自考概率论随机变量及分布实用教案

1、会计学1自考概率论随机变量自考概率论随机变量(su j bin lin)及及分布分布第一页，共45页。2022-7-22 2.1 离散(lsn)型随机变量 2.2 随机变量(su j bin lin)的分布函数 2.3连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度 2.4 随机变量函数的分布第1页/共45页第二页，共45页。2022-7-23 例1 掷一枚骰子，样本空间=1，2，6.对于每次试验结果，都有一个(y )数值与之对应. 我们可引进一个(y )变量 X “出现的点数”,X的可能取值为1，2，3，4，5，6. 2.1 离散(lsn)型随机变量一、随机变量(su j bin li

2、n)的概念若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件. 例2 掷一枚硬币，样本空间 =正，反.引进变量X，并规定正面出现时，X=1；反面出现时，X=0. X表示“正面出现的次数”类似的例子如：射击、抽检产品 如：( X= i )代表相应的基本事件（样本点），事件A “点数超过3”，可用(X3)表示.事件可用变量X表示. X= X() X= X() 第2页/共45页第三页，共45页。2022-7-24 例3 电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,( X =i)代表相应的基

3、本(jbn)事件（样本点）. 变量X的取值取决于试验(shyn)的结果，具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的 X 称为随机变量. 引进一个变量X，对于E的每一可能(knng)结果 ，都有一个确定的实数X()与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量X的取值也是随机的，这就是随机变量. 例4 某地区某段时间内的气温.记X表示任一时刻的气温值，则X的取值为a，b.（ X=i）即为一基本事件（样本点）.第3页/共45页第四页，共45页。2022-7-251.随机变量(su j bin lin)的定义定义2-1 设试验E的样本空间为，对于任一样本点 ,都有唯一确定的实数(shsh)

4、 X()与之对应，即 X=X()是定义上的一个实值函数，且对于任意实数(shsh) x , ( X( ) x )是一随机事件，有确定的概率，则称 X=X()为随机变量.注: (1) 随机变量(su j bin lin)通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母 , 等表示. 而表示随机变量(su j bin lin)所取的值时，采用小写字母 x , y , z 等 . (2)随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的本质差异）.由此可知,对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率.第4页/共45页第五页，共45页。2022-7-26( )(0,1,2, )kkn

5、knP XkC p qkn 例2 在 n 重贝努里试验中， X “事件A出现的次数(csh)” ，则X=0，1，n. 则“在 n 重贝努里试验中，事件A恰好出现k次”，记作（ X = k），且 例1 单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示(biosh)，则“呼叫不少于一次”（X1），“没收到呼叫”（X = 0）.( q=1-p ) 按照随机变量的取值情况可把其分为两类：离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有(zhyu)有限个或 无限可列个.非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列举. 其中，只研究连续型随机变量（随机变量X取值于某个区间或整个数轴的所有实数）.2. 随机变量的分类第

6、5页/共45页第六页，共45页。2022-7-27二、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合(zngh)起来就是概率分布. 1.概率分布的定义(dngy) 定义：若离散(lsn)型随机变量X所有可能的取值为x1,x2, 对应的概率为 p1 , p2 , 称P(X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1)为随机变量 X的概率分布或概率函数或 分布律.注（1）为了直观，概率分布表示为：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2

7、), , (X=xn) ,构成完备事件组.第6页/共45页第七页，共45页。2022-7-28 2.概率分布的性质(xngzh)(1) pk0， k = 1,2, ； 11)2(kkp例2-2 掷一枚骰子(tu z)，求出现的点数的概率分布及P(X3) . 解：设X表示(biosh)出现的点数，则X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3.会求概率分布及

8、相关概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (非负性)(归一性)P(1X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/3P(1X3)=P(X=2)=1/6P30例2-1第7页/共45页第八页，共45页。2022-7-29 例2-3(P30)袋中有5个同样(tngyng)大小的球，编号为1, 2, 3, 4, 5.从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号， 求X的概率分布，并求P(X3.5), P(3X4.5).解：X=3, 4, 5. P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)=3511,10C概率分布为：X 3 4

9、 5P(X3.5)=P(X=3)=0.1;23353,10CC24356.10CCP 0.1 0.3 0.6P(3X 0 为常数，则称 X 服从参数为 的普哇松分布(fnb)，简记为X P( ).随机变量(su j bin lin) X的概率分布为 普哇松分布常用于稠密性的问题中.如：炸弹爆炸时的碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公共汽车站的乘客数；某电话(dinhu)交换台单位时间内收到的呼唤次数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂草的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等，都服从或近似服从泊松分布. (), 0, 1, 2,.,!kP Xkekk 普哇

10、松分布的优点：有关计算可查表. 3. Poisson分布第12页/共45页第十三页，共45页。2022-7-214例 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数(csh)X服从参数=3的普哇松分布，写出X的概率函数，并求一分钟内呼唤5次的概率.解：X的概率函数为35! 53)5(eXP33 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk1008190.例2-10 (P34)设X 服从(fcng)泊松分布，已知P(X=1)=P(X=2),求 P(X=4).解：(), 0, 1, 2,.!kXP Xkekk2(1), (2).1!2!P XeP Xe2,1!2!ee2,0(舍去)422(4)4!P Xe22

11、3e第13页/共45页第十四页，共45页。2022-7-215（2）二项分布的泊松逼近(bjn)Poisson定理 理论(lln)上可证明泊松分布P()是二项分布B(n, p)的极限. 设X B(n, p)，当 n 较大，p 较小， 而 = n p大小适中，则X近似地服从参数为 = n p 的泊松分布. 解： X “该单位(dnwi)患有这种疾病的人数”，则X B(5000,0.001) .P(X2)= 500014999500010.9990.001 0.999C X可以近似地服从参数为 = n p=5 的泊松分布 P(X 2） 15051!kkek 例8 已知某种疾病的发病率为1/1000

12、，某单位共有5000人，问该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大？所求的概率为：=1-0.006738-0.03369=0.959572第14页/共45页第十五页，共45页。2022-7-216 例2-5 (P31)对某一目标不断进行射击，直到命中目标为止，如果每次射击命中率为p，求射击次数(csh)的分布.解：X表示(biosh)“命中目标时的射击次数”，则X=1，2，(X=k)表示射击(shj)到第k次才命中目标，即前k-1次不中，第k次击中.1()(1),1,2,.kP Xkppk则称 X 服从参数为 p 的几何分布.第15页/共45页第十六页，共45页。2022-7-217一、分布(

13、fnb)函数的概念 2.2 随机变量(su j bin lin)的分布函数1.定义 设X为一个随机变量，对任意(rny)实数 x，函数 F(x) = P(X x) 称为随机变量 X的分布函数. 注 (1)F(x)表示随机变量X的取值落入区间(-，x的概率.(2)F(x) 的定义域为D(F)=(-,+), 值域为Z(F)=0, 1.X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.4F(1)=P(X1)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6F(1.5)=P(X1.5)=0.6F(2)=P(X2)=1第16页/共45页第十七页，共45页。2022-7-2182.分布(fnb)函数F

14、(x)的性质(3) F(x)是x的不减(b jin)函数,即对x1 x2,有F(x1)F(x2)；(2) ()lim ( )lim () 0 xxFF xP Xx ()lim ( )lim () 1xxFF xP Xx (4) F(x)是右连续函数，且至多(zhdu)有可列个间断点.即(1) x ，都有 0F(x)1;),(lim( )( )xaF xF a重要公式对于任意实数x1x2，有P(x1 X x2)= F(x2)-F(x1)第17页/共45页第十八页，共45页。2022-7-219例2-11 (P36)随机变量(su j bin lin)X的概率分布为：解：(1)由概率分布知：求:

15、(1)常数c, (2)分布(fnb)函数F(x), (3)P(-0.2X1.5); P(X0). 0.2+0.1+0.3+c=1得 c=0.4(2)0P(X=-1)=0.20.6F(x)=P(Xx)= 1,x01x12,x 01,x 2,x 1(3)P(-0.2X1.5)=P(X=0)+P(X=1)=0.4; X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 cF(x)=P(Xx)= F(x)=P(Xx)= P(X=-1)+P(X=0)=0.3F(x)=P(Xx)= F(x)=P(Xx)= 0,10.2, 10( )0.3,010.6,121,2xxF xxxx P(X0) = P(X=0)+P

16、(X=1)+P(X=2)=0.8第18页/共45页第十九页，共45页。2022-7-220X 0 1P 0.1 0.9练习(linx)求F(x).00( )0.10111xF xxx第19页/共45页第二十页，共45页。2022-7-2211.连续型随机变量取值于某一区间(q jin)内的所有实数，不能一一列举；2.连续型随机变量取任一确定值的概率等于0.一、连续型随机变量(su j bin lin)的概率密度函数 例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件的使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差. 此类随机变量(su j bin lin)的分布如何描述？ 显然，连续型随机变

17、量不能像离散型随机变量那样用概率分布来描写其分布，原因有二：2.3 连续型随机变量及其概率密度第20页/共45页第二十一页，共45页。2022-7-222tyy = f (t)F(x)Ox( )( )xF xf t dt则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度(md)函数， 简称为概率密度(md)或密度(md)函数，记作 X f (x). 定义 若随机变量X 所有可能的 取值是某一区间上的所有实数，且存在 非负可积的函数f (x)， x （-，+） 使得对任意实数x， X的分布函数F( x )为 注 （1）可以(ky)证明，F( x )在 x (-，+)内是连续函数.（2）若 f

18、(x) 在点 x 处连续(linx)，则 F ( x )在x 点可导，且F (x) = f (x).1.定义第21页/共45页第二十二页，共45页。2022-7-223上式说明，密度函数f (x)在点x 的函数值反映了随机变量(su j bin lin)X在x点附近取值的概率大小与长度之比的极限，即x点概率分布的密集程度，不是概率。（3） 由（2）得：xxxXxPxxFxxFxFxfxx)(lim)()(lim)()(00（4） 的几何意义：xdttfxXPxF)()()(tyy = f (t)F(x)Ox第22页/共45页第二十三页，共45页。2022-7-2242. 概率密度函数的性质(x

19、ngzh)(1) f (x) 0， x (-，+)(2) 1)(dxxfxy = f (x)F(+)Oy利用(lyng)性质(2)可以确定密度函数中的待定参数. 连续型随机变量的密度函数与离散(lsn)型随机变量的概率函数相对应.(非负性)(归一性)重要公式： ()()()()( )baP a X bP a X bP a X bP a X bf x dxxOaf(x)b ()( )IP XIf x dx连续型R.V.,则P(X=a)=0.第23页/共45页第二十四页，共45页。2022-7-2253.连续型随机变量(su j bin lin)的分布函数两方面(fngmin)题型： (1)由F(

20、x)求f(x)；(2)由f(x)求F(x).( )( )f xF x( )( )xF xf t dt例2-16(P41)设连续型R.v.X的分布(fnb)函数为：20,0( ),01,1,1xF xxxx求: (1)密度函数；(2)P(0.3X0.7).( )( )f xF x2 ,01.0,xxelse(2)P(0.3X0.7)=0.70.3( )f x dx0.70.32xdx2 0.70.3|x=0.4难点(3)P(-1X 0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布. 指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务(fw)系统中的服务(

21、fw)时间等都常被假定服从指数分布.其分布函数为 ( )( )xF xf t dt 2. 指数分布0( )00 xexf xx记作XE().1000 xexx 第27页/共45页第二十八页，共45页。2022-7-229习题2.3 7. 设修理某机器所用的时间X服从参数(cnsh) =0.5(小时)指数分布，求机器出现故障时在1小时内可以修好的概率.X的密度(md)函数解：1(1)( )P Xf x dx0.50.50( ),00 xexf xx10.500.5xedx0.510.50|1xee 第28页/共45页第二十九页，共45页。2022-7-230(1)定义(dngy) 若X 的概率密

22、度为其中 为常数(chngsh)， 0 为常数(chngsh),则称X服从参数为 , 的正态分布,记为 X N( , 2 ).注 10其分布(fnb)函数为2 2() 2 1( ) , 2txF xedtxR22( ) 2 1( )2xf xe 3. 正态分布(Gauss分布)第29页/共45页第三十页，共45页。2022-7-2312Ox (x)1 正态分布 N ( , 2 )的密度函数(hnsh)图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线.(1) (x) 图形关于(guny)直线 x = 对称. (4) 参数 决定曲线 (x)的位置(wi zhi)，参数 决定曲线 (x)的形状.固定 而改变

23、 值，则曲线沿着x 轴左右平移但形状不变；固定 而改变 值，则曲线形状改变而位置(wi zhi)不 变. 值越大时曲线越扁平， 值越小曲线越尖窄.(3) 在 x = 处， (x)取得最大值： 2121Ox (x)Ox (x)其特点如下：30正态分布的密度函数22 2 21)x(e) x(的特性(2) (x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线.第30页/共45页第三十一页，共45页。2022-7-23221Ox y标准正态分布密度函数参数(cnsh) = 0, =1的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：（2）标准(biozhn)正态分布2 21( ) , 2xxexR记为X N(0, 1).

24、(x)的性质(xngzh) (1) (x) 是偶函数，即有 (-x) = (x). 在x=0处 (x) 取最大值 21 (2) (x) 在（-，0）内单增，在（0，+）内递减. (4) (x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为水平渐近线.第31页/共45页第三十二页，共45页。2022-7-233重要(zhngyo)公式：(3) P ( |X| x) = 2(x)- 1 (2)(- x) = 1- (x) ; (0) = 0.5其分布(fnb)函数为：2 200 1( ) ( ) 2txxxt dtedt(x)的几何意义(yy)：曲线 (x)与x轴之间在直线t=x左边图形的面积Ox (x)(

25、x)的几何意义x y若 X N(0,1)，密度函数为 (4) P (aXb) = (b) - (a)2 21( ) 2xxe设XN(0,1)，则(1) (-x)= (x)第32页/共45页第三十三页，共45页。2022-7-234 有关标准(biozhn)正态分布的概率计算例2-21 (P47)已知X N(0,1)，求：(1)P(X2.35)；(2) P(X-3.03)； (3)P( |X| 1.54)；(4) P( |X| 1.84).解：(1) P(X2.35) = (2.35)=0.9906;(2) P(X-3.03) = (-3.03)=1- (3.03)=1-0.9995=0.000

26、5(3)P( |X| 1.54)=2(1.54)-1=20.9382-1=0.8764 (4) P( |X| 1.84)=1-P(|X| 1.84)=1-2(1.84)-1=0.0658.第33页/共45页第三十四页，共45页。2022-7-235(3) 一般(ybn)正态分布与标准正态分布的关系 设X N( , 2 ), 分布(fnb)函数为F(x), 则( )()().xF xP Xx ()( )( )()().baP aXbF bF a 例2-22 (P47)已知X N(1.5, 4)，求：(1)P(X3.5 )；(2) P(1.5X3.5)；(3)P( |X| 3).解：(1) P(X

27、3.5)=F(3.5)3.5 1.5()2 (1)0.8413 (2) P(1.5X3.5)=F(3.5)-F(1.5)3.5 1.51.5 1.5()()22 (1)(0) =0.3413(3)P( |X| 3)=F(3)-F(-3)3 1.53 1.5()()22 (0.75)( 2.25) 第34页/共45页第三十五页，共45页。2022-7-236练习(linx)：设XN(1, 4), 求：P(-1X2);P(|X|1);P(0X3).P(-1X2)=F(2)-F(-1)2 11 1()()22 (0.5)( 1) (0.5)1(1) P(|X|1)=P(-1X1)=F(1)-F(-1

28、)1 11 1()()22 (0)( 1) (0)1(1) P(0X3)=F(3)-F(0)3 10 1()()22 (1)( 0.5) (1)1(0.5) P(X1)=F(1)1 1()2 (0) =0.5第35页/共45页第三十六页，共45页。2022-7-237定义 设X是随机(su j)变量, y=g(x)是连续函数.Y = g(X)也是随机(su j)变量,称Y = g(X)为随机(su j)变量X的函数. 有些随机变量的分布往往难以直接得到，但与它们有关的另一些随机变量的分布却容易得到.这就要研究随机变量之间的关系，通过(tnggu)它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随

29、机变量的分布. 如何(rh)根据X 的分布求出 Y=g(X)的分布？2.4 一维随机变量函数的分布什么是随机变量的函数？第36页/共45页第三十七页，共45页。2022-7-238一、离散(lsn)型随机变量函数的分布 设随机变量(su j bin lin)X 的概率函数为P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),1. 若对于X 的所有(suyu)可能取值 x k，Y的取值 y k=g(x k) (k=1, 2, )全不相同，则Y=g(X)的概率函数为 P(Y =y k)=P(X =x k)=p k (k=1, 2, )引例 测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X 的分布为X

30、P 7 8 9 10 0.1 0.3 0.4 0.2表1 求：周长Y和面积Z 的分布.解： 显然， Y=4X ， Z= X 2 (Y=28) = (X=7) P(Y=28)=P(X=7)=0.1 依此计算可得 Y的概率函数如表 2 所示YP28 32 36 40 0.1 0.3 0.4 0.2表2同理Z 的概率函数，如表 3 所示.ZP49 64 81 100 0.1 0.3 0.4 0.2表3Y=g(X)求Y的概率分布.第37页/共45页第三十八页，共45页。2022-7-239 例2-24 (P50)已知 X 的分布(fnb)律为XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4 求： X

31、 2 的概率函数.解： 令 Y = X 2，则 Y 所有(suyu)可能的取值为 0, 1, 4. 事件(shjin) (Y=0) 与事件(shjin) (X=0) 相等，事件(shjin) (Y=4)与事件(shjin) (X=2) 相等所以 P(Y=0)=P(X=0)=0.1， P(Y=4)=P(X=2)=0.4而(Y=1) = (X= -1) +(X=1) ，(X=-1)与(X=1)互不相容，所以 P(Y=1)=P(X= -1)+P(X=1)=0.5Y 的概率分布为：Y 0 1 4 0.1 0.5 0.4P 2.若X 的所有可能取值 x k中至少有两个值 x i x j ，其对应 Y 的

32、取值 y i = g(x i ) = y j = g(x j )，此时应将这些相等的函数值 作为Y的一个取值，Y取该值的概率是X取相应值的概率之和.第38页/共45页第三十九页，共45页。2022-7-240 第一步，求出Y 的分布函数 FY( y). 或 建立(jinl)Y 的分布函数 FY ( y) 与X 的分布函数FX( x) 之间的关系. 若连续型随机变量X的密度函数(hnsh)为fX(x),y=g(x)及一阶导 数都连续.Y=g(X)是连续型随机变量,求 Y的密度函数(hnsh) fY ( y).第二步，对FY ( y)关于(guny)y求导数得fY ( y) .二、连续型随机变量函数的分布( )()YFyP Yy( ()P g Xy()yP XI( )yXIfx dx( )( )YYfyFy 第39页/共45页第四十页，共45页。2022-7-241 例1 已知X服从(fcng)0，4上的均匀分布，求Y=3X+1的密度函数.( )()YFyP Yy(31)P Xy 1()3yP X13( )yXfx dx10,3