精简 1线性系统的状态空间描述20140315

1、主讲 张星霞退出退出 西南大学工程技术学院2课程要求课程性质：必修课课程安排：45学时（36+9）考核要求：不得迟到、早退、缺席，按时完成课后作业。课程成绩：平时成绩(10)、实验成绩(20)、期末成绩(70)三部分构成。平时成绩包括：考勤、学习态度、小测验、作业等。退出退出 西南大学工程技术学院3第0章绪论绪论退出退出 西南大学工程技术学院40.1 控制理论发展概况0.2 现代控制理论的主要特点0.3 现代控制理论基本内容0.4 本课程内容本章主要内容本章主要内容退出退出 西南大学工程技术学院51.1 控制理论发展概况1788年，英国Wate利用反馈原理发明蒸汽机用的离心调速机。1875年，

2、1895年，英国Routh和德国Hurwitz先后提出判别系统稳定性的代数方法。退出退出 西南大学工程技术学院61892年，俄国李雅普诺夫在论运动稳定性的一般问题中建立了动力学系统的一般稳定性理论。1932年，Nyquist提出了根据频率响应判断系统稳定性的准则。1945年，美国Bode在网络分析和反馈放大器设计中提出频率响应分析法Bode图。退出退出 西南大学工程技术学院71948年，美国Wiener在控制论关于在动物和机器中控制和通信的科学中系统地论述了控制理论的一般原理和方法。 标志控制学科的诞生标志控制学科的诞生 控制论：研究动物（包括人类）和机器内部控制和通信的一般规律的学科。195

3、4年，钱学森的工程控制论在美国出版。 奠定了工程控制论的基础（另一个标志性人奠定了工程控制论的基础（另一个标志性人物）物）退出退出 西南大学工程技术学院8 （1 1）经典控制理论）经典控制理论（3 3大部分）大部分）数学模型数学模型:线性定常高阶微分方程 线性定常差分方程 （离散） 传递函数; 脉冲传递函数（离散） 非线性：描述函数法，相平面法分析方法分析方法: 时域法(低阶13阶) 根轨迹法 频域法 分析类容：主要为系统的稳定性分析设计和校正方法设计和校正方法近似分析退出退出 西南大学工程技术学院9n适应领域适应领域: : 单输入单输出（SISO）线性定常系统 n缺缺 点点: : 只能反映输

4、入输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态。 难以应用于时变系统、多变量系统。（1）经典控制理论经典控制理论退出退出 西南大学工程技术学院10标志：标志： 1960年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统（状态分析法的成功应用），提出能控性、能观性、Kalman滤波概念1961年，庞特里亚金证明了最优控制中的极大值原理。1965年，R.Bellman提出了寻求最优控制的动态规划方法。（2）现代控制理论）现代控制理论退出退出 西南大学工程技术学院11罗森布诺克，欧文斯，麦克法伦研究了使用计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论。将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了

5、传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系。为进一步建立统一的现代控制理论奠定了基础。20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法）在自适应控制理论和应用方面做出了杰出贡献。（2）现代控制理论）现代控制理论退出退出 西南大学工程技术学院12n数学模型数学模型: : 以一阶微分方程组或差分方程组表示的动态方程n分析方法分析方法: : 精准的时域分析法n适应领域适应领域： （1 1）多输入多输出系统 （MIMO、SISO、MISO、SIMO） （2 2）非线性系统 （3 3）时变系统（2）现代控制理论）现代控制理论退出退出 西南大学工程技术学院13优越性（与经典控制理论相比）：优越性（与经典控制理论

6、相比）：（1 1）能描述系统内部的运行状态（2 2）便于考虑初始条件（与传递函数比较）（3 3）适用于多变量、非线性、时变等复杂大型控制系统（4 4）便于计算机分析与计算（5 5）便于性能的最优化设计与控制内容：内容： 线性系统理论、最优控制、最优估计、系统 辨识、自适应控制。（2）现代控制理论）现代控制理论退出退出 西南大学工程技术学院14（3）鲁棒控制（Robust Control）系统（不讲）1）由于现代数学的发展，结合着H2和H等范数而出现的H2和H控制，还有逆系统控制等方法。2）20世纪70年代，控制理论向着“大系统理论”如电力网，计算机网络；“智能控制理论”已普及（模糊控制洗衣机、

7、神经网络控制的机器人等）和“复杂系统理论”如航天器控制的方向发展。退出退出 西南大学工程技术学院151.2 现代控制理论的主要特点现代控制理论的主要特点研究对象：线性系统、非线性系统、时变系统、多变量系统、连续与离散系统数学上：状态空间法方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能内容上：线性系统理论、系统辨识、最优控制、自适应控制等退出退出 西南大学工程技术学院161.3 现代控制理论基本内容现代控制理论基本内容控制理论必须回答的三个问题：（1）系统能否被控制？可控性有多大？（2）如何克服系统结构的不确定性及干扰带来 的影响？（3）如何实现满足要求的控制策略？退出退出 西南大学工程技术学院17（

8、1）线性系统理论 研究线性系统在输入作用下状态运动过程 规律，揭示系统的结构性质、动态行为之 间的关系。主要内容： 1）状态空间的描述和实现 2）线性系统的特性：能控性、能观性和稳定性（整个空间范围内的稳定）、 3）线性系统的设计方法：状态反馈、状态观测器、极点配置等。退出退出 西南大学工程技术学院18（2）最优控制在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法：1）变分法（解决非线性、离散系统的最优控制）、2）极大（小）值原理、极大值原理 现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。解决控制受限的系统。3）

9、动态规划等离散系统退出退出 西南大学工程技术学院19（3）最优估计 当系统中存在随机干扰和环境噪声时，必须设计和校正，应用概率和统计方法进行。即：已知系统数学模型，通过输入输出数据的测量，利用统计方法对系统状态估计。包括2种情况。a参数估计方法（最小方差、线性最小方差、最小二乘法）b状态估计方法（卡尔曼滤波法，主要为预测和滤波）退出退出 西南大学工程技术学院20（4）系统辨识建立系统动态模型的方法：根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。A经典的系统辨识方法利用脉冲传递函数来辨识B最小二乘辨识方法C系统模型的阶次确定方法。

10、（高阶微分方程的阶数不知道）退出退出 西南大学工程技术学院21（5）自适应控制 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。 a. 模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control) b. 自校正自适应控制 （Self-Turning Adaptive Control) 退出退出 西南大学工程技术学院220.4 本课程内容线性系统理论部分退出退出 西南大学工程技术学院23第1章线性系统的线性系统的状态空间描述状态空间描述退出退出 西南大学工程技术学院241.1 1.1 系统数学描述的两种基本方法系统数

11、学描述的两种基本方法 1.2 1.2 状态空间描述常用的基本概念状态空间描述常用的基本概念1.3 1.3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立线性定常连续系统状态空间表达式的建立1.4 1.4 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解1.5 1.5 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵本章主要内容本章主要内容退出退出 西南大学工程技术学院25 典 型 控 制 系 统 方 框 图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制 系统的方块图表示puuu21nxxx,21qyyy21 1.1 1.1 系统数学描述的两种基本方法系统数学描述的两种基本方法uyx退出退出

12、 西南大学工程技术学院26数学描述方法数学描述方法：P440 1输入输出描述输入输出描述（外部描述）: 高阶微分方程、传递函数矩阵 将系统看作黑箱 2状态空间描述状态空间描述（内部描述）： 基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。 状态方程 输出方程退出退出 西南大学工程技术学院271.2 状态空间描述常用的基本概状态空间描述常用的基本概念（念（1） 系统：相互制约的部分构成的整体。系统：相互制约的部分构成的整体。1 1）输入：）输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：控制：人为施加的激励； 输入分控制与干扰。1 1）输出：）输出：从外部测量到的系统信息 。 若输出是由传感器测量得到的，又

13、称为观测观测。退出退出 西南大学工程技术学院282.松弛性松弛性:若系统的输出 由输入)(0ttty12 ,Tpuu uu12,Tqyy yySystem2yqy1u2upu,)(0ttu 唯一确定,则称系统在 是松弛的。 算子， 0tyHuH :H uyG退出退出 西南大学工程技术学院29在 不存储能量： 瞬时系统 无记忆系统对 时刻松弛的系统：对初始松弛的系统：0t00,),)ttyHu0t(,)(,)yHu 松弛系统松弛系统退出退出 西南大学工程技术学院303.因果性因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。 退出退出 西南大学工

14、程技术学院314.线性线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数 , 均有 (可加性), (齐次性),则该系统称为线性的，否则为非线性。21uu 和2121)(HuHuuuH)()(11uHuH退出退出 西南大学工程技术学院32)()()(tutuQtua2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数 ,均有则称系统是定常的.aaayHuHQ uQ HuQ y5.定常性定常性:1)定义: -位移算子aQ退出退出 西南大学工程技术学院33)(tu)(tutt)(ty)(tytt退出退出 西南大学工程技术学院341.2 状态空间描述常用的基本概念（状态空间描述常用的基本概念（2）1 1）状

15、态、状态变量和状态向量）状态、状态变量和状态向量 ：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态状态；其中的各个变量称为状态变量状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量状态向量。2 2）状态空间：）状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。3）状态轨线：）状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。退出退出 西南大学工程技术学院352x1xt0)(),(0201txtx)(),(1211tx

16、tx状态轨 迹)()()(21txtxtxAB退出退出 西南大学工程技术学院361.2 状态空间描述常用的基本概念（状态空间描述常用的基本概念（3）4) 状态方程：状态方程：描述系统状态变量状态变量与输入变量输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程组向量微分或差分方程组称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，可以表示为 5) 输出方程：输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为6) 动态方程：动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为

17、状态空间表达式 。一般形式为( )( ), ( ),x tf x t u t t( )( ), ( ),y tg x t u t t( )( ),( ),( )( ),( ),x tfx tu tty tgx tu tt退出退出 西南大学工程技术学院37或离散形式 1()( ), ( ),( )( ), ( ),kkkkkkkkx tfx tu tty tg x tu tt7)自治系统自治系统（略）（略）P4018)线性系统：线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动态方程的一般形式为( )( ) ( )( ) ( )y(t)C(t)x

18、(t)D(t)u(t)x tA t x tB t u t)()()()()()()()()() 1(kukDkxkCkykukHkxkGkx称A(t),G(k)状态矩阵（系统矩阵，系数矩阵），B(t),H(k)为控制矩阵（输入矩阵），C(t),C(k)为输出矩阵（观测矩阵）D(t),D(k)为前馈矩阵（输入输出矩阵）退出退出 西南大学工程技术学院389)线性定常系统：线性定常系统：线性系统的A，B，C，D或G，H，C，D中的各元素全部是常数。即(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x 或离散形式(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k例例

19、1-11-1：若：若A xB uyC xD ux 已知：已知：nxxxx21puuuu21qyyyy21分别写出状态矩阵状态矩阵 A、控制矩阵、控制矩阵 B、输出矩阵、输出矩阵 C、前馈矩阵、前馈矩阵 D 退出退出 西南大学工程技术学院39分别写出状态矩阵状态矩阵 A、控制矩阵、控制矩阵 B、输出矩阵、输出矩阵 C、前馈矩、前馈矩阵阵 D :nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211npnnppbbbbbbbbbB212222111211qnqqnncccccccccC212222111211111212122212ppqqqpddddddDddd 为书写方便，常把连续系统和离散

20、系统分别简记为为书写方便，常把连续系统和离散系统分别简记为S(A,B,C,D)和和S(G,H,C,D)。 退出退出 西南大学工程技术学院40讨论： 1、状态变量的独立性。 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 4、状态方程为状态变量的一阶方程组）退出退出 西南大学工程技术学院41例例12 试确定图中所示电路的独立状态变量。图中u是输入电压，y为输出电压，xi为各电容器电压.解解

21、并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对上图，不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有退出退出 西南大学工程技术学院42 设流过C2的电流为I2 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。 13232xcccx13223xcccx332223223223223312311ccxi dti dtxcc cccxi dtxccxxx状态变量的个数与系统的阶次相同状态变量的个数与系统的阶次相同退出退出 西南大学工程技术学院431.4 .1 1.4 .1 由物理模型建动态方程

22、由物理模型建动态方程1.4 1.4 线性定常系统动态方程线性定常系统动态方程( (状态空间表达式）的建立状态空间表达式）的建立 RLC 电路 例例1-31-3 试列写如图所示RLC的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。退出退出 西南大学工程技术学院44解解 有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电感器的电流与磁通、电容器的电压与电荷。根据独立性要求，电阻器的电压与电流、电容器的电压与电荷、电感器的电流与磁通这三组变量不能选作为系统的状态。 根据回路电压定律eidtCdtdiLRi1 电路输出量 y 为 1cyeidtC 1) 设状态变量

23、为电感器电流和电容器电压，即 ix 1idtCx12eLxLxLRx11211121xCx 输出方程为 2xy则状态方程为112RxLxxe退出退出 西南大学工程技术学院45其向量-矩阵形式为： 1122121110001RxxLLeLxxCxyx&简记为： bxA xeyxc式中：112211,01100RxxLLxxAbcLxxC&eLxLxLRx11211121xCx2xy 退出退出 西南大学工程技术学院46 2)设状态变量为电容器电流和电荷，即 idtxix21,21212110,01011xxCyeLxxLCLRxxeidtCdtdiLRi11cyeidtC1122111RxxxeL

24、LCLxx 输出方程为 21yxc则状态方程为退出退出 西南大学工程技术学院47 3)设状态变量 1211,xidtRi xidtCC（无明确意义的物理量），可以推出 回路方程21221xidtxxxiRCcc(1)1didtRiLidteC1cyeidtC21,1idtRCxRiix1212121,1()()didxxRixxRRxxxeRCLt(2)2yx(3)退出退出 西南大学工程技术学院482121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx可见对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是唯一的。（？） 如何解决此问题！ix 1221xxC12,xi xidt11

25、xxidtCx12112210,10 xPxxxxxpxxc1122121110001RxxLLeLxxCxyx&112212110110101100000100110RxxLLeLxccxcCxyxc&11221211,01010RxxeLLCLxxxyxC结论:445P-1P-1PPxP x例例 由质量块、弹簧、阻尼器组成的双输入三输出机械位移系统如图所示，具有力F和阻尼器气缸速度V 两种外作用，输出量为质量块的位移，速度和加速度。试列写该系统的动态方程。 分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数；x为质量块位移。 双输入三输出机械位移系统解解 根据牛顿力学可知，系统所受外力F与惯性力m 、阻尼力f

26、( V )和弹簧恢复力 构成平衡关系，系统微分方程如下:x x kxFkxVxfxm)( fk,m,此例题略过不讲,新版本已经删除这是一个二阶系统，若已知质量块的初始位移和初始速度，系统在输入作用下的解便可唯一确定，故选择质量块的位移和速度作为状态变量。设 由题意知系统有三个输出量，设 xxxx21,112232,yxx yxxyxx于是由系统微分方程可以导出系统状态方程FkxVxfmxxxx12221)(1 221()()mxfxVkxFmxfxVkxF其向量-矩阵形式为 VFmfmxxmfmkxx10010212111223100001001yxFyxVkffymmmm1.4.2 由高阶微

27、分方程建动态方程由高阶微分方程建动态方程1) 微分方程不含输入量的导数项微分方程不含输入量的导数项 ：uyayayayaynnnnn001)2(2)1(1)( 选n个状态变量为 有 (1)123,nnxy xy xyxy12231(1)01100 11 2101nnnnnnnnxxxxxxxya ya yayua xa xaxuyx 得到动态方程 cxybuAxx式中 121012100100000100,10000010nnnxxxAbcxxaaaacxybuAxx退出退出 西南大学工程技术学院55补充：系统的状态变量图结构图的具体延伸定义：将状态方程中的每一个微分方程用图解来标示，最终按照

28、系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形。便于在计算机上进行仿真，是状态方程的展开图形，揭示了系统详细的内部结构。组成：由积分器积分器，加法器加法器，比例器比例器及一些连线连线组成。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。退出退出 西南大学工程技术学院56 系统的状态变量图 122310112101nnnnnnxxxxxxxya xa xaxuyx 退出退出 西南大学工程技术学院57此图是否为状态变量图？退出退出 西南大学工程技术学院58 系统的状态变量图 122310112101nnnnnxxxxxxxa xa xaxuyx 2) 2) 微分方程输入量中含有导数

29、项微分方程输入量中含有导数项 ：A A待定系数法（略）待定系数法（略）( )(1)( )(1)110110nnnnnnnyaya ya yb ububub u为了避免在状态方程中出现输入导数项，按如下规则选择一组状态变量，设 01112,3,iiihhxyuxxuin其展开式为 1021101322012(2)110(1)(211)1nnnnnnnnxyh uxxhuyh uhuxxh uyh uhuh uxxhuyh uhuhuhu1012123211nnnyxh uxxhuxxh uxxhu输出方程：状态方程：退出退出 西南大学工程技术学院60求Xn的一阶导数，对最后一式求导，有 ：( )

30、(1)011(1)( )( )(1)11011)001()nnnnnnnnnnnnxhuhuh uaya ya yb ububuhuyhuh u1021101(1)(1)(2)11011nnnnnnnxyh uxxhuyh uhuxxhuyh uhuhu(1)( )(1)1101( )10nnnnnnnaya ya yb ububub uy由展开式将 均以 及 u 的各阶导数表示，经整理可得 yyyn,)1(ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110令上式中 u 的各阶导数的系数为零

31、，可确定各 h 值0111 0221 12011121 0nnnnnnnnnhbhbahhbahahhbaha h记 0011110hahahabhnnn故 uhxaxaxnnnn110则系统的动态方程为：则系统的动态方程为： ducxybuAxx式中式中 121012100100001000011000nnnnhhAbhaaaahcdhb 若输入量中仅含若输入量中仅含次导数且次导数且 ，可将高于，可将高于次导数项次导数项的系数置的系数置0，仍可应用上述公式。，仍可应用上述公式。 nm 退出退出 西南大学工程技术学院63例：1-4 试写出它的状态空间表达式。解：则：uuuyyyy324 3,

32、1, 1, 0, 30123bbbbn4,2, 1210aaa01110322001nnnbbhbhbaahh12 11 002221 1203011220021 100313nnnnnnnhbahahhbahahba ha hba ha ha ha h 状态空间变量选择不同，得状态空间变量选择不同，得到的答案可能不一样。比如到的答案可能不一样。比如这里用可观测型这里用可观测型退出退出 西南大学工程技术学院64 状态空间表达式为 3213213210011331421100010 xxxyuxxxxxx4, 2, 1210aaa01230,1,3,13hhhh 系统结构图见书p448图9-6B

33、）能观测标准型（重点） 当 时，选取状态变量为 展开有：0nb 1niiiix yxxa ybu11111212211223233112233(1)(2)(121111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyxxaybuyaybuxxaybuyaybuaybuxxaybuyaybuaybuaybuxxa ybuyaybu2)(3)(3)2211nnnnnaybua ybu1111121221122(1)(2)(2)(3)(3)1211112211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyxxaybuyaybuxxaybuyaybuaybuxxa ybuyaybu

34、aybua ybu由上式的第一个方程可得输出方程是 nyx其余（n）个状态方程如下11111112222222111111nnnnnnnnnnnnnnnnnxxaybuxaxbuxxaybuxaxbuxxa ybuxa xbu对上求导，有对上求导，有 ：( )(1)(1)(2)(2)1112211nnnnnnnnnxyayb uaybua y bu( )(1)( )(1)110110nnnnnnnyaya ya yb ububub u100nxa xb u 由于由于 ：(1)(2)(2)(3)1211112(3)211nnnnnnnnnxxa ybuyaybuaybua ybu带入上式带入上式

35、所以有状态方程：所以有状态方程： 10021111222111nnnnnnnnnnnnxa xb uxxa xbuxxaxbuxxaxbu nyx则系统的动态方程为则系统的动态方程为 xA xbuycx式中式中 1210100010001000naaaaA011nbbbb100c可观测标准型可观测标准型 输出方程：输出方程：退出退出 西南大学工程技术学院69可观测标准型的状态变量图如图可观测标准型的状态变量图如图 ： 可观测标准型状态变量图可观测标准型状态变量图 1002111111ny=xnnnnnnnxa xb uxxa xbuxxaxbu 220101220110012200110212

36、2()()(2)(1 2)2nnnnnxyh uhuTuuyyh uhuTuuxh uhuxh uh uhuh uThh uhh uxx uhuhyuhxxuhyx1011201,uTuyyyn)1(2)1()2(2例题15：列写系统的状态空间描述。(自学5分钟）选择0120 ,12nhhThTuAbxxduy cxTT21b0, 1 c0d状态空间表达式：nA2102121xxhu解法2当 时，选取状态变量为： 2211111110011100 xyxxa ybuxya ybubub ua ya ya ybub ua y20b 2121111xyxxa ybuya ybu212122xuyx

37、xyTuyx2112212101201xxuxxTxyx uTuyyyn)1(2)1()2(2 1.4 .3 1.4 .3 由系统传递函数建立动态方程由系统传递函数建立动态方程 11101110( )( )( )nnnnnnnb sbsbsbY sG sU ssasa sa应用综合除法有： 11101110( )( )( )nnnnnnnssN sG sbbsasa saD s 式中， 是直接联系输入、输出量的前馈系数前馈系数，当G(s)的分母次数大于分子次数时， ， 是严格有理真分式，其分子各次项的系数分别为： nb0nb)()(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000zzz

38、yuzazazaznnnnn01)1101)11)(（选取状态变量 ：)1(21,nnzxzxzx( )1 ( )( ) ( )N sD sN sD sz）串联分解：如图，取 为中间变量，将分解为相串联的两部分，有U(s)Z(s)Y(s)则状态方程为：则状态方程为： 12231(1)01101121nnnnnnnnxxxxxxxzua za zaza xa xaxu 输出方程为：输出方程为：nnxxxy121101)110nnyzzz（其向量其向量- -矩阵形式矩阵形式 cxybuAxx式中式中: : 0121010000100001nAaaaa1000b110nc12231011210112

39、1nnnnnnnxxxxxxxa xa xaxuyxxx 退出退出 西南大学工程技术学院760121010000100001nAaaaa1000b110nc AAb当 和 具有以上形状时， 阵称为 友矩阵，相应的状态方程则称为可控标准型。0121n Ab时， 和 的形式不变000c 当 时， )()()(sDsNbsGncbA,ubcxyn( )1)1101)110nnnnnnzaza za zuyzzzb u（bn状态变量的选取方式不变 不变 可控标准型状态变量图 122310112101121nnnnnnnxxxxxxxa xa xaxuyxxx 当当 时，若按式时，若按式9 92626选

40、取状态变量选取状态变量 0nbTocAA Toccb Tocbc 式中，式中，T为转置符号为转置符号, ,当当bnbn不等于不等于0 0时，？时，？1210100010001000naaaaA110nb100c注意注意 的形状特征。此处的的形状特征。此处的A A是友矩阵的转置（可见，可控标准是友矩阵的转置（可见，可控标准型和可观测标准型具有如下的关系：型和可观测标准型具有如下的关系：cA, （对偶关系（对偶关系 ）ubcxyn例例1-6 1-6 设二阶系统微分方程为 ，试列写可控标准型、可观测标准型动态方程，并分别确定状态变量与输入，输出量的关系。 解解 系统的传递函数为 21221)()()

41、(nssTssUsYsG于是，可控标准型动态方程的各矩阵为21cccxxx2102cA10cbTcc122yyyTuu由G(s)串联分解并引入中间变量z有 22zzzuyTzz对y求导并考虑上述关系式，则有 TuTzzTzzTy2)21 ( 令 可导出状态变量与输入，输出量的关系；,1zxc,2zxc)21 ()()21 ()21 (22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc可观测标准型动态方程中各矩阵为 21oooxxx2102oATbo110oc状态变量与输入，输出量的关系为 1021122ooxxa ybuyyTuxy该系统的可控标准型与可观测标准型的状态变量图 ： （a）可控

42、标准型实现 （b）可观测标准型实现2 2） （并联分解）只含单实极点时的情况（并联分解）只含单实极点时的情况 当 只含单实极点时，动态方程除了可化为可控标准型或可观测标准型以外，还可化为对角型动态方程，其A阵是一个对角阵。设D(s)可分解为 D(s)= )()(sDsN)()(sDsN)()(21nsss12 ,n 式中，为系统的单实极点，则传递函数可展成部分分式之和1( )( )( )( )niiicY sN sU sD ss1( )( )()( )( )Y(s)=iiiiniiiN sN scssD sD scs为在 的留数且有传递函数可展成部分分式之和传递函数可展成部分分式之和2)留数法

43、留数法1)待定系数法待定系数法退出退出 西南大学工程技术学院85若令状态变量 其反变换结果为 )(1)(sUssXiini, 2 , 1( )( )( )iiix tx tu t11( )( )( )( )( )( )nniiiiiicN sY sU sU sY sc XD ss1( )( )niiiy tc x t退出退出 西南大学工程技术学院86其反变换结果为 1( )( )( )( )( )iiiniiixtxtu ty tc xt展开得 11 12221 122nnnnnxxuxxuxxuyc xc xc x其向量-矩阵形式为 （其状态变量如图所示 ）11122301101nnnxxx

44、xuxx 1212nnxxycccx退出退出 西南大学工程技术学院88 特点： 传函极点 全1 对应极点的留数CBA若令状态变量则 Y(s)= )()(sUscsXiiiniisX1)(进行反变换并展开有 11 11222212nnnnnxxc uxxc uxxc uyxxx其向量-矩阵形式为 1111223200nnnnxxcxxcuxxc131 11nxxyx （a） （b） 对角型动态方程状态变量图 其状态变量图如图(b)所示 ，两者存在对偶关系 3 3） 含重实极点时的情况含重实极点时的情况 当传递函数除含单实极点之外还含有重实极点时，不仅可化为可控标准型或可观测标准型，还可化为约当标

45、准型动态方程，其A阵是一个含约当块的矩阵。设D(s)可分解为 D(s)= 式中 为三重实极点， 为单实极点，则传递函数可展成为下列部分分式之和： )()(sDsN)()()(431nsss1n,4131112321111( )( )( )( )()()niiiccY sN sccU sD sssss其状态变量的选取方法与之含单实极点时相同退出退出 西南大学工程技术学院92 其中 sgsdsdjcrjjj1111lim!111srj, 2 , 1 sgscii limisnri, 1111231121321131111112121313411( )( )()()11( )( )()()1( )(

46、 )()1( )( );4()( )iiniiiXsU sXssXsU sXssXsU ssX sU s insY sc Xc Xc Xc X11121 1112131 12131344411 11221334( )( )( )( )nnnniiixxxxxxxu txxu txxu txy tc xc xc xc x111111212113131444101001101nnnxxxxxxuxxxx 1112134nycccccx11111111212112131311344441010nnnnxxcxxcxxcucxxcxx00011yx其对应的状态变量图如图（a），（b）所示。上面两式也存

47、在对偶关系。约当型动态方程状态变量图约当型动态方程状态变量图 退出退出 西南大学工程技术学院96例：1-7设系统传递函数为：试求其状态空间表达式。解：分母 三重极点用部分分式为： 32328126sssssD 8126152232ssssssg 22213212311scscscsg退出退出 西南大学工程技术学院97 19152lim2lim2311sssgsc2s 1354lim2lim312ssgsdsdc2s2s 2313214lim2lim22!2dcsg sds2s2s2s退出退出 西南大学工程技术学院98状态空间表达式uxxxxxx1002001200123213213212131

48、9xxxy11c13c12c设 的解是t 的向量幂级数1.5线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解xxA（1）齐次状态方程解1) 幂级数法幂级数法xxAkktttbbbx10)(代入01221123( )()23kkkktAtttttktxbbbbbbbb比较等式两边的系数：,!1,21,002201bbbbbbkkAkAA)0(0 xbxxA022!1!121kkkkkAttAktAktAAtIe)0()!121()(22xxkktAktAAtIt定义为矩阵指数函数矩阵指数函数（简称矩阵指数矩阵指数）状态转移矩阵状态转移矩阵（对于线性定常系统）Atet)()0()(xxAt

49、et)0()()0()(xxxtetAt2) 拉普拉斯变换解法拉普拉斯变换解法xxA对齐次方程两边取拉普拉斯变换)()0()(sAssxxx)0()()(xxsAsI)0()()(1xxAsIs)0()()(11xxAsILt)()(11AsILetAt有状态转移矩阵进行拉氏反变换后有：例1-8. 用L 变换求下列矩阵的矩阵指数函数210010001A11100()010012ssIAss21()(1) (2)adj SIAss22001(1)(2)0(1) (2)0(1)(110)()(2)ssssssss21)2)(1(1001100011)(1sssssAsItttttAteeeeeAs

50、ILe221100000)(状态转移矩阵 具有以下性质：（2）状态转移矩阵的运算性质）状态转移矩阵的运算性质2211( )2!AtkkteIAtA tA tk（1）I)0()(t（2）AttAt)()()(00()(ttA 并且有（3）)()()()()(122121tttttt)()()()()(122121tttttt证明（4）)()(1tt)()(1tt)()()()0(ttttI)()(1tt（5）)()()(00ttttxx1111111( )( ) (0)(0)( ) ( )() ( )tttttt xxxxx)()()(1122ttttxx22211211()() (0)()()

51、 ( )() ( )tttttttx t xxx令201,tttt若证明证明)()()()()()()()(002001121122ttttttttttttxxxx（7）)()(kttk)()()(kteeetktAkAtkAtk（6）)()()(011202tttttt1100( )() ()tttt xx见见p457图图9-132200()() ()(1)tttt xx（8）AtBtBtAttBAeeeee )(BAAB 若BAAB 若AtBtBtAttBAeeeee )(（9）若)()(tAtxxxxP引入PePtAt1)(则有)()(tAPPtxxxAPPAtAtAPPt11),()(

52、)(xxxkktAtAPPktAPPAPtPIet)(!1)(21)(12211PePetAttA1)(PePPtAktAAtIPetAtkktA1221)!121()(1)(PPettA证明反之(10) 两种特殊的状态转移矩阵计算两种特殊的状态转移矩阵计算jidiagAjin,21ttneet00)(1A是是 约当矩阵约当矩阵mm001001Attttmtteteeemtteet000)!1()(1例1-9：求如下状态方程的状态转移矩阵和状态方程的解21210010 xxxx解： 1）状态转移矩阵，用幂级数法kktAktAAtIt!121)(22000000100010,00102AA000

53、043nAAA101)(tAtIt)0()0(101)0()()(21xxtxttx2）状态方程的解例1-10：求如下状态方程的解21213210 xxxx1）求状态转移矩阵方法一：略kktAktAAtIt!121)(22276322132101001)(ttt2222273132231)(tttttttt)0()0(273132231)0()()(212222xxtttttttttxx注意此解法111()()23|sadj sIAsIAssIA21113111212,22212(1)(2)1212ssssssssssss ttttttttAteeeeeeeeAsILe2222112222)(

54、)0()0(2222)0()(212222xxeeeeeeeeetttttttttAtxx方法二 1）求状态转移矩阵0112323sAsIAs 2）状态方程的解：222212111( )222( ),ttttAttttteeeeteeeeetA例：已知，求2212221( )()222tttttttteeeetteeee 解： ）02( )(0)tAt ）ttttttttAteeeeeeeeet22222222)(tttttttteeeeeeeet2222442222)(321041422122)0(3210)0(A状态方程 称为非齐次状态方程（3）非齐次状态方程的解）非齐次状态方程的解uxx

55、BA1) 积分法积分法uxxBeAeAtAt)(有()()AtAtAtAtAtdeeAedteAeBxxxxxutAAtdBete0)()0()(uxxtttAAtdBttdBeet00)()()()0()()()0()(uxuxx等式两边积分两边同时乘以e-At初始状态的响应输入作用的响应00000()()0( )()( )() ()()( )tA ttA tttttetettBdttBd xxuxu一般有2) L变换法变换法uxxBA)()()0()(sBsAssuxxx)()0()()(sBsAssuxxx)()0()()(sBsAsIuxx)()0()()(1sBAsIsuxx两边做拉

56、氏变换若初始时刻为t0：)()0()()(11sBAsILtuxx1111()(0)( )()tLsLABsIAsIxux1111()(0)() (0)(0)( ) (0)AtLsIALsIAet xxxx)()0()()(1sBAsIsuxx对上式做拉氏反变换对上式做拉氏反变换退出退出 西南大学工程技术学院11711()00()( )( )()( )tA ttLsIABseBudtBudu()000( )(0)( )( ) (0)()( )( ) (0)( )()tAtA tttteeBdttBdtBtd xxuxuxu112121200( )( )()( )( )()ttLF s F Sf

57、 tfdff td11( )00()( )()( )()tAtLsIABseBu tdBu tdu3210A例例1-12uAbxx10btttttttdeeeedtdut00)(2)()(2)(0210)()()(bttttttttAteeeeeeeeet22222222)(在例10已计算()2()20()2()20111()( )222tttttttttteeeetudeeeeb求输入为单位阶跃函数时状态方程的解.（用公式9-57）tttttttttttteeeeeeeeeeeet2222222121)0(2222)(xx用于多输入多输出系统1.6.1定义及表达式： 令初始条件为零令初始条件

58、为零，输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏 变换之间的传递关系称传递函数矩阵： 设系统的状态方程为：(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x1.6 1.6 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵( )( )( )( )( )( )sX sAX sBU sY sCX sDU s对其进行拉氏变换，有：则：11( )()( )( ) () ( )X ssIABU sY sC sIABD U s初始条件为零系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为: 1( )()G sC sIABD若输入u为p维向量，输出y为q维向量，其展开式见书460页)()()()()()()()()()()(2122

59、221112111sGsGsGsGsGsGsGsGsGDBAsICsGqpqqpp例例1-131-13 系统动态方程为：求系统的传递函数矩阵。2121212121100110012010 xxyyuuxxxx解解 11211110(2)()02(2)102sssss ssIAss ss111111010(2)(2)()0101110022ss sss sC sIABss1( )()G sC sIABD1.6.2开环与闭环传递函数矩阵G(s)H(s)(sY)(sE)(sU)(sZ1）：开环传递矩阵：)()()()(ssGsHsEZ( )( )( ) ( )( )kZ sG sH s G sE s

60、)()()()()()()()()()(ssHssGsssGssGsYUZUEY)()()()()(ssGssHsGIUY)()()()()(1ssGsHsGIsUY1( )( )( )( )( )( )Y ssIG s H sG sU s定义偏差向量到反馈向量之间的传递矩阵为开环传递矩阵2）：闭环传递矩阵：定义输入向量到输出向量之间的传递矩阵为闭环传递矩阵1( )( )( )( )( )eE ssIH s G sU s定义输入向量与偏差向量之间的传递矩阵为偏差传递矩阵)()()()()()()(ssGsHssssEUZUEG(s)H(s)(sY)(sE)(sU)(sZ3）：偏差传递矩阵：1.