渐近线：因为）渐近线：因为 所以所以 为水平渐近线；为水平渐近线； 22)1(4lim2 xxx

36、2x 又因为又因为 ， 所以所以 为铅直渐近线。为铅直渐近线。 2)1(4lim20 xxx0 x（4 4） 描出几个点：描出几个点：12(,),A 1 6( , ),B2 1( , ),C239( ,).Dxyo如图所示如图所示作出函数图形作出函数图形第46页/共74页 例例6 6 在经济学中，会经常遇到函数在经济学中，会经常遇到函数试作出函数的图形。试作出函数的图形。 2221)(xex 解解 （1 1）定义域：（）定义域：（，+）；）； （2 2）奇偶性：由于）奇偶性：由于 ，故，故 为偶函数，为偶函数，其图形关于其图形关于 轴对称；轴对称； )()(xx )(x （3 3）增减、极值、

37、凹凸及拐点：）增减、极值、凹凸及拐点： y因为因为222)(xexx 222)1)(1()(xexxx 令令 ，得，得 ；令令 ，得，得 ， ，0)( x0 x0)( x11 x12 x第47页/共74页（4 4）渐近线）渐近线 021lim)(lim22 xxxex 所以所以 是水平渐近线。是水平渐近线。0y 先作出函数在先作出函数在 内的图形，然后利用对称性作内的图形，然后利用对称性作出区间出区间 内内的图形，如图的图形，如图 (0,)(,0)o第48页/共74页 21yxy y 0(0，1)1（1，+） 0 0+极大值极大值)21(1,e 拐点拐点列表讨论如下列表讨论如下其中其中 ， ；

38、 4 . 021 24. 021 e 第49页/共74页3.5 3.5 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3.5.1 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，)(xfy x边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为: :当当 时时, ,x改变一个单位，相改变一个单位，相0 xx )(xf在点在点0 x处的导数处的导数)(0 xf 称为称为)(xf在点在点0 x处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位)(0 xf 为为的边际函数。的边际函数。)(xf )(xf称导函数称导函数当当 时时,)(0 xfy 1 x实际上，实际上，xxf

39、dyy )(0 解解 , ,所以所以, ,xy4 205 xy22xy 在在5 x时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数第50页/共74页 边际成本是总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。设设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 1C为固定成本，为固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，2C为平均成本，为平均成本，C为边际成本，为边际成本，C 为产量，为产量，Q总成本函数总成本函数 12( )( )CC QCC Q平均成本函数平均成本函数 12( )( )CC QCC QQQ边际成本函数边际成本

40、函数 ()CC Q 2( )1004QCC Q例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为, ,求当求当时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。10Q 解解 由由21004QC 1004QCQ2QC 第51页/共74页令令 得得边际成本边际成本于是当于是当 时时10Q 总成本总成本 125)10( C平均成本平均成本 5 .12)10( C5)10( C2100Q Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小? ?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解 C41 3200CQ 0 C2400Q 20Q 0)20( C所以所以,当当Q = 20=

41、 20时平均成本最小。时平均成本最小。第52页/共74页2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，R R 为总收益，为总收益， 为为平均收益，平均收益， 为边际收益，则有为边际收益，则有 R需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 ( )R

42、R Q ( )QPP ( )RR Q ( )RR Q R 第53页/共74页需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益()()RR QQP Q ( )( )( )( )R QQP QRR QP QQQ()RR Q ( )( )R QRR QQ总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为第54页/共74页求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。105QP 2( )( )101205QR QQP QQ( )( )10,5QR QP Q例例4 4 设某产品的价格和销售量的关

43、系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 4)30( R边际收益边际收益 2( )10,5R QQ 2)30( R第55页/共74页Q3 3利润利润 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 ()R Q()C Q()L Q示为示为( )( )( )LL QR QC Q ()()()L QR QC Q 最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 ()L Q()0L Q ()()R QC Q 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最

44、大利润的必要条件是: :边际收益等于边际成边际收益等于边际成本本 第56页/共74页105QP 例例5 5 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为 成本函数为成本函数为 502CQ 问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,105QP 502CQ 于是有于是有2( )105QR QQ2( )( )( )8505QL QR QC QQ2( )8,5L QQ 2( )5L Q 令令 得得()0L Q 20Q 0)20( L所以当所以当Q=20=20时总利润最大时总利润最大第57页/共74页例例6 6某工厂生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成

45、本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益QL()2000100QQ C C = = C C解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数21400( )280000QQRR Q 0400Q 400Q 问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为( )( )( )LL QR QC Q 21300200000400260000100400QQQQQ R R第58页/共74页()()()L QR QC

46、 Q 3000400100400QQQ 令令 得得0() L300Q 由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大01)300( L300Q 此时此时2500020000900002190000)300( L 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时, 总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元.第59页/共74页 设某企业某种产品的生产量为设某企业某种产品的生产量为 个单位个单位, , 代表总成代表总成本本, 代表边际成本代表边际成本,每单位产品的平均成本为每单位产品的平均成本为 在生产实践中在生产实践中, ,经常遇到这样的问题经常遇到这样的问题, ,即在既定的生产规即在既

47、定的生产规模条件下模条件下, ,如何合理安排生产能使成本最低如何合理安排生产能使成本最低, ,利润最大利润最大? ?Q4 4成本最低的生产量问题成本最低的生产量问题()C Q()C Q ()C QCQ 于是于是( )( )( )C QC QQC Q由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量应满足应满足 , ,于是得到一个经济学中的重要结论于是得到一个经济学中的重要结论: : 0Q0()0C Q 使平均成本为最小的生产水平（生产量使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。边际成本等于平均

48、成本的生产水平（生产量）。0Q第60页/共74页2( )54186C QQQ例例7 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量水平。试求使平均成本最小的产量水平。 解解 平均成本平均成本 ( )54( )186C QC QQQQ( )6 ,254C QQ 3108( )CQQ 令令 解得解得( )0C Q 3Q ,由于由于27108)3( C所以所以 是平均成本是平均成本 的最小值点也就是的最小值点也就是平均成本最小的产量水平平均成本最小的产量水平 3Q ( )C Q此时此时 )3(54)3(CC 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平均成本

49、也使平均成本达到最小. 3Q 第61页/共74页5 5库存管理问题库存管理问题 在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与保管费用是成反比的。保管费用是成反比的。 订购批量大订购批量大,次数少次数少,费用就小费用就小,保管费用就相应增加；保管费用就相应增加； 订购批量小订购批量小,次数多次数多,费用就大费用就大,保管费用就相对较少。保管费用就相对较少。 因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某

50、种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存到最高库存，每天保证等量供应生产需要，使之不发生，每天保证等量供应生产需要，使之不发生缺货。缺货。Qmax第62页/共74页QRQ1C RQ假设某企业某种物资的年需用量为假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为单价为P,平均一次平均一次因此因此订货费用为订货费用为2 2）保管费用）保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，在进货周期内都是初始最大，最终为零，订货费用为订货费用为C1 ，年保管费用率（即保管费用与库存商品价年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比）为值之比）为，订货批

51、量为，订货批量为 ，进货周期（两次进货进货周期（两次进货间隔间隔)，进货周期进货周期，则年总费用由两部分组成：则年总费用由两部分组成：) )订货费用每次订货费用为订货费用每次订货费用为1，年订货次数为，年订货次数为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为 2Q212QPC于是总费用于是总费用1212C RCQPCQ故可用求最值法求得最优订购批量故可用求最值法求得最优订购批量 ， 最优订购次数最优订购次数*RQ以及最优进货周期以及最优进货周期，此时总费用最小。，此时总费用最小。*Q第63页/共74页解解 设最优订购批量为设最优订购批量为则订购次数为则订购次数为

52、 Q例例8 8 某种物资一年需用量为某种物资一年需用量为2400024000件，每件价格为件，每件价格为4040元，元，年保管费率年保管费率12%,12%,为，每次订购费用为为，每次订购费用为6464元，试求最优订购元，试求最优订购批量批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）品的销售是均匀的）24000Q于是订货费用于是订货费用为为2400064Q ，保管费用为，保管费用为 140 0.122Q从而总费用从而总费用 240001( )6440 0.122CC QQQ264 24000( )20 0.12C QQ 32 6

53、4 24000( )CQQ 第64页/共74页0)800( C又因为又因为于是当于是当件时总费用最低，从而件时总费用最低，从而800Q 最优订货批量最优订货批量 ( (件件/ /批批) ) *800Q 最优订货批次最优订货批次 ( (批批/ /年年) ) 3080024000 最优进货周期最优进货周期 ( (天天)()(全年按全年按360360天计天计) ) 1230360 最小进货总费用最小进货总费用 ( (元元) ) 3840)800(min CC令令 得得 (件件/批批) ()0C Q 642400080020 0.12Q 第65页/共74页3.5.2 3.5.2 函数的相对变化率函数的

54、相对变化率函数的弹性函数的弹性1 1、弹性、弹性定义定义2 2 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x)()()(0000 xfxfxxfyy 与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量0 xx 之比之比00 xxyy 称为函数从称为函数从0 xx 到到xxx 0当当时，时，的极限称为的极限称为)(xf在在导数，也就是相对变化率，或称弹性。导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，两点间的相对变化率，0 x00 xxyy 0 xx 或称两点间的弹性或称两点间的弹性处的相对处的相对记作记作 00)(;0ExxEfExEyxx 处可导处可导,函数的相对改变量函数的相对改变量第66页/共7

55、4页是是 的函数的函数,若若 可导可导 即即000lim0 xxyyExEyxxx 000limyxxyx )()(000 xfxxf 0 x0 xxExEy 为定值。为定值。对一般的对一般的x)(xfxxyyExEyx 0limyxxyx 0limyxy x)(xf的弹性函数。的弹性函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化)(xf)(xfExEx 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是也就是 随随 变化反映的强烈变化反映的强烈列程度或灵敏度列程度或灵敏度.)(0 xfExE表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时, 近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时则有则有改变改变%)(0 xfExE0 xx xx)(xfx)(xf)(xf第67页/共74页( ( 为常数）的