弹性力学等截面直杆的扭转全部PPT学习教案

1、会计学1弹性力学等截面直杆的扭转全部弹性力学等截面直杆的扭转全部第1页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移第2页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移等直非圆杆扭转： 横截面翘曲纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。 相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没有正应力。约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。 相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。弹性力学讨论自由扭转。第3页/共43页第十

2、章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。yxxy第4页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。 用半逆解法。参考材料力学中对于圆截面杆的解答，这里假设：除了横截面上的剪应力zx和zy（即扭应力）以外，其余应力分量都等于零，即：

3、0 xyzyx(10-1），即得：注意：代入平衡方程0),18(ZYX1、求应力分量和位移分量：、求应力分量和位移分量：0Xxyxzxyxx0Yyzyxyzyy0Zyxzyzxzz第5页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移1、求应力分量和位移分量：、求应力分量和位移分量：0Xzyxzxyxx0Yxzyxyzyy0Zyxzyzxzz0, 0, 0yxzzyzxzyzxz(a）)(yzxzyx改写为：变化。第三个方程可以不随的函数，和应当只是和由前两个方程可见，zyxzyzx:平衡方程F(x,y)第6页/共43页第十章

4、第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移:),(，使得一个函数定存在根据微分方程理论，一yx)(yzxzyx改写为：变化。第三个方程可以的函数，不随和应当只是和由前两个方程可见，zyxzyzxxyyzxz,表示成为：函数于是可以将应力分量用xyzyyzzxxz,(10-2）数，是普朗都提出的。称为扭转问题的应力函这里的函数),(yx式要求：最后总能满足，其余二可见其中的前三式及代入相容方程及将),329()210() 110(第7页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题

5、的应力和位移该两式要求：, 02yz02zx前三式自动满足。0)1 (22zyyz0)1 (22xzzx0)1 (22yxxy最后一式自动满足。代入，得：将)210(xyzyyzzxxz(10-2）, 02x02yC2(10-3）0)1(0)1(0)1(222222222zyxzyx0 xyzyx第8页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移而第三式要求：中的前两式总能满足，可见应力边界及在杆的侧面上，有)58(, 00ZYXn0)()(syzsxzml2 考察边界条件：考察边界条件：ijijXlxyzyyzzxxz(

6、10-2）0)()(ssxmyl0)()(dsddsdxxdsdyyssdsdxmdsdyl,在边界上有：的边界值应当是常量。应力函数线上），上（在横截面的边界曲这就是说，在杆的侧面常量s常量s Mdxdy2(1)yx第9页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移的边界值可以取零：函数情况下，为简便，应力况下，即实心杆的因此，在单连截面的情应力分量并不受影响。数时，增加增加或减少一个常可见，当应力函数由式)210(0s(10-4）件来确定。，则须根据位移单值条零。其他边界上的取为一个边界上的。因此，只能把其中某各个常数

7、一般并不相同，但在每一边界上都是常数虽然应力函数在多连截面的情况下，ss讨论：讨论：xyzyyzzxxz,(10-2）第10页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移而前二式成为：中的第三式总能满足，应力边界条件，而端，在杆的任一端，例如上)58(10nmlYXyzxz,，所以要求：而力偶的矩等于扭矩必须合成力偶，及因为面力MYXMdxdyYxXydxdyYdxdyX)(00(c）(d）(e）：左边的积分式可以写成，式中的第一式及根据c)()210()(b静力等效静力等效(2)xyzyyzzxxz,(10-2）dxdy

8、ydxdydxdyXzxdxdyydxAB)(第11页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移而前二式成为：中的第三式总能满足，应力边界条件，而端，在杆的任一端，例如上)58(10nmlYXyzxz,，所以要求：而力偶的矩等于扭矩必须合成力偶，及因为面力MYXMdxdyYxXydxdyYdxdyX)(00(c）(d）(e）dxdyydxdydxdyXzxdxdyydxAB)(也是满足的。是满足的。同样可见式值，应当等于零。可见点的点及是横截面上及其中)()(dcABAB静力等效静力等效(2)第12页/共43页第十章第十

9、章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移：左边的积分式可以写成式，式及根据式)()210()(ebdxdyxxyyxydxdyYxXyzyzx)()()(dxxxdydyyydx (。可见进行分部积分，注意0AB dxdydydyyydxdyyydxAABB)( 同样可见 dxdydxxxdy(成为：于是式 )(eMdxdy2(10-5）MdxdyYxXy)(xyzyyzzxxz,(10-2）第13页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移）求出应力分量。，然后由

10、能满足方程使它，寻求出应力函数为了求得扭应力：210()510()310(,归纳zyzx(10-3）(10-4）C20s Mdxdy2(10-5）解出函数(10-2）xyzyyzzxxz第14页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移现在推导有关位移的公式现在推导有关位移的公式。将应力分量的表达式(10-1)及(10-2)代入物理方程（8-17)，得：0, 0, 0zyx0,1,1xyzxyzyGxGzwyvxuzyx,zvywyz,xwzuzxyuxvxy0 xuxGzvyw1yGxwzu10yuxv0yv0zw(f

11、）xyzyyzzxxz0 xyzyx第15页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 通过积分运算，可求得位移分量：，则：保留与变形有关的位移如果不计刚体位移，只也是积分常数。移和以前一样代表刚体位、其中积分常数Kvuzyx,00Kyzyzuuzy0Kxzzzvvxz0KyzuKxzv (10-6） 用柱坐标系表示，即：0ruKrzu 可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，只是转动一个角度Kz。由此又可见，杆的单位长度内的扭转角满足：第16页/共43页第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.

12、1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移得：式中第五式及第四式，代入将（)()610fxGzvyw1yGxwzu1KxxGyw1KyyGxw1(10-7）：求导，然后相见，即得、。将上列二式分别对可以用来求出位移分量yxwGK22(10-8）中的常数应为：由此可见，方程)310(C2(10-3）GKC2(10-9）第17页/共43页10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转德国力学家 Prantle 普朗都指出，薄膜在均匀压力作用下的垂度，与等直截面杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似。用薄膜来比拟扭杆，可以有助于求得扭转问题的解

13、答.第18页/共43页10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 当薄膜承受微小的均匀压力时当薄膜承受微小的均匀压力时，薄膜的各点将发生微小的垂度。以边界所在的水平面为xy面，则垂度为则垂度为z。 由于薄模的柔性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只能承受均匀拉力而只能承受均匀拉力T（好像液膜的表面张力）。（好像液膜的表面张力）。均匀薄膜，张在一个水平边界上（上图所示）条件：水平边界形状和大小扭转杆的横截面边界第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第19页/共43页qdxdyzabcddyyzzyTdxzTdxbcyzTdxzT

14、dxaddxxzzxTdyzTdycdxzTdyzTdyabTdydxxyabcd轴上的投影：部分所受的总压力在注意）（轴上投影：在边上的拉力：轴上投影：在边上的拉力：）（轴上投影：在边上的拉力：轴上的投影：在边上的拉力：拉力是薄膜每单位宽度上的。微元体受力情况。和边长是是一个矩形，而矩形的面上的投影，它在（微元体）取薄膜的一个微小部分,.平衡条件：0zF0)()(qdxdyyzzyTdxyzTdxxzzxTdyxzTdy10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第20页/共43页平衡条件：0zF简化后0)()(qdxdyyzzyTd

15、xyzTdxxzzxTdyxzTdy0)(2222qyzxzTTqz2(10-10)此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即0sz(10-11)10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第21页/共43页薄膜问题与扭转问题比较：扭转问题薄膜问题.V之间的体积为命薄膜及其边界平面GKC220s Mdxdy2Tqz20szzdxdyV 22结论：VMGKTqz2,2,10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第22页/共43页薄膜问题与扭转问题比较：结论：VMGKTqz2,2,方向

16、的剪应力大小为：，沿在扭转横截面上，yxxyzyzx|,|方向的斜率为：及薄膜xyxziyzixy|,|扭转问题薄膜问题10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第23页/共43页薄膜问题与扭转问题比较：方向的剪应力大小为：，沿在扭转横截面上，yxxyzyzx|,|方向的斜率为：及薄膜xyxziyzixy|,|,)1 (yzxixzyi最大斜率所在点最大剪应力 )2(。最大斜率方向相互垂直最大剪应力方向) 3(扭转问题薄膜问题10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第24页

17、/共43页10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转薄膜曲面可以形象地描述横截面的扭转应力分布。薄膜的等高线：0sz切应力方向沿薄膜等高线切线0s0snns切应力与等高线法线方向导数成正比。切应力与等高线相切。切应力线。第25页/共43页10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转 等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴是a和b。012222byax(a)第26页/共43页10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆

18、的半轴是a和b。012222byax(a) 由于应力函数在横截面的边界上应当等于零，所以假设应力函数为：12222byaxm(b) 其中m是一个常数，然后考察，是否满足一切条件。第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转Cyx2222212222byaxmAAB第27页/共43页可见，取)(222222222bababaCmCbam2222，而应力函数取为：即可满足基本微分方程)310(1)(222222222byaxCbaba10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转Cyx2222212222byaxm第28页/共43页，而应力函数

19、取为：即可满足基本微分方程)310(1)(222222222byaxCbaba Mdxdy2(10-5）C求出常数）代入510(432baIdxdyxy432abIdxdyyxMdxdydxdyybdxdyxaCbaba2222222211)(2(d）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转abAdxdy由材料力学知：第29页/共43页即得：式代入,)(d3322)(2baMbaC(e）为：所以，应力函数122222byaxabM(f）xyzyyzzxxz(10-2）,23yabMzxxbaMzy32(10-12）10.3 10.3 椭

20、圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转该应力函数满足了所有一切条件。1)(222222222byaxCbaba第30页/共43页剪应力是：横截面上任意一点的合,23yabMzxxbaMzy32(10-12）2142422122)(2)(byaxabMzyzx(10-13）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转2max2abMBA解答同材料力学。），时（扭杆的横截面是圆当ba 假想有一块薄膜，张在椭圆边界上，受均匀压力，则，显然可见，薄膜的最大斜率将发生在?，而方向垂直于边界。 根据薄膜比拟，扭杆横

21、截面上最大的切应力也发生在A点和B点，但方向平行于边界。将A点和B点的坐标(0,b)代入（10-13），得出：第31页/共43页得单位长度内扭角及式。由公式现在来求出形变和位移)() 910(eGKC2(10-9）GbaMbaGCdzdK3322)(2(10-15）KyzuKxzv (10-6）yzGbaMbau3322)(xzGbaMbav3322)(10-16）KxxGyw1KyyGxw1(10-7）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第32页/共43页)()(13322yfxyGbabaw)()(23322xfxyGbabaw

22、得：不计这个刚体位移，即方向的刚体位移。就是，而，应当等于同一常数由此可见，zxfyf0021)(),(xyGbabaw3322)(10-17），横截面才保持平面。才有时，轴。只有当轴和是而这些双曲线的渐近线面上的投影是双曲线，在的等高线，而将翘成曲面。曲面横截面并不保持为平面这个公式表明：扭杆的0wbayxxy,)(3322yGbabaxwxGbabayw3322)(10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第33页/共43页第34页/共43页10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转分析矩形截面杆的扭转，设矩形的边长为a及b

23、。成为：而，。于是可以近似地取束的影响，近似于柱面几乎不受短边约变化，因为对应的薄膜面上几乎不随在绝大部分横截断，应力函数下，由薄膜比拟可以推。在这一情况的。即首先假设矩形是很狭长)310(,0dydyxxbaCyx22222(10-3）Cdyd22积分第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转)4(222byC02/by）边界条件（ Mdxdy2(10-5）C求出常数代入)510(第35页/共43页 Mdxdy2(10-5）C求出常数代入)510(MdxdybyCbbaa)4(22222/2/2/2/36abMC)4(3223ybabMxyzyyzzxxz(10-2）,63yabMzx0zy(10-18）为：截面的长边上，其大小最大剪应力发生在矩形由薄膜比拟可以推断，22/max3)(abMbyzx(10-19）10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第36页/共43页，得扭角：代入将式)910(63abMCGKC2(10-9）GabMGCdzdK332(10-20）示为：所以应力函