一元一次方程和一元二次方程的根的分布

1、第三节一元一次方程和一元二次方程的根的分布一、方程的根与函数的零点二、方程的根（函数的零点）的转化三、一元一次方程的根的分布（一次函数的零点分布）四、一元二次方程的根的分布（二次函数的零点分布）直接方法是先求出根，再由题意列不等式间接解答一元二次方程的根的分布问题一般思路有二，思路一是：从判别式和韦达定理入手列不等式组；思路二是由图象分析入手，从开口方向、对称轴、判别式、端点值这四个方面列不等式组在这里，两个思路是等价的，只不过列出的不等式组有简单与复杂的区别，一般来说，端点值为零时用思路一、思路二列出的不等式组都较简单（下面的第1、2种情况），端点值不为零或不全为零时用思路二列出的不等式组简

2、单一些（下面的3至12种情况）其中，端点值指的是方程的根所在区间的端点或分界点对应的函数值，比如“根在区间（1,3）之间”其端点值为f、f（3），“两根一正一负”其端点值为f（0）.元二次方程的根的分布思维模型:对于一元二次方程f(x)二ax2bx0，设其根为x-i、x2，则1.两根一正一负af(O)：0'：0；x,x2:02.两根都大于零A>0bx02aaf(0)0:-0*片+X2A0；为冷>0两根都小于零>0bx02aaf(0)00Xj+X2£0；X|X2>03.一根比k大一根比k小af(k):0；:-0Ibxk；2aaf(k)04.两根都比k大二

3、b5.两根都比k小:二x=-:k；j2aaf(k)0SO6.两不等根在(匕飞2)之间二kik22aaf(kj>0af(k2)0af(kj：0af(k2)：08.根比k,大，一根在(k,k2)之间二af(ki)0af(k2)：0'7.两根在k,k2之外即一根比k2大一根比K小=f(k,)f(k2)0；f(k,)f(k2)：0.f(k2)f(k3)：012.设k2:k3，两根一根在(kpk2)之间，一根在Kg之间=f(kjf(k2)：0.f(k3)f临)：09.一根在(ki,k2)之间，一根比k,小二af(ki)：0af(k2)>010.根在(k,k2)之间，一根在匕*2之外=

4、11.一根在(k,k2)之间，一根在(k2,k3)之间二_22比如，一元二次方程(1-m)x，2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1,试确定m的取值范围.22本题具体操作过程示范：先设函数f(x)=(1-m)x2mx-1，显然f(0)=-1即函数过点(0,-1)，画出函数草图如图，然后根据函数图象从四个方面分析.第一个方面是开口2方向，由题意知抛物线开口方向向上，则1-m0.第二个方面是对称轴，对称轴所在区间不定，故不需要列不等式.第三个方面是判别式，判别式大于零已经隐含在“函数过点(0,-1)以及开口方向向上”之中，故不等式0可以省略.第四个方面是端点值，端点为0(1-m2，0和1，f(0)已经确定，故有f(1)：0.所以得，解得m的取值围为-1：m：0.lf(1)£0注意：需要强调的是，方程的根的分布问题的直接解法是解出其根，再列不等式（组）对于二次方程而言，如果方程的根含有根式则用直接法解答不太容易，可以选择间接解法，如果方程的根为整式（即方程右边能够轻松分解因式）则用直接法解答就容易一些，这时选择直接法解答.比如，已知2x2-3ax-2a2=0有根在区间-1,1上，求a的取值范围；此a题用直接法解答就容易一些，分解因式得（2xa）（x-2a）=0，则x或2a，故2a-11或-1岂2a叨，所以a的取值范围为-2空a乞2。显然，这比用间接法解答要简2单