第9章_梁的应力

1、1第九章第九章 梁的应力梁的应力学习要求：学习要求： 了解主应力的概念及强度理论；了解主应力的概念及强度理论； 掌握梁正应力及剪应力的计算及其强度条件；掌握梁正应力及剪应力的计算及其强度条件； 理解主应力迹线的概念。理解主应力迹线的概念。 29.1 9.1 梁内正应力、强度条件梁内正应力、强度条件9.2 9.2 梁内剪应力、强度条件梁内剪应力、强度条件9.3 9.3 梁的合理截面和变截面梁梁的合理截面和变截面梁9.4 9.4 梁的主应力、主应力迹线梁的主应力、主应力迹线9.5 9.5 强度理论强度理论9.6 9.6 弯曲中心弯曲中心主要内容：主要内容：第九章第九章 梁的应力梁的应力3平面弯曲平

2、面弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲内力只有弯矩内力只有弯矩内力有弯矩和剪力内力有弯矩和剪力B20kN20kNA1m1mD20kN20kN1mCABDC20202020Q图图(kN)(kN)ABDC2020M图图(kN(kNm)m)CDCD段段CACA、DBDB段段9.1 9.1 梁内正应力、强度条件梁内正应力、强度条件4假定：假定：a.平面假设平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，：变形前横截面是平面，变形后仍是平面， 只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b.中性层假设：中性层假设： 梁内存在一个纵向层，梁内存在一个纵向层，在变形时，该

3、层的纵向在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短，纤维即不伸长也不缩短，称为称为中性轴中性轴。 9.1.1 9.1.1 纯弯曲梁和横截面上的正应力纯弯曲梁和横截面上的正应力5zydAM力矩平衡力矩平衡yIMz M：横截面上的弯矩：横截面上的弯矩y：所求正应力点处到中性轴的距离：所求正应力点处到中性轴的距离Iz：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩z6 等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，且是距中性层最远的地方。且是距中性层最远的地方。 有拉应力和压应力有拉应力和压应力zzWMyIMmaxmaxmaxmax宽宽b、高、高h的矩形的矩形261b

4、hWz直径为直径为D的圆截面的圆截面323DWz轧制型钢（工字钢、槽钢等）的轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得从型钢表中查得7 1 1强度校核强度校核9.1.2 9.1.2 正应力强度条件正应力强度条件 maxmaxzMW maxmaxzMW 2 2截面设计截面设计 maxMW 3. 3. 计算容许荷载计算容许荷载 maxzMW8例例1：图示矩形梁，材料的：图示矩形梁，材料的=170MPa，试对该梁作强，试对该梁作强度校核。度校核。2kN2kNA2mB1m5kN5kNC2020z20单位：单位：mm9解：解：2kN2kNA2mB1m5kN5kNC(1) (1) 绘内力图绘内力图

5、AB和和BC段，斜直线段，斜直线ABCM图图(kN(kNm)m)MB=0 kNm24弯矩图弯矩图:MC=21=2 kNmMA=2352=-4 kNm010mkNM 4max(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量33210335402061mm.Wz2020z20261bhWz(3)(3)强度校核强度校核MPaWMz7501033. 510436maxmax MPa170不安全不安全11弯矩弯矩 产生产生 正应力正应力剪力剪力 产生产生 剪应力剪应力横力弯曲梁的横截面上横力弯曲梁的横截面上9.2.1 9.2.1 剪应力剪应力9.2 9.2 梁内剪应力、强度条件梁内剪应力、强度条件研究对

6、象研究对象(1) (1) 矩形梁截面矩形梁截面(2) (2) 工字形梁截面工字形梁截面(3) (3) 圆形梁截面圆形梁截面12(1) (1) 矩形梁截面的剪应力矩形梁截面的剪应力(1) (1) 截面上各点剪应力截面上各点剪应力 方向与方向与Q方向一致方向一致假定：假定：(2) (2) 剪应力沿截面宽度剪应力沿截面宽度 方向均匀分布。方向均匀分布。13zyaaybA*h/2h/2bIQSyzz*)(剪应力计算式剪应力计算式Q ：横截面上剪力：横截面上剪力 b：计算点处横截面宽度：计算点处横截面宽度Iz:整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩S* *z：面积矩：面积矩14zyaayb

7、A*h/2 在切割线以外的一块被切割在切割线以外的一块被切割面积面积A* *对中性轴的面积矩，不必对中性轴的面积矩，不必考虑带负号考虑带负号h/2)4(2)2(21)2(22*yhbyhbyhyASczS* *z：面积矩：面积矩15zyaaybA*h/2h/2bIQSyzz*)(剪应力计算式剪应力计算式312zbhI )4(222*yhbSz22346)(yhbhQy1622346)(yhbhQy(1)(1)沿高度方向抛物线分布沿高度方向抛物线分布 (2)(2)梁上下表面处梁上下表面处剪剪应力为零应力为零结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，剪剪应力值最大应力值最大max32QA17(

8、2) (2) 工字型截面梁的剪应力工字型截面梁的剪应力主要考虑工字型截面梁主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。腹板上的剪应力计算。 *zzQSI d 剪应力计算式剪应力计算式d : :腹板宽度腹板宽度 A* 18(1)(1)沿腹板高度方向抛物线分布沿腹板高度方向抛物线分布 (2)(2)腹板上下边处腹板上下边处剪剪应力最小应力最小结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，剪应力剪应力值最大值最大1maxdhQ19(3) (3) 圆形截面梁的剪应力圆形截面梁的剪应力实心圆截面：实心圆截面：最大剪应力在中性轴上最大剪应力在中性轴上max43QA 空心圆环：空心圆环：zmax2QA maxma

9、x20例例1 1 图示矩形梁，求图示矩形梁，求C C左左截面上截面上a、b、c三点处的剪应力三点处的剪应力20kN20kNA2mB1m35kN35kNC150150z150单位：单位：mmmmacb80分析：分析：(1)(1)确定指定截面上的剪力确定指定截面上的剪力bIQSzz*(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量2120kN20kNA2mB1m35kN35kNC(1)(1)确定指定截面上的剪力绘剪力图法确定指定截面上的剪力绘剪力图法ABAC和和BC段，水平线段，水平线Q图图(kN)(kN)QB=- -20kN20kN20kNA35kN35kNQAQA=35- -20=15kN20

10、15C22(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量150150z150单位：单位：mmmmacb803841150 3003 38 1012zI.mm*zcSA y123bhIz3*00mmASiza36*1021. 12801508015080150mmSzbC C点直接用剪应力计算公式点直接用剪应力计算公式23(3) (3) 计算剪应力计算剪应力QC左左=15kNbIQSzz*4810383mm.Iz0a150150z150acb80MPaAQc5 . 030015010155 . 15 . 13MPabIQSzzb36. 01501038. 31021. 11015863*361

11、0211mm.S*zb24例例2 2 图示梁。求梁的最大正应力、最大剪应力图示梁。求梁的最大正应力、最大剪应力(1)(1)采用矩形截面采用矩形截面 bh=200mm=200mm500mm500mm(2)(2)采用圆形截面采用圆形截面 D=400mm=400mm150kN150kNA5mB5mC25分析：分析：(1)绘制梁的内力绘制梁的内力确定确定Mmax和和QmaxbISQzz*maxmax(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量zWMmaxmax26解：解：150kN150kNA5mB5mCVAVBHA(1)(1)求支座反力求支座反力HA=0VB=75kNVA=75kN力的平衡条件力

12、的平衡条件27(2)(2)绘制梁的内力图绘制梁的内力图150kN150kNA5mB5mC7575Q图图(kN)(kN)M图图(kN(kNm)m)7575375375ACBACBQB=-757575MC=150*10/4=375MB=0MA=0QA=750 00 028(3)(3)矩形矩形 bh=200mm=200mm500mm500mmAQ1.5maxzWMmaxmax36221033865002006mm.bhWz45.02MPa1033. 81037566maxmaxzWMMmax=375kNmMPaAQ13. 150020010755 . 15 . 13maxmaxQmax=75kN29

13、(4)(4)圆形截面圆形截面 D=400mm=400mm3A4QmaxzWMmaxmax3633102863240032mm.DWzMPa71. 951028. 61037566maxmaxzWMMmax=375kNmMPa8 . 0/4D3107543A4Q2maxmax3Qmax=75kN309.3.1 9.3.1 合理截面合理截面（1 1）矩形木梁的合理高宽比）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著营造法式营造法式 一书中一书中: 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= 1.5)英英(T.Young)于于1807年著年著自然哲学与机械技术讲义自然哲学与

14、机械技术讲义 一书中一书中: 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhbh9.3 9.3 梁的合理截面和变截面梁梁的合理截面和变截面梁31（2 2）在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面）在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaaa12a1z0.8a2a21.6a22a2z329.3.2 9.3.2 变截面梁变截面梁等强度梁等强度梁)()()(maxxWxMx)(6)(bxMxhPx339.4.1 9.4.1 应力状态的概念应力状态的概念1. 1. 一点的应力状态一点的应力状态: : 过一点不同方向面上应力的集合。过一点不同方向面上应力的

15、集合。123主平面主平面: : 剪应力为零的平面剪应力为零的平面主应力主应力: :主平面上的正应力主平面上的正应力主方向主方向: :主平面的法线方向主平面的法线方向9.4 9.4 梁的主应力、主应力迹线梁的主应力、主应力迹线34三种应力状态三种应力状态 （单向、二向、三向）（单向、二向、三向）123单向应力状态：单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零三个主应力中只有一个不为零单向应力状态也称为简单应力状态单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态二向应力状态（平面应力状态）：二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不为零两个主应力不

16、为零三向应力状态（空间应力状态）：三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不为零三个主应力皆不为零359.4.2 9.4.2 梁的主应力迹梁的主应力迹线线AB实线主拉应力迹线实线主拉应力迹线虚线主压应力迹线虚线主压应力迹线36ABAB弯起钢筋弯起钢筋受拉钢筋受拉钢筋379.5.1 9.5.1 材料的两种破坏形式材料的两种破坏形式 无数实验证明，材料的破坏主要有两种形式：无数实验证明，材料的破坏主要有两种形式：1.1. 脆性破坏脆性破坏: : 材料破坏时无明显的塑性变形，断口粗糙。材料破坏时无明显的塑性变形，断口粗糙。9.5 9.5 二向应力状态下的强度条件一强度理论二向应力状态下的强度条件一

17、强度理论常见的脆性材料常见的脆性材料铸铁、石料、陶瓷铸铁、石料、陶瓷382. 2. 塑性破坏塑性破坏: : 材料破坏时有显著的塑性变形（即屈服现象）材料破坏时有显著的塑性变形（即屈服现象）钢、铜、铝、钢、铜、铝、常见的塑性材料常见的塑性材料39强度理论的概念强度理论的概念 长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出过各种各样的假说，认为材料的某一类型的破坏是由某过各种各样的假说，认为材料的某一类型的破坏是由某种因素引起的，这种假说就称为强度理论。种因素引起的，这种假说就称为强度理论。1. 1. 适用于脆性破坏的强度理论适用于脆性破坏的强度理论第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论） 第二强度理论（最大拉应变理论）第二强度理论（最大拉应变理论） 2. 2. 适用于塑性屈服的强度理论适用于塑性屈服的强度理论第三强度理论（最