第九章—质点动力学基本方程

1、动力学引言动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。H 舰载飞机在发动机和弹射器推力舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞作用下从甲板上起飞Fv1v2Av1Bv29.1 动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。9.1 动力学的基本定律第二定律(力与加速度关系定律

2、) m aF在经典力学中质点的质量是守恒的在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。d()dmtvF9.1 动力学的基本定律mPgm Pg国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作

3、用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(1 0.0052884sin0.0000059sin 2g为纬度9.1 动力学的基本定律 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。9.2 质点的运动微分方程221ddniimmtraF2. 质点运动微分

4、方程在直角坐标轴上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3. 质点运动微分方程在自然轴上投影2tnb111d, 0dnnniiiiiivvmFmFFt1. 矢量形式的质点运动微分方程9.3 质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。例10.1例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为xa cos wt，ya sin wt，求作用在质点上的力F。i

5、jvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间 t，得12222byax质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：22cos,sinxatybtwwww 代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()XYmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM例10.3 例2 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 0vvmg解：研究抛射体, 列直角坐标形式的质点运动微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 积分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始条件为0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gtt