同济大学微积分课件

1、预备知识预备知识1. 集合的概念集合的概念在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称;aA否则，记为否则，记为.aA一、集合一、集合如果元素如果元素 在集合在集合 中，记为中，记为aA为一个为一个. 集合中的事物称为该集合的集合中的事物称为该集合的.只有有限个元素的集合称为只有有限个元素的集合称为，否则称为，否则称为.常用数集常用数集:自然数集自然数集:0,1,2, ,Nn整数集整数集:0, 1, 2,Zn 有理数集有理数集:*,pQpZ qZq复数集复数集:2,1Cabi a bR i 2.集合的运算集合的运算集合的集合的:ABx xAxB且

2、集合的集合的:ABx xAxB或集合的集合的:A Bx xAxB但设设 是两个集合，由此定义如下几个集合：是两个集合，由此定义如下几个集合：,A B 集合的运算满足如下运算率：集合的运算满足如下运算率：:,ABBA ABBA:,ABCABCABCABC:,ABCACBC.ABCACBC 3.区间和邻域区间和邻域:,;a bx axb:,;a bx axb设设 是实数，且是实数，且, a b,ababxabx:,;a bx axb( , ;a bx axbabxabx ,)ax ax :(,).xx 注意：无穷端不能写成闭的记号注意：无穷端不能写成闭的记号 ( ,)ax ax xaxax( ,

3、)U ax xa设设 是实数，且是实数，且 则定义则定义点点 的的 邻域邻域为集合：为集合：, a0,a：| x axa,aaaaxa( ,)0U axxa如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点点 的空的空a：,aaa a|,x axaxaaaxa1. 映射的概念映射的概念( ).yT x二、映射二、映射设设 是两个非空集合，如果存在一个是两个非空集合，如果存在一个法则法则 使得使得,X Y,T:.T XY而元素而元素 称为称为 的象，记作的象，记作 ， 即即yx TxX, xYy对对 中的每个元素中的每个元素 按此法则在按此法则在 中有唯一的元素中有唯

4、一的元素TXY与之对应，那么称与之对应，那么称 为为从从 到到 的映射的映射，记作，记作XYT( )T X,2 ,XYTxxtan2XYTxx例例 设设1,2,3 ,2,4,6,8 ,XY则则 是是 到到 的映射的映射.TXY例例 设设1,1 ,XY 则则 是是 到到 的映射的映射.TXY2. 几类重要映射几类重要映射：既单又满的映射称为一一对应：既单又满的映射称为一一对应.例例 在前面的两例中，例在前面的两例中，例2是一一对应，而例是一一对应，而例1则不是则不是. 设设 是是 到到 的映射的映射.TXY：若：若 即即 使得使得,YT X,yYxX .yT x：若：若 则必有则必有12,xx1

5、2.T xT x3. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 则则：12YXTyy逆映射：设逆映射：设 是是 到到 的一一映射，则对的一一映射，则对 中任一元素中任一元素TXYY, y例例 设设2XYTxx1,2,3 ,2,4,6 ,XYX, x ,T xy可以确定可以确定 中的唯一元素中的唯一元素 满足满足 称此对应称此对应T1.T关系为映射关系为映射 的的逆映射逆映射，记为，记为21, .( )XZTxT Tx复合映射复合映射：设有映射：设有映射 其中其中1122:,:,TXY TYZ称此映射为由称此映射为由 构成的复合映射，记为构成的复合映射，记为12,T T21.TTX1Y2YZ12,YYX

6、Z,T由此可以确定一个从由此可以确定一个从 到到 的映射的映射1, sin,XYTxx22, , YZTyy2, (sin) . XZTxx例：设例：设,1,1 ,0,1 ,XR YZ 则复合映射则复合映射 为为21TT 1.概念概念( , )( ),x y yf x xD三、一元函数三、一元函数 从数集从数集 到实数集到实数集 的任一映射的任一映射 称为定义在称为定义在 上的上的DRfD称为称为 的图象的图象. 而数集而数集 则称为函数则称为函数 yf xD yf x .yf xRR，通常记为，通常记为 而而 中的集合中的集合的的.注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的注：在以后的

7、讨论中，更多的是函数的定义域以默认的例例 则定义域为则定义域为211,1yxx例例 则定义域为则定义域为1,yx,1 .1,11,.方式给出，即定义域为使方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数表达式有效的一切实数.以下例中函数的定义域均为实数集。以下例中函数的定义域均为实数集。1 0,sgn0 0,1 0.xyxxx例例3 符号函数符号函数sgn ,yxxysgnyxO例例 取整函数取整函数 .yx 1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyO2. 函数的几种特性函数的几种特性有界有界yxOMM无界无界MMyxO 设函数设函数 的定义域为的定义域为

8、数集数集,XD yf x,Df如果如果 都有都有 就称就称 0,M,xX ,f xM在在 上有界上有界, 否则称为无界函数否则称为无界函数.XxyOsinyxxyOtanyx1122例例 在在 上是有界函数，上是有界函数，sinyx, 在在 上无界上无界.tanyx,2 2 域内是无界函数域内是无界函数.例例 试说明函数试说明函数 在在 的任何空心邻的任何空心邻 11sinf xxx0 x 解解 设设 ，取，取 ， 0M 012/2xn其中其中1112222nMM 则则022f xnM所以所以 无界无界. f xOxy11sinyxx单调性单调性 设函数设函数 的定义域为的定义域为 区间区间,

9、D f x,ID如果对任意的如果对任意的 当当 时，总有时，总有12,x xI12xx 12,f xf x则称函数则称函数 为区间为区间 上的单调增加函数；上的单调增加函数；I f x如果如果 时，总有时，总有12xx 12,f xf x则称函数则称函数 为区间为区间 上的单调减少函数上的单调减少函数.I f x图形特征：图形特征： yfx1xxyO2x 1f x2f x yfx1xxyO2x 1f x2f x单调增加函数图形单调增加函数图形单调减少函数图形单调减少函数图形奇偶性奇偶性 设函数设函数 的定义域为的定义域为 关于原点对称，关于原点对称，D f x如果对任意的如果对任意的 都有都有

10、,xD fxf x就称就称 为偶函数；为偶函数； f x如果对任意的如果对任意的 都有都有,xD fxf x 就称就称 为奇函数为奇函数. f x图形特征：图形特征：偶函数偶函数奇函数奇函数 yfxxxyOx yfxxxyOx,xD,xTD使得对任意的使得对任意的 当当 总有总有通常我们说的周期指的是最小正周期通常我们说的周期指的是最小正周期.周期函数周期函数 设函数设函数 的定义域为的定义域为 如果存在数如果存在数,D f x0,T f x Tf x就称就称 为周期函数，为周期函数， 称为称为 的周期的周期. T f x f x例如，例如， 的最小正周期是的最小正周期是 sinf xx2 .

11、xyOsinyx2344322222例：狄利克雷函数例：狄利克雷函数则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.1 ,( )0 ,xQD xxQ3. 反函数和复合函数反函数和复合函数反函数反函数 设函数设函数 是一一对应，是一一对应， 则其逆映则其逆映 :f Df D注：习惯上用注：习惯上用 表示为自变量，所以函数表示为自变量，所以函数 的的 x yf xf 1:ff DD射射 为为 的反函数的反函数. 1xfy 1.yfx的反函数的反函数 仍表示为仍表示为注：函数注：函数 与它的反函数与它的反函数 的图形的图形 yf x 1yfx关于关于 对称对

12、称.yxxyOyx yf x 1yfx , x f x ,f xx复合函数复合函数 复合函数本质上是复合映射在函数上的推广复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义函数的定义.4. 基本初等函数基本初等函数yxO幂函数幂函数 （ 是常数）是常数）yx11yxyx2yx3yx1yx (1)xy aa (01)xyaa1指数函数指数函数0,1 .xyaaayxO对数函数对数函数log0,1 .ayx aayxOlog (1)ayx alog (01)ayxa1三角函数三角函数正弦函数正弦函数 s

13、in .yxxyOsinyx2344322222cosyx余弦函数余弦函数 /2xyOcosyx3 /23 /2/22正切函数正切函数tan .yxxyO2232523252cotyx余切函数余切函数xyO2233tanyxcotyx正割函数正割函数1sec.cosyxx1csc.sinyxx余割函数余割函数tanyxcotyxxyO2232523252xyO2233反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数arcsin .yxarcsinyx1xyO122反余弦函数反余弦函数arccos .yx1xyO1arccosyx反正切函数反正切函数arctan .yxarctanyxxyO22arccotyxxyO反余切函数反余切函数arccot .yx5.初等函数初等函数 由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和由常数函数及