车身曲线曲面数学模型基础PPT课件

1、4.1 4.1 参数样条曲线及孔斯曲面参数样条曲线及孔斯曲面4.1.1 4.1.1 三次样条曲线三次样条曲线(cubic spline curve)(cubic spline curve) 数学上的样条函数是对绘图用的样条的模拟。数学上的样条函数是对绘图用的样条的模拟。如将样条简化为弹性细杆如将样条简化为弹性细杆, ,必定满足欧拉方程：必定满足欧拉方程： M(x) = EIK(x) (4.1.1-1)(4.1.1-1) 其中其中M（x）是弯矩，是弯矩，E E是杨氏系数，是杨氏系数，I I是截面惯性矩，是截面惯性矩，K(x)是样条的曲率。从是样条的曲率。从(4.1.1-1)(4.1.1-1)式出

2、发，经数学推导可式出发，经数学推导可得出如下的得出如下的三次样条函数表达式：三次样条函数表达式： （4.1.1-15)4.1.1-15)三次样条函数三次样条函数S(x)的本质是是：一致通过型值点、二阶连续可导一致通过型值点、二阶连续可导的分段三次多项式函数。的分段三次多项式函数。 )(6()(6(661113131iiiiiiiiiiiiiiiixxMhhyxxMhhyhxxMhxxMxS）（）（第1页/共78页M（二阶导数）关系式（二阶导数）关系式在各中间（连接）点一阶导数连续，SS( (xi-0) =) = S S( (xi+0) )，即( 式中: hi = xi - xi-1 )各项乘以

3、 ，得： 令: : 则有则有 Mi-1+2Mi +i Mi+1= di (i=1,2,n-1) (4.1.1-16)当当i取值取值1,2,n-1时，可得到时，可得到n-1个形如个形如(4.1.1-16)的的M关系式。关系式。但未知数二阶导数Mi却有n n+1+1个, ,即M0,M1,Mn 。要唯一定解, ,必须再附加两个方程。通常按实际问题的具体情况, ,在样条两端, ,即P P0 0和P Pn n处给出约束条件，常用的边界条件有： iiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh111111163616iihh)(62111111111iiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhM

4、hhhMMhhhiiiiiiiiiiiiiiiiidhyyhyyhhhhhhhh)(6,1111111第2页/共78页常用的边界条件有： 1给定两端的斜率m0=y0 和 mn=yn 以x=x0 ,i=1代入式(4.1.1-14)，得 (4.1.1-17) 以x = xn ,i=n代入式(4.1.1-14)，得 (4.1.1-18) 式(4.1.1-16)和这两个附加方程合在一起得到有确定解的线性方程组。写成矩阵形式为(4.1.1-19)。 2. 给定两端的二阶导数M0=y?0 ,Mn= yn 这可以写成 ： 2M0+0M1=2y?0 0Mn-1+ 2Mn=2 y?n 此 时 式 ( 4 . 1

5、 . 1 - 1 9 ) 中 的0=0 , d0= 2y0 ，n=0,dn=2 y?n 。 如果y?0 = y?n=0,则称为自然插值三次样条函数。 3. 如果取0=-2, d0 = 0 ， n = -2, dn = 0 则M0=M1, Mn-1= Mn ，这就是抛物端边界条件。)(620101110yhyyhMM)(6211nnnnnnnhyyyhMM第3页/共78页三次样条函数的解法（4.1.1-16) )由端点条件补充两个方程后，得出如下线性方程组： （4.1.1-19) 式中: 可以用“追赶法”(参看附录A)求解(4.1.1-19)式,解出Mi(i=1,2,n)代入(4.1.1-15)

6、,便可由(4.1.1-15)式计算出 样条曲线上的一系列插值点。nnnnnnnnnnnddddddMMMMMM122101221011222211022022022)(6, 1)(6, 11101100nnnnnnnhyyyhdyhyyhd第4页/共78页4.1.2 三次参数样条曲线 在大挠度情况下,三次样条函数的光顺性可能变坏。用三次样条函数表示的插值曲线,依赖于座标系的选择,不具有几何不变性。有时旋转座标轴也不可能满足小挠度条件在这些情况下,最常用的处理办法之一是将曲线参数化,即将曲线上点的座标分别用某种参数表示： (4.1.2-1) 其中t为参数，常取曲线内在的量 弧长作为参数，它与坐标

7、系无关。若将t取作弧长s，则x和y作为分量，dxds和dyds都不会大于1，在(x,s), (y,s)平面上各构造一个三次样条函数： (4.1.2-2) 曲线上的点比较密时，弦长之和近似于弧长，因此可取累加弦长作为三次参数样条曲线的参数。)()(21tfytfx323210323210 xa sa sa sayb sb sb sb=+=+ 第5页/共78页 设给定个点Pi（xi,yi）,i=0,1,n,两相邻点之间的弦长为： (4.1.2-3) 记: 这里ti的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。在每一个节点 pi 都有一个确定的ti与之对应。当然 pi 的每一个坐标xi或yi也与ti一一

8、对应。这就相当于给定了两组点 （xi , ti）和（yi , ti）, i=0n。对于每一组点，都可按4.1.1节所述方法构造一个三次样条函数。这种曲线称为累加弦长三次参数样条曲线。在平面曲线的情况下，构造三次参数样条曲线相当于构造两遍三次样条曲线。这在工程上是经常使用的方法。 niyyxxliiiii, 2 , 12121nilttijji, 2 , 1, 010第6页/共78页4.1.3弗格森曲弗格森曲线线 下面讨论参数样条曲线中的某一段，并用端点及端点的导数来表达出这段曲线的方程。设参数为u，第i段曲线对应的参数范围为 ，在0,1区间上对应于两个端点型值点的函数值及一阶导数值分别为r(0

9、), r(1), r(0), r(1)。则插值函数为 (4.1.3-1) 那么 (4.1.3-2) 将四个已知条件代入以上两式，可解得四个系数a0 , a1 , a2 ,a3 , ,再将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为： (4.1.3-3) 式中 (4.1.3-4)我们称F0( u), F1( u),G0 ( u),G1( u) 为埃尔米特(Hermite)基函数。10 u332210)(uauauaauP10 u232132)(uauaauP)() 1 ()()0()() 1 ()()0()(1010uGruGruFruFruP) 1()() 1()(32)(132)(212023123

10、0uuuGuuuGuuuFuuuF第7页/共78页由式(4.1.3-4)可见，F0与F1专门控制端点的函数值对 曲线形态的影响，G0和G1专门控制端点的一阶导数 对曲线形态的影响。或者说，F0和G0控制左端的影响，F1和G1控制右端的影响。 由式(4.1.3-3)确定的曲线可以进一步整理为矩阵形式： （4.1.3-5）该曲线也叫弗格森曲线。RUMurrrruuuuPc1 , 0) 1 ()0() 1 ()0(11221233010000011)(32第8页/共78页4.1.4 4.1.4 孔斯孔斯(Coons)(Coons)曲曲面面 是S.A.Coons(S.A.Coons(是美国波音公司搞实

11、际设计的专家) )提出的一种适用于CAGDCAGD的构作自由型曲面的方法。孔斯曲面的基本思想是：把所要描述的曲面看作由若干曲面片光滑拼接而成, ,每个曲面片一般用四条边界曲线来定义。且尽量用简缩符号来表达。双三次孔斯曲面的表达形式为： uw=UMCMTWT (4.1.4-1)式中 U=1 u u2 u3 MTWT 分别是M和W的转置。321,1122123301000001wwwWM第9页/共78页 = （) C称为角点信息矩阵。 Coons曲面主要用于曲面设计，但用于曲面拟合也有较好的效果。（如，用零扭矢Coons曲面拟合飞机局部复杂曲面）。 Coons曲面方法的主要缺点： 1

12、）角点扭矢与曲面内部形状的联系，难以掌握； 2）确定扭矢是个难题； 3）双三次Coons曲面的拼接只能达到一阶连续； 4）角点信息多，占内存大，计算量也大。 这些缺点限制了Coons曲面的广泛应用。uwuwuuuwuwuuwwwwC11101110010010001110111001000100扭矢切向量切向量角点uw第10页/共78页4.2 贝齐尔(Bezier)方法 法国雷诺汽车公司的贝齐尔法国雷诺汽车公司的贝齐尔(P(PBezier)Bezier)于于19621962年着手研究一种以逼近为基础的构造曲线与曲面的方年着手研究一种以逼近为基础的构造曲线与曲面的方法法, ,并以这种方法建立了一

13、种自由型曲线与曲面设计系并以这种方法建立了一种自由型曲线与曲面设计系统统UNISURFUNISURF系统。该系统于系统。该系统于19721972年投入使用年投入使用, ,至今至今已有很大的发展。应用该方法的还有英国剑桥大学的已有很大的发展。应用该方法的还有英国剑桥大学的MultiobjectMultiobject实用设计系统等。实用设计系统等。贝齐尔方法有许多优贝齐尔方法有许多优良的性质，已成为良的性质，已成为 自由型曲线曲面造型先进的数学方自由型曲线曲面造型先进的数学方法之一。法之一。 4.2.1贝齐尔曲线贝齐尔曲线 设有设有n+1个控制顶点个控制顶点P0, P1, ,Pn，借助于一组借助于

14、一组B e r n s t e i n 基 函 数基 函 数Bi , n(u) =C(n , i)ui( 1- u)n - i (i=0,1,2,n),可以定义一条曲线可以定义一条曲线: (4.2.1-1) 该曲线称为该曲线称为n次贝齐尔曲线次贝齐尔曲线。 其中其中 ：C(n，i) 是组合数，是组合数， n是贝齐尔曲线次数，是贝齐尔曲线次数，i是顶点标号是顶点标号,u为曲线的参数为曲线的参数。 10,0uuBPuPninii!,inininC第11页/共78页贝齐尔曲线的分量的形式： P(u)=x(u), y(u), z(u) (4.2.1-2) Pi=(xi, yi, zi,) (4.2.1

15、-3) (4.2.1-4) 为了了解控制顶点Pi(i=0,1,2,n)如何通过基函数Bi,n(u)控制曲线的形状，先考察n3的情形。由定义可得： (4.2.1-6)Bi,3(u) (i=0,1,2,3)的图形见图4.2.1-1。niniininiininiiuBzuzuByuyuBxux0,0,0,)()()()()()( 33,323,223, 133,0)1 (3)1 (3)1 (uuBuuuBuuuBuuB第12页/共78页控制顶点Pi通过基函数Bi,n(u)控制曲线的形状 B0,3(u)在u=0附近影响最大，B1,3(u)在u=13附近，B2,3(u)在u=23附 近影响最大，而B3,

16、3(u)在附近影响最大。因为u=0时P(0)= P0,故P0决定曲线的起点。U=1时P(1)= P3，故P3决定曲线的终点。P1则主要通过B1,3(u)影响曲线在u=13附近的形状；P2则主要通过B2,3(u)影响曲线在u=23附近的形状。图4.2.1-2是 P0, P1,P2, P3控制曲线形状的几个例子。第13页/共78页贝齐尔曲线的性质1 1端点性质。根据贝齐尔曲线的定义可以证明：P P(0)=(0)= P P0 0，P P(1)=(1)= P Pn n，表明P0和Pn是贝齐尔曲线的起点和终点。 还可以证明：P P (0)=(0)=nana1 1 , , P P (1)=(1)=nana

17、n n 式中ai =Pi-Pi-1 (i=1,2,n)代表贝齐尔多边形的边向量，说明贝齐尔曲线分别以a1和an为起端和终端的切向，类似地也有： P ”(0)=n(n-1)( a2- a1) P ”(1)=n(n-1)( an- an-1) 2 2对称性。保持贝齐尔曲线诸顶点的位置不变，只把次序完全颠倒过来，新的顶点序列记为P *i=Pn-i (i=0,1,2,n)生成贝齐尔曲线仍然是原曲线，第14页/共78页 3 3凸包性。贝齐尔曲线上各点一定落在特征多边 形在的凸包之中。 4 4几何不变性。由于贝齐尔曲线曲线的形状与特征多边形各顶点P Pi i有关，它不依赖于座标系的选择。5 5交互能力。控

18、制多边形P P0 0, , P P1 1, , ,P Pn n大致地勾画出BezierBezier曲线P P( (u u) )的形状，要改变P P( (u u) )的形状，只需改变P P0 0, , P P1 1, , ,P Pn n 的位置，把控制多边形作为曲线输入和人机交互的手段，既直观又简便。 6 6保凸性。如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，则称这个生成曲线的方法具有保凸性。 BezierBezier曲线具有这种保凸性质。 7.7.变差缩减性。如果BezierBezier曲线P P( (u u) )的控制多边形是一平面图形, ,则该平面内的任意直线与P P( (u u)

19、 )的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点的个数。这一性质被称为变差缩减性。此性质反映了BezierBezier曲线比控制多边形所在的折线更光顺。第15页/共78页8.曲线的可分割性。为求出曲线上任意一点， 贝齐尔曾给出一种有趣的几何分割作图法。 设Pk(k=0,1,2,n)是控制多边形顶点,在每边上取点 ，重复上面的过程 (4.2.1-14)可以证明，如图是入=1/2的分割情况。入可取几个不同的值，得到曲线上几个不同的点，再根据贝齐尔曲线端点性质，便可绘出曲线。（画图讲解）) 1, 2 , 1 , 0()()(11nkPPPPkkkk)2, 2 , 1 , 0()()()()(11112n

20、kPPPPkkkk), 2 , 1;, 2 , 1 , 0()()()()(1111njjnkPPPPjkjkjkjk)()(0nPP第16页/共78页4.2.2三次贝齐尔曲线三次贝齐尔曲线 在产品外形设计中，C2阶连续的三次贝齐尔曲线已相当理想。高次贝齐尔曲线的许多问题还有待于理论上的解决。下面给出实际中常用的三次贝齐尔曲线的表达式。根据贝齐尔曲线的表达式并设n = 3，则得三次贝齐尔曲线的表达式： （4.2.2-1）或写成矩阵形式： （4.2.2-2） 这里的四个基函数分别为: 3322120313131PuPuuPuuPuuP ) 10 (00010033036313311321023u

21、PPPPuuuuP33 , 323 , 223 , 133 , 0)();1 (3)(;)1 (3)(;)1 ()(uuBuuuBuuuBuuB第17页/共78页贝齐尔曲线的计算 1.正算 根据给定的特征多边形顶点Pi，构造贝齐尔曲线表达式（按照（4.2.2-1)式),并计算曲线上的一系列点。（写成分量形式表达式进行计算）。 2.反算 用给定的曲线上的型值指点xi ，yi及对应的参数ui反求出顶点Pi(运用贝齐尔曲线公式进行逆运算) ，再构造贝齐尔曲线表达式并计算曲线上的一系列点。第18页/共78页4.2.3 贝齐尔样条贝齐尔样条曲线曲线 贝齐尔曲线是一整段n次参数曲线，不是样条，但可以把多段

22、贝齐尔曲线光滑连接起来构造样条曲线，为了使合成后的整条曲线达到一定的连续性，连接处要满足特定的条件。 设已经给定两条贝齐尔曲线L(n次)和L*(m次)，它 们 的 特 征 顶 点 分 别 为Pi(i =0 , 1 , 2 , ,n) 和Qi(i =0 , 1 , 2 , ,m) ， 特 征 多 边 形 的 边 向 量 分 别 为ai(i=1,2,n)和bi(i=1,2,m)，见图4.2.3-1。两条曲线L和L*达到C1连续的充耍条件是: (1) P(1)=Q(0) (4.2.3-1) ； (2) Q /(0) =P /(1) 0 (4.2.3-2) 由此可知两条贝齐尔曲线L与L*达到C1连续的

23、充要条件是L的终点同L*的起点重合,且 b1=an 0 (4.2.3-3) 对于两条空间曲线L和L* 如果要达到C2连续要求， 那么除了上述(4.2.3-2)条 件以外,还应使连接点处 有连续变化的曲率K和单位主法矢N 。第19页/共78页 因为在连接处已有相同的单位切矢T，又由于单位副法矢B=TN 。因此在连接处还应满足(3)、(4)两条件： (3)副法矢同向； (4)曲率相等。 从贝齐尔曲线的端点性质可推得，L在终点的副法矢和L*在起点的副法矢分别是: (1)=n2(n-1) ( an-1 an) (4.2.3-4) (0)=m2(m-1) ( b1 b2) (4.2.3-5) 由于要求副

24、法线向量同向，则边向量an-1, an ,b1, b2共面。又知an- 1, an是两个线性无关的量，再考虑到式(4.2.3-3)，则有 (3) b2 = -an-1+ an (4.2.3-6) 如果只考虑条件(3)，和可以是任意常数。若考虑条件(4)，则还有一定的限制。由曲线L和L*在连接点的曲率可推得:， (4) （4.2.3-7）综上所述可得出如下结论:1. L和L* 拼接达到一阶连续,要满足条件（1）和（2），即L的末端点与L* 的首端点重合且斜率相等；2. L和L* 拼接达到二阶连续,要满足条件（1）、（2）、（3）、(4)，即除了满足（1）、（2）外，在连接点处L和L*的副法矢同向

25、且曲率相等。211mnnm第20页/共78页4.2.4 贝齐尔曲面贝齐尔曲面 利用控制顶点和基函数生成曲线的方法很容易推广来生成曲面。现在，我们考虑(n+1)(m+1)个排成网格的控制顶点Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)利用基函数Bi,n(u), Bi,m(w)就可以生成一块曲面: （ 4 . 2 . 4-1)该曲面称为nm次的贝齐尔曲面。 显然,固定w ,对u而言是一簇贝齐尔曲线;固定u,对w而言也是一簇贝齐尔曲线。 可以认为,贝齐尔曲面是由贝齐尔曲线交织而成的曲面。也就是说可以利用贝齐尔曲线的网格来绘制或显示贝齐尔曲面。 wBuBPwuPmjniijnimj,00, 1 ,01

26、,0,wu第21页/共78页注意到 时, ； 时， ；令 ，得，即Pi,0(i=0,1,n)恰好是P(u,0)的控制顶点。 令 ，得 ，即Pi，m(i=0,1,n)恰好是P(u,1)的控制顶点。 同理P0,j(j=0,1,m)恰好是P(0,w)的控制顶点，Pn,j(j=0,1,m)恰好是P(1,w)的控制顶点。而其余的Pi,j并不是P(u,w0)、P(u0,w)的控制顶点。此外，只有四个顶点P0,0 ,P0,m ,Pn,0 ,Pn,m ,与贝齐尔曲面的4个角点重合,并且在那里相切。mj 01,mjB 00,mjB0w uBPuPninii,00,0 ,0j1w uBPuPninimi,0,1

27、,第22页/共78页一个复杂的曲面往往不能用单一的贝齐尔曲面来实现。于是要用几块贝齐尔曲面拼接起来,这时就要注意一定的连续性。对于3 3次贝齐尔曲面的情形，要4 4个控制点阵。根据定义用矩阵表示为 (4.2.4-2) 其中 TTWUMBMwwwwwwBuuuuuuwuP322332231313113131,0001003303631331M3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0PPPPPPPPPPPPPPPPB112323wwwWuuuU；第23页/共78页曲面拼接条件： 如果有二块3 3

28、次贝齐尔曲面 要进行拼接，如图4.2.4-2，当P(1)(1,w)= P(2)(0,w)对所有0w1成立时，拼接处连续。显然，这只要控制顶点满足 P3,i(1)= P0,i(2) (i=0,1,2,3) (4.2.45)就行。而为了在拼接处满足C1连续，还要满足 Pu(1)(1,w)Pw(1)(1,w)=Pu(2)(0,w)Pw(2)(0,w) (4.2.4-6)其中为常数，0 w 1。这时除条件P3 ,i( 1 )= P0 ,i( 2 ) (i=0,1,2,3)外，最简的充分条件是: P3,i(1)- P2,i(1)=(P1,i(2)- P0,i(2) (i=0,1,2,3) (4.2.4-

29、7) 图4.2.4-2表示的两拼接曲面达到了C1级连续。 图4.2.4-2 )44 . 2 . 4(,) 34 . 2 . 4(,2211TTTTWMUMBwuPWMUMBwuP第24页/共78页4.3 4.3 均匀均匀B B样条曲线样条曲线 4.3.1 B4.3.1 B样条方法引论 。以上讨论的贝齐尔方法，以上讨论的贝齐尔方法，因为它的许多优良性质，诸如直观性、凸包性、变差减因为它的许多优良性质，诸如直观性、凸包性、变差减小，可分割性等，已经成为从事机电产品几何外形设计小，可分割性等，已经成为从事机电产品几何外形设计的得力工具。但使用中也发现，的得力工具。但使用中也发现，由于贝齐尔曲线曲面是

30、由于贝齐尔曲线曲面是采取单一参数多项式的整体表示，它难以构造形状复杂采取单一参数多项式的整体表示，它难以构造形状复杂的曲线曲面，而不得不借助于拼接。拼接虽然灵活，但的曲线曲面，而不得不借助于拼接。拼接虽然灵活，但使用起来却不够方便。使用起来却不够方便。正由于贝齐尔曲线曲面的整体性，正由于贝齐尔曲线曲面的整体性，不可能作局部修改，移动一个控制顶点的影响将波及整不可能作局部修改，移动一个控制顶点的影响将波及整条曲线或整张曲面。条曲线或整张曲面。 在在1972197219761976年期间，里森费尔德年期间，里森费尔德(Riesnfeld)(Riesnfeld)、戈登戈登(Gordon)(Gordo

31、n)、福雷斯特、福雷斯特(Forrest)(Forrest)等人推广了贝齐尔等人推广了贝齐尔曲线，改用曲线，改用B B样条基代替贝齐尔曲线的伯恩斯坦基，用这样条基代替贝齐尔曲线的伯恩斯坦基，用这种方法构作的曲线曲面叫种方法构作的曲线曲面叫B B样条曲线曲面。样条曲线曲面。B B样条曲线与样条曲线与曲面也具备良好的性质。它继承了贝齐尔曲线的直观性曲面也具备良好的性质。它继承了贝齐尔曲线的直观性等优良属性，又克服了贝齐尔方法的不足之处。等优良属性，又克服了贝齐尔方法的不足之处。B B样条曲样条曲线与特征多边形相当接近，便于局部修改。线与特征多边形相当接近，便于局部修改。 首先介绍工程上常用的三次首

32、先介绍工程上常用的三次B B样条曲线，然后再对样条曲线，然后再对B B样条曲线作进一步讨论。样条曲线作进一步讨论。 第25页/共78页4.3.2 4.3.2 三次B B样条曲线段 B B样条曲线也是即分段又连续，先讨论各分段的特性，再解决各分段间的连续性问题。 (1)(1)三次B B样条基。B B样条基函数可以由多种方法推导：如差商定义、德布尔一考克斯的递推定义、考虑曲线段之间连续性要求的几何定义等。由于推导的途径不一，B B样条基函数的表达式各有不同，但实质是完全一致的。现在直接引出工程上经常应用的三次B B样条基函数的矩阵表达式： (4.3.2-1)(4.3.2-1) Nj,4,4( (u

33、)()(j=0,1,2,3)=0,1,2,3)是一组重要的基函数，利用它和四个相邻顶点线性组合，可构成三次B B样条曲线段。 ) 10(11331036303030141! 311,32324 , 34 , 24 , 14 , 0uMuuuuuuuNuNuNuNB第26页/共78页(2) (2) 三次三次B B样条曲线样条曲线段段 (4.3.2-2)(4.3.2-2)它的端点具有如下的一些性质： (4.3.2-3)(4.3.2-3) 根据上述端点几何性质，三次B B样条曲线段的形状就大体确定了。 ) 10(,3214, 34,24, 14,0uVVVVuNuNuNuNuriiiii )()(1

34、)()(0)(211)(21021314611213146102123112132231232122121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiVVVVrVVVVrVVrVVrVVVVVVVrVVVVVVVr第27页/共78页4.3.3 4.3.3 三次三次B B样条曲样条曲线线 当特征多边形的顶点超过四点时，其上每增加一当特征多边形的顶点超过四点时，其上每增加一个顶点。则相应地在样条上增加一段曲线个顶点。则相应地在样条上增加一段曲线, ,下图表示下图表示B B特征特征多边形及其对应的多边形及其对应的B B样条曲线样条曲线, ,多边形中每四个相邻的顶点多边形中每四个相

35、邻的顶点按公式按公式（4.3.2-24.3.2-2）定义一段曲线。定义一段曲线。现在从曲线连续、光现在从曲线连续、光滑的要求出发，推导滑的要求出发，推导出三次出三次B B样条曲线方样条曲线方程。推导过程的几何程。推导过程的几何意义十分明显。意义十分明显。 已知已知n+2+2个按顺序排列的顶点矢量个按顺序排列的顶点矢量V V0 0, , V V1 1, , V Vn+n+1 1 ( (见见上图上图) )，设设N N0,40,4( (u u),),N N1,41,4( (u u),),N N2,42,4( (u u),),N N3,43,4( (u u), ), 分别为分别为u u的三的三次多项式

36、。次多项式。顺次以相邻的四顶点顺次以相邻的四顶点V Vi i , ,V Vi+i+1 1 , ,V Vi+i+2 2 , ,V Vi+i+3 3作为一组作为一组, ,共得到共得到( (n-1)-1)个线性组合：个线性组合： (4.3.3-1)(4.3.3-1) ) 10 ; 2, 2 , 1 , 0(34 , 324 , 214 , 14 , 0uniVuNVuNVuNVuNuriiiii第28页/共78页这些线性组合在连接点处要求直到二阶连续，即 ri (1) = = ri+ 1 (0)，ri (1) = = ri+ 1 (0) ，ri”(1) = = ri+1”(0) ，由此可推导出三次B

37、样条基函数：（见115-116页） （4.3.3-6)(4.3.3-6)式正是前述的三次B样条基。 在在(4.3.3-1)(4.3.3-1)式中，特征多边形顶点式中，特征多边形顶点V Vi+ji+j和三次和三次B B样条样条基函数基函数N Nj j,4,4( (u u)()(j j=0,1,2,3)=0,1,2,3)线性组合得到线性组合得到r ri i( (u u) )。当参数。当参数u u从从0 0变化到变化到1 1时，上式描绘出第时，上式描绘出第i i段曲线。各段曲线在连段曲线。各段曲线在连接点处保持接点处保持C C2 2连续。由于连续。由于N Nj j,4,4( (u u) )是三次是三

38、次B B样条基，故上述样条基，故上述曲线叫三次曲线叫三次B B样条曲线。它在工程上的应用最普遍。样条曲线。它在工程上的应用最普遍。)(!31)()3331 (!31)()364(!31)()331 (!31)(34, 3324, 2324, 1324, 0uuNuuuuNuuuNuuuuN第29页/共78页将将(4.3.3-6)(4.3.3-6)代入代入(4.3.3-1)(4.3.3-1), ,写成矩阵形式得三次写成矩阵形式得三次B B样条样条曲线公式为：曲线公式为： （4.3.3-7)此式为三次此式为三次B B样条曲线的计算公式，请记住并会计算。样条曲线的计算公式，请记住并会计算。 3214

39、, 34, 24, 14, 0,iiiiiVVVVuNuNuNuNur 32132304,1331036303030141! 311iiiijjijVVVVuuuVuNVUMVVVVMuuuBiiiiB321321第30页/共78页4.3.4 B样条曲线的几何性样条曲线的几何性质质 除了图4.3.2-1所示的曲线端点性质外，B样条曲线还具备另一些性质。下面以三次B样条曲线为例加以说明。但这些性质对任意次B样条曲线也都成立。 (1)直观性 B B样条曲线的形状决定于样条曲线的形状决定于B B特征多边形，特征多边形，而且曲线和多边形相当逼近。而且曲线和多边形相当逼近。 (2)(2)局部性局部性 由

40、于三次由于三次B B样条曲线段样条曲线段ri(u)仅由四个顶点仅由四个顶点矢量确定矢量确定, ,而与其它顶点矢量无关。所以改变特征多边形而与其它顶点矢量无关。所以改变特征多边形的某一顶点矢量的某一顶点矢量, ,只对相邻的四段曲线段产生影响只对相邻的四段曲线段产生影响, ,而对其而对其它曲线段不会引起变化。它曲线段不会引起变化。B B样条所具备的局部性在样条所具备的局部性在B B样条曲样条曲线的几何性质中占有很重要的地位。线的几何性质中占有很重要的地位。 (3)(3)凸包性凸包性 所谓空间点的凸包是指连接各空间点所围所谓空间点的凸包是指连接各空间点所围成的空间区域。曲线段必成的空间区域。曲线段必

41、 在在V Vi iV Vi+i+1 1V Vi i+2+2V Vi i+3+3所张所张 成的凸包内。而整条成的凸包内。而整条 B B样条曲线必定落在样条曲线必定落在 这种由相继的四个多这种由相继的四个多 边形顶点所组成的凸包的并集之中。边形顶点所组成的凸包的并集之中。第31页/共78页(4)对称性 把特征多边形的顶点V0, V1, Vn反序排 成Vn Vn-1, V0按此顶点矢量序列用式(4.3.3-7)构成曲线，就将沿相反的方向描画出同一条曲线。 三次B样条曲线的几种退化情况（亦即构造特殊B样条曲线的技巧）：(1) 三顶点Vi,Vi+1,Vi+2共线 m是线ViVi+2的中点，见图,则三次B

42、样条曲线段的起点ri(0)所在位置为 利用端点性质容易证明，利用端点性质容易证明， r ri i(0)(0)处的曲率处的曲率K K=0=0。曲线起点曲线起点ri(0)与直线与直线V Vi iV Vi i+2+2相切，利用此性质可设计出需要的拐点。相切，利用此性质可设计出需要的拐点。1131)0(iiimVVr第32页/共78页(2) 四顶点ViVi+1Vi+2Vi+3共线 四个相邻顶点共线，构作的B样条曲线退化为直线，见图4.3.4-3。ri(0)和ri(1)的位置同样可由作图法求出。 (3) 两顶点Vi+1,Vi+2重合 相当于三顶点共线，三次B样条曲线的端点ri(0)满足关系式 而且端点曲

43、率K=0,见图4.3.4-4。1161)0(iIiiVVVr第33页/共78页(4) 三顶点重合 为了构作含有尖点的为了构作含有尖点的B B样条曲线，可以取三次重样条曲线，可以取三次重合顶点，即把一个顶点重复取三次。合顶点，即把一个顶点重复取三次。如图如图4.3.4-54.3.4-5所示，由顶点所示，由顶点V Vi i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2,V Vi+i+3,3,V Vi i+4+4可以定义两段三次可以定义两段三次B B样样条曲线，具有条曲线，具有C C2 2连续条件。若把连续条件。若把V Vi i+2+2看作为重复的两个顶看作为重复的两个顶点，则由顶点点，则由顶点

44、V Vi i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2, V Vi i+2,+2,V Vi+i+3,3,V Vi i+4+4可以构作三段可以构作三段B B样样条曲线。若把条曲线。若把V Vi i+2+2看作为重复三次的顶点，则由顶点看作为重复三次的顶点，则由顶点i i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2,V Vi i+2,+2,V Vi i+2+2V Vi+i+3,3,V Vi i+4+4可以定义四段三次可以定义四段三次B B样条曲线。样条曲线。三重顶点三重顶点V Vi i+2+2处，曲线的斜率不连续形成尖点，而且两处，曲线的斜率不连续形成尖点，而且两侧含有直线段和。在尖

45、点处侧含有直线段和。在尖点处斜率尽管不连续。然而对于斜率尽管不连续。然而对于参数曲线来说参数曲线来说, ,确实是达到确实是达到了了C C2 2连续。因为在三重顶点连续。因为在三重顶点处的一阶和二阶导矢都退化处的一阶和二阶导矢都退化为零。为零。第34页/共78页上述退化情况表明上述退化情况表明( (构造特殊构造特殊B B样条曲线的技样条曲线的技巧巧) )：(1)如果想构造一段直线如果想构造一段直线,只要使四个顶点共线就可只要使四个顶点共线就可以了。以了。(2) 为了使样条曲线和特征多边形相切，可以采用为了使样条曲线和特征多边形相切，可以采用三顶点共线或两重顶点的技巧。三顶点共线或两重顶点的技巧。

46、(3) 要使样条曲线通过某一顶点，即在曲线上使之要使样条曲线通过某一顶点，即在曲线上使之形成一个尖点，可以运用三重顶点的技巧。形成一个尖点，可以运用三重顶点的技巧。 在具有复杂外形的机电产品设计中，常常要用到上述技在具有复杂外形的机电产品设计中，常常要用到上述技巧。巧。第35页/共78页4.3.5 三次三次B样条曲线的算样条曲线的算法法 从已知B特征多边形顶点Vi计算三次B样条曲线的结点Pi以及曲线上的任意点，是逼近问题，称为正算，而从已知型值点列Pi反推多边形顶点Vi，是应用于插值的反问题，称为反算。 (1) 曲线的正算 给定特征多边形顶点Vi，构作B样条曲线，按式(4.3.3-7)计算曲线

47、上结点以及任意点的位置矢量，这是不用赘述的。在数控绘图和数控加工中往往需要对参数进行等间隔插值，这时不必将参数代入式(4.3.3-7)逐点计算，而可采用差分运算，使计算可以高速进行。差分法的算法及源程序见附录B。 第36页/共78页(2) (2) 曲线的反算曲线的反算 在机电产品外形设计实际中，常常是给出曲在机电产品外形设计实际中，常常是给出曲线上一批型值点，希望用线上一批型值点，希望用B B样条曲线来拟合这些点。样条曲线来拟合这些点。然后求出其它需要的插值点。这时首先要求出然后求出其它需要的插值点。这时首先要求出B B样样条曲线特征多边形顶点，才能构造曲线，并对曲条曲线特征多边形顶点，才能构

48、造曲线，并对曲线进行插值计算。线进行插值计算。 设 已 知 ( (n n+ 1 )+ 1 ) 个 有 序 型 值 点 列 P Pi i( (i i=0,1,=0,1, ,n n) )。求特征多边形顶点位置矢量V Vi i( (i i=-1,0,=-1,0, ,n n+1)+1)。 从(4.3.2-3)(4.3.2-3)式的第一、第二式可看出，反算问题归结为下列线性代数方程组的求解： (4.3.5-5)(4.3.5-5) 如果补充两个适当的端点条件，方程组就有唯一解。工程中常见的情况有如下三种端点条件：), 1 , 0()4(6111niPVVViiii第37页/共78页(1)两端点给出切矢量补

49、充条件为： (4.3.5-6) 其中P0和Pn在实际设计中可以依据抛物线端点条件给出。(4.3.5-6) 经推导整理后与(4.3.5-5) 构成三对角线性方程组： (4.3.5-9) 用“追赶法”求解方程组(4.3.5-9)并将结果代入式(4.3.5-6)中求出Vi(i=-1,0,n+1)。全部未知数求解完毕。 关于“追赶法”求解方程的原理和程序参见本书附录A 。 nnnPVVPVV)(21)(2111011nnnnnnnPPPPPPPPVVVVVV366663211411411411411212210012210第38页/共78页(2)自由端点条件 一般可取 (4.3.5-10)由(4.3.

50、5-10)、(4.3.5-5)构成三对角线性方程组 (4.3.5-11)可由“追赶法”求解此方程组nnVVVV101,nnnnnnPPPPPPVVVVVV122101221065114114114114115第39页/共78页(3) (3) 封闭曲线封闭曲线 为使曲线起点和终点光滑连接,应考虑多生成一小段曲线PnP0将原曲线光滑封闭。考虑Pn点的连续性,PnP0应由顶点Vn-1VnVn+1Vx生成;考虑P0点的连续性，PnP0应由顶点VyV-1V0V1生成,又知PnP0是同一条曲线,所以必有： 即要曲线封闭,必须: Vn+1=V0 , Vn=V-1 (4.3.5-12) 由(4.3.5-12)

51、和(4.3.5-5)联立求解，但它不能构成三对角线性方程组，因此不能用解三对角方程的追赶法求解，只能用一般的线性方程组解法求解Vi。方程的形式为 ( 4.3.5-13) 10111VVVVVVVVxnnynnnnnnnPPPPPPVVVVVV12210122106411141141141141114第40页/共78页4.3.6 4.3.6 三次参数曲线段的三种等价表三次参数曲线段的三种等价表示示三次参数曲线可以用不同的方法构造,列成附表4.3.6-1。第41页/共78页三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线段的三种等价表示( (续续) )三种构作方法有其内在联系。从几何角度分析(见图4.3.

52、6-1所示),B0和B3是曲线段r(u)的始点r(0)和终点r(1),r(0)和r(1)是曲线段始点和终点的切矢量。根据贝齐尔曲线的性质可以验证,从B0开始,沿r(0)的方向截取其模长的13,得B1点；从B3开始,沿r(1)的反方向截取其模长的13,得B2点,则B0B1B2B3即为r(u)曲线段的贝齐尔特征多边形。再根据B样条的端点性质,将线段B1B2向两侧各延长自身的长度 ,分别得V1和V2。用线段连接V1B0,并延长两倍到d0，再用线段连接V2d0，并延长自身的长度到点V0，在V2和B3方面作对称的操作，得到V3,则V0 V1V2 V3即为r(u)曲线段的B特征多边形。第42页/共78页三

53、者的几何关系是明显的三者的几何关系是明显的,三种几何表示方法可以相互转换三种几何表示方法可以相互转换。由一种几何表示方法很容易用作图法找出另外两种等价的几何表示。 三次参数曲线段可以用不同方法构造，表示形式有所不同,但它们之间有其内在联系。从代数上看，这三种表示式可以统一在矩阵形式之下： r（u）= U Mj BjT 0 u 1 （j = 1，2，3）其中:U是参数矢量,Mj是基函数阵,BjT 是顶点信息(见前表)。 从上述等价表示中可以看出，贝齐尔方法和B样条方法用特征多边形表示曲线，比一般参数曲线更加直观。学习了三次参数曲线段的等价表示,同学们要会解决如下问题： 1）给定一曲线段的B特征

54、多边形顶点,如何求出该曲 线段的贝齐尔多边形顶点？ 2）给定一曲线段的贝齐尔 多边形顶点，如何求出该曲线段的B特征多边形顶点？第43页/共78页4.3.7 二次二次B样条样条曲线曲线 在实际应用中，用得最多的是三次B样条曲线，其次就是二次。现在考察二次均匀B样条曲线，其公式为： 曲线段的两端点是二次B特征多边形两边的中点，并且以两 边为其端点切线(图4.3.7-1)。 一次B样条曲线就是B特征 多边形本身。 对于同一特征 多边形而言，随着曲线次数 的增高，曲线拉紧，离特征多边形越来越远。三次三次B B样条样条能保持能保持C C2 2连续，对特征多边形又相当逼近，所以最常用。连续，对特征多边形又

55、相当逼近，所以最常用。二次二次B B样条曲线由于简单，与特征多边形更加逼近，尽管样条曲线由于简单，与特征多边形更加逼近，尽管只能保持只能保持C C1 1连续，在工程中也经常应用。连续，在工程中也经常应用。21121022011iiiVVV211)(2uuuri第44页/共78页4.4 4.4 非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线 上节对工程上常用的均匀B B样条曲线作了较全面的介绍。它最重要的特征是：（1 1）参数轴采用均匀分布的节点；（2 2）各段B B样条曲线均采用相同的基函数；（3 3）计算简单。但当型值点或顶点间距相差较大时，应用均匀B B样条曲线效果不好。因因此，机电产品设计过程有时要

56、用到非均匀此，机电产品设计过程有时要用到非均匀B B样条曲样条曲线，它可以在基函数里用节点的不均匀分割来适应线，它可以在基函数里用节点的不均匀分割来适应特征顶点或型值点严重不均匀的情况。虽然计算量特征顶点或型值点严重不均匀的情况。虽然计算量增加，但造型功能和效果得以提高，特别是可以应增加，但造型功能和效果得以提高，特别是可以应用重节点技术，更增加了用重节点技术，更增加了B B样条曲线的应用灵活性。样条曲线的应用灵活性。第45页/共78页4.4.1 B样条基函数样条基函数首先明确几个概念：节点是参数轴上的分割点。将参数轴等距分割,得到均匀节点。若 非等距分割,则得到非均匀节点。前面提到过的型值点

57、,是指曲线段间的连接点。前者是曲线上的点，后者是参数轴上的点。而顶点则是确定曲线形状的控制点。 定义：在区间a,b上，取分割a = x0 x1xn = b为节点，构造B样条基函数。仅在区间xi x xi+M 内其值不为零的M阶(M-1次)B样条基函数Ni,M(x)称为在 xi, xi+M上具有局部支集性。M为阶数(为大于或等于1的整数)，基函数Ni,M(x)由下列递推关系给出： 式中约定0/0 = 0，Ni,M(x)称为a,b上第i个M阶（M 1次）B样条基函数。) 11 . 4 . 4()(,)(,)(,01)(,11111111xNxxxxxNxxxxxNxxxxxxxNMiiMiMiMi

58、iMiiMiiiiii第46页/共78页 （4.4.1-1）递推公式的几何意义可以归结为“移位”,“升阶” 和“线性组合”。 Ni,M1（x）“移位”得Ni+1,M1（x）（对非均匀节点而言则指Ni,M1（x）的下一个基函数为Ni+1,M1（x）；M1阶基函数乘以x的线性函数，就是“升阶”；再将其“线性组合”，得到M阶B样条基。 由上述递推关系可知，M阶B样条基是一个只在M个子区间 xi,xi+M上非零的分段M1次多项式，它具有直到M2阶连续导数。 现在具体地讨论0次到3次B样条基当M1，零次(一阶)B样条基为: Ni,1（x）的图形如图(4.4.1-1)所示。在区间a,b上，它只在一个子区间

59、xi,xi+1上非零，且为常数1(即为零次多项式)。在其他子区间上均为零。Ni,1（x）称为平台函数。) 21 . 4 . 4 (,01)(,111iiiiixxxxxxxN第47页/共78页M = 2 ，一次(二阶)B样条基： 由(4.4.1-2)的Ni,1（x）的“移位”得 将Ni,1（x）和Ni+1,1（x）代入递推公式，得 Ni,1（x）和Ni+1,1（x）及由递推所得到的Ni,2（x）见图4.4.1-2。人们形象地称Ni,2（x）为屋顶函数。Ni,2（x）只在两个子区间xi,xi+1,xi+1,xi+2上非零，且各段均为x的一次多项式。,01)(21211 , 1iiiiixxxxx

60、xxN) 31 . 4 . 4(,0)(221122112 ,iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxN第48页/共78页M = 3M = 3，二次( (三阶)B)B样条基：将Ni,2（x）的表达式(4.4.1-3)的下标i换成i+1,即得到Ni+1,2（x）的表达式。再将Ni,2（x）和Ni+1,2（x）代入递推公式，即可得到Ni,3（x）。 二次B样条基为 : (4.4.1-3) Ni,2（x）、Ni+1,2（x）以及递推所得到的Ni,3（x）见图4.4.1-3。Ni,3（x）在三个子区间上非零,且为分段的二次多项式,形象地被称为钟形函数。,0)()()()()()(