第二章 动量守恒定律和能量守恒定律

1、力的时间积累力的时间积累一、冲量一、冲量 21ttdtFI设在设在dt 时间间隔内，质点所受的力为时间间隔内，质点所受的力为F则称则称dtFdI F是是 在在dt 时间内的冲量。时间内的冲量。大小：大小：FdtdI 方向：方向：F与与 同向。同向。F对质点的冲量对质点的冲量单位：单位：NS当时间由当时间由21tt 2.1 2.1 动量动量 动量定理动量定理tFI )tt(FdtFI12tt21 )()()(121212212121ttFdtFIttFdtFIttFdtFIttzzzttyyyttxxx 讨论讨论: :tFt1t2Ft1t2t分量式分量式: : 3) 合力的冲量合力的冲量 nii

2、nittittniiIdtFdt)F(I1112121合力的冲量等于各分力冲量的矢量和合力的冲量等于各分力冲量的矢量和)tt(FdtFItt1221 1) 为恒力为恒力F2) 为变力为变力Fdt)vm(ddtpdF 二、质点的动量定理二、质点的动量定理力的时间积累效果力的时间积累效果, ,使物体的动量改变。使物体的动量改变。121221ppvmvmdtFItt )(vmddtF 1221vmvmdtFItt 1. .推导推导121221ppvmvmdtFItt 121221ppvmvmdtFItt 2. .物理意义物理意义t1FFmt21v2vzzzyyyxxxmvmvImvmvImvmvI1

3、21212 注意注意该定律的矢量性，冲量的方向与动量该定律的矢量性，冲量的方向与动量改变改变量量的方向相同。的方向相同。 某某方向受到冲量方向受到冲量, ,某方向的动量就某方向的动量就改变改变。1221vmvmdtFItt 外力对物体的冲量，等于物体动量的改变量。外力对物体的冲量，等于物体动量的改变量。质点的动量定理质点的动量定理:分量式分量式:5说明说明:A. 动量定理的动量定理的矢量性矢量性：在实际应用时常采用分量式：在实际应用时常采用分量式,在直角坐标系中：在直角坐标系中：zzzyyyxxxppIppIppI121212 B. 常用于解决常用于解决碰撞、冲击碰撞、冲击问题：作用时间短，力

4、大且变化问题：作用时间短，力大且变化(称称为冲力为冲力)，而一些常力，而一些常力(如重力、摩擦力如重力、摩擦力)的冲量很小，可以忽略。的冲量很小，可以忽略。平均冲力：平均冲力：tppf 12C. 动量定理只在动量定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。D. 动量定理是过程的，而不是瞬时的。动量定理是过程的，而不是瞬时的。三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理质点系：质点系：由两个或两个以上的质点构成的系统。由两个或两个以上的质点构成的系统。质点所受的冲量质点所受的冲量: : )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdtfF:mvmvmdtfF:mtttttt20210120211212112

5、202222122101111211212121 两式相加得；两式相加得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdtfFmvmvmdtfF:mtttttt20210120211212112202222122101111211212121 两两式式相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdtfF:mvmvmdtfF:mtttttt2021012211212112202222122101111211212121 两式相加得质点系的动量定理：质点系的动量定理：作用于系统合外力的冲量作用于系统合外力的冲量等于系统动量的改变量。等于系统动量的改变量。：1m：2m两式相加得两式

6、相加得: :f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin7 质点系质点系若干若干质点组成的系统。质点组成的系统。 内力内力系统内各质点间的相互作用力。系统内各质点间的相互作用力。 外力外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。系统以外的物体对系统内质点的作用力。 设系统有设系统有n个物体个物体, 如图所示。如图所示。用用f12、f21、fn1等表示系统内物等表示系统内物体间相互作用的内力体间相互作用的内力;用用F1、F2、Fn分别表示系统外的物体分别表示系统外的物体对系统内物体作用的外力。对系统内物体作用的外力。f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin对每一个

7、质点运用动量定理：对每一个质点运用动量定理：三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理0)(d)(0iiiittjijiijmmtFf mi : 3 , 2 , 1, ji8 这就是这就是质点系的动量定理质点系的动量定理, 它表明系统所受的它表明系统所受的合外力合外力的冲的冲量等于系统总动量的增量。量等于系统总动量的增量。对所有质点求和，就得对所有质点求和，就得: 0 ijijijf 根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律, 内力之和内力之和 于是于是 iiiiiittiimmtF0d0 f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin iiiiiittiiijijijmmtFf0)(d)

8、(0 (2) (2)内力仅能改变系统内某个物体的动量内力仅能改变系统内某个物体的动量, ,但不但不能改变系统的总动量。能改变系统的总动量。质点系含有质点系含有n个质点：个质点： )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiinittniitt202101202112121120111101111211212121 两式相加得；注意注意: : (1) (1)作用于系统的合外力指系统内每一个质点作用于系统的合外力指系统内每一个质点所受外力的矢量和，只有外力才能使系统的动所受外力的矢量和，只有外力才能使系统的动量改变。量改变。(3)(3)适用条件：适用条件

9、：惯性系惯性系, ,所有质点相对于同一参考系。所有质点相对于同一参考系。系统在某一方向上受到的合外力为零系统在某一方向上受到的合外力为零, ,则在该方向上动则在该方向上动量守恒量守恒. . )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiinittniitt2021012021121211201111011112112121210 两两式式相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiinittniitt202101202112121120111101111211212121 两两式式相相加加得得

10、；恒恒矢矢量量动量守恒定律：动量守恒定律：当系统不受外力的作当系统不受外力的作用或所受合外力为零时，系统的总动用或所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。量将保持不变。 推广推广: : )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiiiniittniiztt2021012021121211201111011112112121210 两两式式相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiiiniittniiytt2021012021121211201111011112112121210 两两式式

11、相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiinittniixtt2021012021121211201111011112112121210 两两式式相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiixinittniiitt202101202112121120111101111211212121 两两式式相相加加得得；恒恒量量 )vmvm()vmvm(dtFFffvmdt)F(vmvmdtfF:mttiyinittniiitt202101202112121121110111121

12、1212121 两两式式相相加加得得；恒恒量量 )vmvm()vmvm(dtFFffvmdt)F(vmvmdtfF:mttizinittniiitt2021012021121211211101111211212121 两两式式相相加加得得；恒恒量量 iiiiiittiimmtF0d0 质点系的动量定理质点系的动量定理: :2.2 2.2 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律注意：注意：1. 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2. 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程在

13、碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力（中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）外力与内力相比小很多）。3. 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和 应是同一时刻的动量之和。应是同一时刻的动量之和。5. 动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。4. 动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。6. 动量守恒定律在外力远小于内力的条件下仍适用。动量守恒定律在外力远小于内力的条件下仍适用。例例1 每颗轻机枪子弹的质量为每颗轻机枪子弹的质量为50g，离开枪口，离开枪口时的速度为时的速度为8

14、00m/s，若每分钟发射，若每分钟发射300发子弹，发子弹，则射手平均要用多大的力才能顶住枪托？则射手平均要用多大的力才能顶住枪托？解解: :)N(.tmvFmvtF20060800050300 )N(.tmvFmvtF20060800050300 例例2 一质量为一质量为5kg的物体的物体, ,其所受作用力其所受作用力F 随时间的随时间的变化关系如图变化关系如图, ,设物体从静止开始运动设物体从静止开始运动, ,则则20秒末物秒末物体的速度为多少体的速度为多少? ?解解: :-5101020t(s)F(N)5)ms()(FdtmvFdtmdv)mv(dFdt12005105101021511

15、1 )ms()(FdtmvFdtmdvdtdvmF120051051010215111 )ms()(dt)t(dt)t(mFdtmvFdtmdvdtdvmF110020102005105101021512510111 )ms()(dt)t(dt)t(mFdtmvFdtmdvdtdvmF110020102005105101021512510111 )sm()(dt)t(dt)t(mFdtmvFdtmdvdtdvmF110020102005105101021512510111 例例3 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其中

16、一块在爆炸处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离点的距离S1100米米, ,问另一块落地点与发射点的距问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，离是多少？（空气阻力不计，g = 9.8m/s2 )()(P1023-6 6) )已知第一块方向竖直向下已知第一块方向竖直向下为为第第一一块块落落地地时时间间设设 t 解：解：2121gttvh s/m.vvy71411 hS1hxy1v2v s/mvvstxx50201爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守恒s/m.vvs/mvvyyxx71410

17、02122 )gtv(vghtvsyyx10201012炮弹到最高点时炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时间为，设炮弹到最高点的时间为t1 ：0212121122 yyxxmvmvmvmvhS1hxy1v2vxv22vm12vmxvm第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动, ,设第二块的落地时间为设第二块的落地时间为t2 ：22222221221gttvhytvsxyx 落地时，落地时，y2=0 所以所以 t2 = 4 st21 s (舍去）舍去）x2= 500 mhS1hxy1v2vxv12873102,P，作作业业：例例4 水平光滑铁轨上有一小车水平光滑铁轨上有一小车, ,长度为长度为l,

18、 ,质量为质量为M, ,车车的一端有一人质量为的一端有一人质量为m, ,人和车原来静止人和车原来静止, ,现该人从车现该人从车的一端走到另一端的一端走到另一端, ,问人和车各移动了多少距离问人和车各移动了多少距离? ?mMmlxlmMMlxxMmMvdtMmMlvdtx,dtvlvMmMVvvvMmV0MVmvt0t0t0 解解: :设人速为设人速为v，车速为，车速为V，人相对车的速度为，人相对车的速度为vmMmlxlmMMlxxMmMvdtMmMlvdtxdtvlvMmMVvvvMmVMVmvttt 000,0mMmlxlmMMlxxMmMvdtMmMlvdtxdtvlvMmMVvvvMmV

19、MVmvttt 000,0mMmlxlmMMlxxMmMvdtMmMlvdtxdtvlvMmMVvvvMmVMVmvttt 000,0mMMlx 人人移移动动距距离离mMmlxl 车车移移动动距距离离mlMxvV例例5 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着, ,绳绳的下端刚好触到水平桌面上的下端刚好触到水平桌面上, ,如果把绳的上端放开如果把绳的上端放开, ,绳将落在桌面上绳将落在桌面上, ,试证明试证明: :在绳下落的过程中在绳下落的过程中, ,任意任意时刻作用于桌面的压力时刻作用于桌面的压力, ,等于已落到桌面上的绳重等于已落到桌面上的绳重量的三倍量的三

20、倍.(.(设绳的密度为设绳的密度为 )(习题习题3-9,题解题解P14)GGFFLMgxGLMgxFgxvvLM)dtdx(LMFdtdx)dx(Fdt322222 解：解：GGFFLMgxGLMgxFgxVVLMdtdxLMdtdtdxdxF322)()(222 GGFFLMgxGLMgxFgxvVLM)dtdx(LMdtdtdx)dx(F322222 dxxGGFFLMgxGLMgxFgxVdtdxdxvdmFdt3222 19例例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的推力。设火箭发射时的质量为推力。设火箭发射时的质量为m

21、0，燃料烧尽时的质量为，燃料烧尽时的质量为m ，气，气体相对于火箭喷出的速率为体相对于火箭喷出的速率为u。不计空气的阻力，求火箭所能达。不计空气的阻力，求火箭所能达到的最大速率到的最大速率 。m t+dt时刻时刻（-dm）m+dm d u解：解：将火箭和燃气系统作为研究对象。将火箭和燃气系统作为研究对象。t 时刻时刻m 设设t 时刻火箭体的总质量为时刻火箭体的总质量为m，速度为，速度为 ，则此时系统的总动量则此时系统的总动量 mp 1设在设在dt时间内火箭排出了质量为时间内火箭排出了质量为(-dm)的燃气，则在的燃气，则在t+dt时刻火箭的质量为时刻火箭的质量为m+dm，速度为，速度为 。 d

22、 20t 时刻时刻t+dt时刻时刻（-dm）mm+dm d u 在在t+dt时刻系统的总动量为：时刻系统的总动量为： mummummmpdddddd2 在在dt时间内，系统总动量的增量为：时间内，系统总动量的增量为：mumpppddd12 若用若用F表示火箭系统受到的外力表示火箭系统受到的外力(重重力和空气阻力力和空气阻力)，则根据质点系动量，则根据质点系动量定理：定理：mumtFddd tmutmFdddd 上式称为火箭体的运动方程。上式称为火箭体的运动方程。21若忽略空气阻力，若忽略空气阻力，F = -mg，则：，则：mumtFddd mumtmgddd 对上式两边积分，从火箭点火（对上式

23、两边积分，从火箭点火（t=0, m=m0, =0）到燃料燃尽）到燃料燃尽(t , m , ) m mmtmmutgm0ddd00 t gmmum 0ln 这就是火箭能达到的最大速率。这就是火箭能达到的最大速率。如果重力也可以忽略，则如果重力也可以忽略，则t 时刻时刻t+dt时刻时刻（-dm）mm+dm d u mmutgddd 22 称为质量比称为质量比mmNNummum00,lnln 讨论讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末正比，还与火箭始末质量比质量比N的自然对数成正比。的自然对数成正比。(2)目前火箭的喷气速度目前火箭的喷气速度u=4.1km

24、/s，火箭质量比，火箭质量比N=15s/km1 .1115ln1 . 4 m 实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最大速度只有大速度只有7 km/s左右，小于第一宇宙速度。左右，小于第一宇宙速度。(3)目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度 321lnlnNNNuNuiim 本节要点本节要点力的时间积累力的时间积累 21ttdtFI质点的动量定理：质点的动量定理：质点系的动量定理：质点系的动量定理：1221vmvmdtFItt )vmvm()vmvm(dtFFIffvmvmdtfF:

25、mvmvmdtfF:mtttttt2021012211212112202222122101111211212121 两式相加得三、三、动量守恒定律动量守恒定律 )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiiiniittniitt2021012021121211201111011112112121210 两两式式相相加加得得； )vmvm()vmvm(dtFFffvmvmdt)F(vmvmdtfF:mttiiniiiinittniiitt202101202112121120111101111211212121 两两式式相相加加得得；恒恒矢矢量量二、二、

26、动量定理动量定理一、一、冲量冲量2.3 功和功率功和功率一、功一、功设一质点在力设一质点在力 的作用下由的作用下由ABFdrFdrcosFdW 称作元功称作元功drFdrcosFdw drcosFdrFWBABA 3. 同时作用在质点上合力作的功同时作用在质点上合力作的功nF,F,F21n21BAnBA2BA1n21BABAWWWdrFdrFdrFdr)FFF(drFW nBAnBABAnBABAWWWdrFdrFdrFdr)FFF(drFW 212121-力的空间积累效应力的空间积累效应n21BAnBA2BA1n21BABAWWWdrFdrFdrFdr)FFF(drFW 2. 质点由质点由A

27、B， 对质点作的功对质点作的功F1. 任一小位移元任一小位移元 ， 对质点作的功对质点作的功rdFABFrd srdd 25 babarFrFAdd若质点在恒力若质点在恒力 作用下，作用下， 力做的功为力做的功为F(1)功是标量功是标量, 且有正负。且有正负。,kfjfiffzyx kzj yixrdddd bababayyzzzyxxxbazfyfxfrfAdddd在直角坐标中在直角坐标中说明力说明力 所做的功等于各分力所做的功等于各分力fx、fy、fz 所作的功的代数和。所作的功的代数和。f说明说明:zfyfxfrfzyxdddd abFS cosFSSF 26推广：推广：若质点同时受到几

28、个力的作用，则合力做的功等于各若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力作的功的分力作的功的代数和代数和。rfrfAibaibaiidd)( (2)功是过程量功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关, 也与运也与运动路径有关。动路径有关。(3)功是相对量功是相对量，其大小随所选参考系的不同而不同。，其大小随所选参考系的不同而不同。(4)力在单位时间内作的功称为力在单位时间内作的功称为功率功率，用，用P表示表示 ftrftAPdddd27(5)一对

29、力的功：一对力的功：om1m21f2f1dr2dr1r2r 和和 是一对相互作用力，则是一对相互作用力，则 1f2f21ff 设在某段时间内，设在某段时间内，m1和和m2分别分别发生了位移发生了位移 和和 ，则这一，则这一对力所做的功：对力所做的功：1dr2dr2211dddrfrfA 上式说明上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。 212122ddrfrrf 或或12r 211ddrrf 121211ddrfrrf 28对上式积分可得到两质点从初始

30、位置到终点位置对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置, 一对力做的一对力做的总功：总功： 212121dddrfrfAA结论结论:A. 一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动,与参考系的选择无关。与参考系的选择无关。B. 如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总功不为零。功不为零。29mM xoVuL例：例：如图所示，物体如图所示，物体m放在粗糙斜面放在粗糙斜面M上，而斜面上

31、，而斜面B放在光放在光滑水面上。当滑水面上。当m下滑时，下滑时，M也将运动。试说明在这个过程中，也将运动。试说明在这个过程中，m、M间的一对摩擦力做功之和是正还是负？间的一对摩擦力做功之和是正还是负？A、B间的一间的一对正压力做功之和又如何？对正压力做功之和又如何？A= - fL在在m下滑的过程中，下滑的过程中，m与与M之之间的一对摩擦力做的功间的一对摩擦力做的功:fN一对正压力做的功一对正压力做的功:A=0二、功率二、功率平均功率：平均功率：tWp 瞬时功率瞬时功率( (功率功率) )：vFdtdrFdtdWtWplimt 0注意：注意：1 1、功是过程量、功是过程量, ,与路径有关。与路径

32、有关。 2 2、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。 描述作功快慢的物理量描述作功快慢的物理量vFP 222121ABvvBAABmvmvvdvmvdt dtdvm W BA BAABrdFW vdtrddtdva BArdFBArdam1. 质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的合外力对质点所做的功等于质点动能的改变量。改变量。只在惯性系中成立。只在惯性系中成立。2.4 动能动能 动能定理动能定理 质点由质点由AB，合外力，合外力 对质点作的功对质点作的功F2vvABvv1ABFrd 221 mEk 式中式中是质点以速率是质点以速

33、率v运动时具有的动能运动时具有的动能2. 质点系的动能定理质点系的动能定理质点：质点：m1 m2初速度：初速度：2010v v2101211111111111vm21vm21rdf rdF mBABA ：21F F外力：外力：内力：内力：21f f末速度：末速度：21v v2202222222222222vm21vm21rdf rdF mBABA ：两式相加得：两式相加得： 2211221122112211BABABABArdf rdfrdF rdF 外力的功之和外力的功之和内力的功之和内力的功之和 = =系统末动能系统末动能系统初动能系统初动能注意：注意：内力能改变系统的总内力能改变系统的总

34、动能动能，不能改变系统的，不能改变系统的总总动量动量。）（22022101222211vm21vm21vm21vm21 记作：记作：W外外W内内Ek - Ek0质点系动能定理质点系动能定理: 所有外力对质点系做的功和内力所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的改变量。对质点系做的功之和等于质点系总动能的改变量。 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关与路径无关, ,这种力称为这种力称为保守力保守力, ,否则该力称为否则该力称为非保守力非保守力。2.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一、保守力

35、与非保守力一、保守力与非保守力ABCD0 ADBACBBCAADBADBACBADBACBdrFdrFdrFWdrFdrFdrFdrFWW0drFdrFdrFWdrFdrFdrFdrFWWADBACBADBBDAADBACBADBACB 0drFdrFdrFWdrFdrFdrFdrFWWBDAACBBCAADBADBACBADBACB 若沿闭合路径若沿闭合路径ACBD 运动一周运动一周: :物体沿任意闭合路径运动一周，保守力作功为零物体沿任意闭合路径运动一周，保守力作功为零保守力作功保守力作功: :1.1.重力的功重力的功 m在重力作用下由在重力作用下由a 运动到运动到b，取地取地面为坐标原点

36、面为坐标原点. baGrdgmW bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg()(abmgzmgz 二、三种保守力的功二、三种保守力的功x0ab gmrdzykxF 222121baxxSkxkxkxdxWba 2. .弹力的功弹力的功xFax0bx重力作功只与质点的始末位置有关重力作功只与质点的始末位置有关, ,而与质而与质点所经过的实际路径形状无关。点所经过的实际路径形状无关。弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。 两个质点在引力作用两个质点在引力作用

37、下作相对运动，以下作相对运动，以M为原为原点作点作m 的位矢的位矢, ,M 指向指向m 的方向为该矢径的正方向的方向为该矢径的正方向。m 受的引力方向与该矢受的引力方向与该矢径方向相反径方向相反, ,m由由ab时引时引力所作的功为力所作的功为:l drrMmGl dFWbabaF 30rdrrMmGbarr30 )rMmG()rMmG(ba00 rdrcosrdll dr 3. .引力的功引力的功Mmrab rdrarl dFbr万有引力的功也只与质点始末位置有关万有引力的功也只与质点始末位置有关, ,而与质点所经过的实际路径形状无关。而与质点所经过的实际路径形状无关。37 2. 势能势能ba

38、abmghmghA 重力的功重力的功222121baabkxkxA 弹性力的功弹性力的功)11(baabrrGMmA 引力的功引力的功 定义：定义：Epa是系统在位置是系统在位置a的势能的势能; Epb是系统在位置是系统在位置b的势能。的势能。 bapapbpbpaEEEErFA)(d保保保保保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。)()(barGMmrGMm 38说明说明:(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用势能不属于一个质

39、点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。的整个系统。势能是一种相互作用能。(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。选定势能零点。rFEapad 零零势势点点保保上式表示，上式表示，系统在位置系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上，势这就是计算势能的方法。原则上，势能零点的位置可以任意选择。能零点的位置可以任意选择。39力学中三种常见的势能：力学中三种常见的势能： (1)零势面可任意选

40、择零势面可任意选择。 (2)重力势能为重力势能为 Ep=mgh (1)重力势能重力势能rFEapad 零零势势点点保保 (h是物体相对于零势面的高度是物体相对于零势面的高度)(2)弹性势能弹性势能 (1)通常规定弹簧无形变时的势能为零。通常规定弹簧无形变时的势能为零。 (2)弹簧伸长弹簧伸长(或压缩或压缩)x时的弹性势能为时的弹性势能为(3)弹性势能总是正值。弹性势能总是正值。2021dkxxkxExp 40 oxxpbxkxEdxo (原长原长)oxabx222121okxkx (4)如选如选x=xo处为势能零点，则弹性势能处为势能零点，则弹性势能rFEbpbd 零零势势点点保保41(1)通

41、常取无穷远为势能零点。通常取无穷远为势能零点。 (3)引力势能总是负值。引力势能总是负值。(2)M、m相距相距r时的引力势能时的引力势能:(3)引力势能引力势能 rPrMmGrrMmGEd2rfMdrm 0.00.81.00.00.81.01.2Y Axis TitleX Axis Title Ba. 重力势能曲线重力势能曲线 z E O -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.81.00.0Y Axis TitleX Axis Title Bb. 弹性势能曲线弹性势能曲线 E x O 24-4-202Y Axi

42、s TitleX Axis Title Bc. 引力势能曲线引力势能曲线 E r O Ep Ep Ep Ek Ek Ek 势能曲线势能曲线万有引力的功等于引力势能增量的负值。万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能常以无穷远为零势能点。引力势能常以无穷远为零势能点。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能常以弹簧原长为零势能点。弹性势能常以弹簧原长为零势能点。)rMmG()rMmG(WbaF00 222121baskxkxW baGmgzmgzW 三、势能三、势能 pppbaEEErdFWba 保保保保重力的功等于重力势能增量的负值。重力的功等于重力势能

43、增量的负值。重力势能常以地面为零势能。重力势能常以地面为零势能。pppbaEEErdFWba 保保保保根据式根据式在一维情况下有：在一维情况下有：)x(dEdx)x(FP 则有：则有：dx)x(dE)x(FP 根据该式，若已知势能函数，就能求出保守力。根据该式，若已知势能函数，就能求出保守力。讨论：讨论：（1）势能是状态函数）势能是状态函数;（2）势能是相对的）势能是相对的;（3）势能只对系统而言。）势能只对系统而言。例例6 质量为质量为m = 0.5kg 的质点，在的质点，在x y平面内运动平面内运动, ,方方程为程为x = 5t，y = 0.5t2 (SI), ,求从求从t = 2s 到到

44、t = 4s 这段时这段时间内间内, ,外力对质点作的功外力对质点作的功. .解解: :J)(.mvmvW32542516502121212122 21222121mvmvW tdtdyvdtdxvyx52522 tv解：解： jtsinbi tcosar)( 1 tcosbv tsinavyx tsinby tcosax 例例7 一质量为一质量为m 的质点，在的质点，在xoy平面上运动。其位置平面上运动。其位置矢量为：矢量为： ,其中其中a,b, 为正值常为正值常数，数，a b 。 jtbi tar sincos (1) 求质点在求质点在A (a,0) 点和点和B(0,b) 点时的动能。点时

45、的动能。(2) 求质点所受的作用力以及当质点从求质点所受的作用力以及当质点从A 运动到运动到B 的的过程中分力过程中分力 、 所做的功。所做的功。xFyF tcosbv tsinavyx 22222222 A(a,0) 点：点：cos t = 1 sin t = 02222212121 mbmvmvEyxKA B(0,b)点点：cos t = 0 sin t =12222212121 mamvmvEyxKB jtmbi tmajmaimaFyx sincos )2(22 220202202021sin21cos mbtdymbdyFWmatdxmadxFWbbyyaaxx 例例8 一链条总长为

46、一链条总长为l ，质量为质量为m 。放在桌面上并使其一放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的长度为部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动摩设链条与桌面的滑动摩擦系数为擦系数为 ，令链条从静止开始运动，则，令链条从静止开始运动，则: (1) 到链条到链条离开桌面时，摩擦力对链条做了多少功？离开桌面时，摩擦力对链条做了多少功？(2) 链条离链条离开桌面时的速率是多少？开桌面时的速率是多少？al-a xO解：解：(1) 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 lalafdx)xl (lmgrdfW 注意：摩擦力注意：摩擦力作负功！作负功！lxlmgf/ )( 22)(2)21( allmgxlxl

47、mgla (2) 对链条应用动能定理：对链条应用动能定理： 2022121mvmvWWWfP 21222)al ()al (lgv 得得20210mvWWvfP l)al (mgxdxlmgrdPWlalaP222 lalmgWf2)(2 前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg 例例10 如图如图, ,物体质量物体质量m =2kg , , 由静止开始沿固定的四分之一由静止开始沿固定的四分之一圆弧从圆弧从A滑下滑下, ,到达到达B点时的速率点时的速率v = 6 m/s , ,求摩擦力作的功求摩擦力作的功. .AO OBR=4msmv 6 )J(mgRmvWf4421

48、2 解解: : 由动能定理由动能定理0212 mvWWWNfg0 NgWmgRW fNmg 例例9 如图如图, ,木块木块m 沿固定的光滑斜面由静止开始下滑沿固定的光滑斜面由静止开始下滑, ,当下降当下降h高度时高度时, ,重力的瞬时功率为多少重力的瞬时功率为多少? ?解解: : singhmgsinmgvvFP2 h mgvghvmvmgh20212 2.6功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1. 机械能机械能 = = 动能动能+ +势能势能 pkEEE 物体组的受力物体组的受力 外力外力内力内力一、功能原理一、功能原理2. 功能原理功能原理合力分类合力分类: : 外力：外力：内力

49、：内力：系统外物体对系统内物体的作用力。系统外物体对系统内物体的作用力。系统内物体间的相互作用力系统内物体间的相互作用力非保守内力非保守内力保守内力保守内力 内内保保内内非非外外12kkEEWWW )EE()EE(WEEWWpkpkkk112212 内内保保内内非非外外12kkEEWWW 内内外外由动能定理：由动能定理：)EE(WPp12 内内保保功能原理功能原理: 外力和非保守内力作功之和外力和非保守内力作功之和, ,等于系统机等于系统机械能的改变量。械能的改变量。注意注意: : 动能和势能都可变化，但其动能和势能都可变化，但其和和为恒量。为恒量。CEEEpk 0 内非内非外外WW1122p

50、kpkEEEE )EE()EE(WWpkpk1122 内内非非外外二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律条件：条件：结论结论: :52 Ep+Ek=恒量恒量 这一结论称为机械能守恒定律这一结论称为机械能守恒定律。说明说明:(1)机械能守恒的条件是机械能守恒的条件是A外外+A非保守内力非保守内力=0，是对惯性系而，是对惯性系而言的。即机械能守恒定律只适用于言的。即机械能守恒定律只适用于惯性系惯性系。(2)在某一惯性系中系统的机械能守恒在某一惯性系中系统的机械能守恒, 并不能保证在其他惯性系并不能保证在其他惯性系中也守恒，因为中也守恒，因为 A外外与参考系的选择有关。与参考系的选择有关。 (3)保守内力作功只能使系统的动能和势能相互转化，并不能改保守内力作功只能使系统的动能和势能相互转化，并不能改变系统的总能量。变系统的总能量。A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)如果如果合外力的功与非保守内力的功之和为零合外力的功与非保守内力的功之和为零 (A外外+A非保守内力非保守内力=0)时时, 则则53判断下列说法的正确性判断下列说法