第一章 张量分析(书籍附,详尽易懂)

1、若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、。则加法法则将F中的任意两个元素 +cba),(cba,;abFc F显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为： ,;abFc Fcba),(a bc乘法法则将F中的任意两个元素 ,;F称为具有加法和乘法法则的实数集空间。 实数空间关于加法和乘法法则有如下性质： （1） （2） （3） 存在唯一的元素,对每一个元素使得： （5） （6） （7） F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得： xyyxFyx,zyxzyx)()(Fzyx,F中存在称为关于加法的单位元素0，使得： Fxxx0（4） FxFx )(0

2、)(xx)()(xbaxba,abxFxbxaxba )(,abxFxbxayxa)(,abx yF（8） xx 1xF 对实数域 F，定义n元有序组： 1(,)nxxFxFxn,1且当：必有：由n元有序组构成的集合：称为n维仿射空间。 ),(),(11nnxxxx),(11nnxxxx1( ,), 1nniinEFFxxxFxin 个中的每一个元素称为点。 nE记：且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。 对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合： (0,0),o),(1nxxx1,(,)nxxniFxxxxViin1 ,),(10 x定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：0,;

3、VFx y,z111( ,)( ,)(,)nnnxxxxxxx111(,)( ,)nnnxyxyzzxyz0,;VFx y,z并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数F、V,0zyx（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） xyyx)()(zyxzyxV0中存在称为关于加法的单位元素o，使得： xox0V xV0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得： oxx)()()(xxxxx)(yxyx)(xx 10VxF存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得： 域上的矢量空间。且仍记为V0 。数域上的矢量空间V0 具有如下性质：证：（1） （2） （4） （5） （6

4、） ),(11nnyxyxyx),(11nnxyxyxyyx nnnzyxzyx)( ,)(111zyx),(111nnnzyxzyx)( ,),()(111nnnzyxzyxzyx),(111nnnzyxzyx()()x+ y+ z = x+ y + z = x+ y+ z0)0 , 0(Vo)0, 0(1nxxox),(1nxx xox 1111()()( ,)() ,()(,)(),)nnnnxxxxxxxx x)()(xx )( ,)()(1nxxx11(,)nnxxxxxxx)( （8） （7） 11()(,)nnxyxyxy11(,)nnxyxy()xyxyF1),( 111nxx

5、 x定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0t 的矢量 z ： xx 1 证毕。 yxztt)1 (定义连接 x 、y 两点的直线段是满足：(1)01,ttttF xyzxy仿射空间点的集合。 x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。 uxy是空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x，所有以x点为起点的矢量按： )()( ,),()(),(),(11111111nnnnnnnnxzxyxzxyxzxyxzxzxyxyuu定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当取 为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx。 Vx空间中的矢量称为约束矢量。Fxyxyxyxynn

6、nnxy)(,),(),(1111uxyu设Ftttt, 10)1 (yxzxy定义若存在非o的s位置矢量满足： Ftbabtatt,| )()(1 (sysxzab则称abxy与平行。切记为abxy。例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o点的水平和竖直直线为实数数轴。 当： )3 , 2(x) 1 , 6(y)5 . 1 , 1 (a) 1 , 2(b时，试证明：xyuabu并将结果画在图上。解：( 4,0) sby(1)()()tatb abxsys( 2(1),3(1)(2 , )ttt tatb (42,32 )ttatb 当t=b时：位置矢量标定b点。即：) 1 ,

7、2()23 , 24(bb由此确定b=1 。当t=a时：位置矢量标定a点。即：)5 . 1 , 1()23 , 24(aa由此确定a=0.75 。图中画出了计算结果 。u abu xyS(b)(a)x 1x 2 246231u abu xyx 1x 2321654321图11 设 是实数域上的矢量空间，x是 中任一给定的位置矢量。 是所有起点在x点的约束矢量空间。对 中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行性，在 中有对应的矢量。若矢量0V0VxV0VxV0110,(, ,)nnVxyxyV yx yxyxxVuFtttt,10)()1 (yxxyxx确定。而 矢量可由有向线段： 0VyFttt

8、tz,10)()1 (yooyo确定。容易验证 Ftttt,10)()()1 (xyxoyxx满足（1.1-7）式（取 ）。 xsyyox, 1, 0 ba因此 ：yxx uy 则起点在x的矢量可由有向线段： 对任意给定的矢量 ，对不同的x所确定的约束矢量空间 ，按平行性可确定一类约束矢量 。定义 空间中的每一点约束矢量，对给定的 ，按有向直线段：0VyxVyxx uy nE0Vy(1)()() 01,ttttF x xyoxyx 确定的矢量 所构成的一类矢量，称为矢量 的等价类。 中所有矢量按（1.2-1）所构成的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 。应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是

9、一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢量。yxx uy0V0V例2：如图所示给定的5个矢量 。试确定其平行性和等价性。12345rrrrr、 、 、 、1r2r3r4r5r： ：Ftttt,10)2 , 1()0 , 2()1 (Ftttt,10)3 . 4 ,65. 0()3 , 0()1 (Ftttt,10)4 , 4()2 , 2()1 (Ftttt,10) 1 , 1 () 1, 1()1 (Ftttt,10) 1 , 4() 1 ,3( )1 (r 5b5a 5r4b 4a 4a 3r 3b2a 2r 2a 1b 1r 1-2-2-1-144332x 1211b 3x 2图12与

10、(取 )由此可得 ， 。显然由（1.1-7）式可知 ，但由（1.2-1）式可知 和 不等价（因为 ）。 1r2r：12bbsbtattbtattbtatt)23 . 2 ,35. 0() 3 . 22 ,65. 11()03 . 2 ,65. 12( )1 ()()( )1 (sbsaba1122当 时：当 时：) 3 . 4 ,65. 0()23 . 2 ,35. 0(tt)3 , 0()23 . 2 ,35. 0(ttbt ta35. 0a1b 1r2r1r2r0.350a 显然没有一组 ， 的解满足： 1r3r：21(,)sss与 (取 )btattbtasstsstbtatt)4 ,

11、4()2 , 2)(1 ()2 ,1()0 ,2()1 ()()()1 (212111sbsaba331s42;4120;222121ssss中第一组关于 的方程。即不存 在满足（1.1-7）式，因此 和 不平行。1s0Vs2r1r3r4r：12bbs与 (取 )btattbtattbtattbtatt)21,21() 1 , 1 () 1, 1)(1 ()34 , 34()23, 23()1 ()()()1 (33sbsaba44当 时：bt ta0a 1b 1r2r当 时：由此可得 ， 。显然 等 价。) 1 , 1 () 12 , 12(tt) 1, 1() 12 , 12(tt1r5r

12、：51sbb与 (取当 时：bt ta0a 1b 1r5r当 时：由此可得 ， 。显然 等 价。btattbtattttbtattbtatt) 12 ,3(),4)(1,33() 12 , 51() 10 , 52()1 ()()()1 (11sbsaba55)1 ,4()12,3(tt) 1, 3() 12 ,3(tt由平行性及（1.2-1）式确定了自由矢量 集合在集合 中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合 具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素（自由矢量）间的加法运算和实数域 上的数乘运算。设 ， ；与 、 等价的 中的矢量为V0VaFaVxxFbVyyXY

13、V0V0V)中的加法和数乘分别定义为：、；。则自由矢量的集合在上述加法和数乘运算下构成线性空。且将带有上述加法和数乘运算的自由矢量空间记为 。 YXyxXxaa 0Vx图13b = b 1 + b 2yb 2b 1a 2a 1x 2x 1654321123 a = a 1 + a 2o例3：确定图示自由矢量a、b的和a + b 、5a、2b。解： 1aos12(1)()() 01(1)(22,22)(22,32) 01(0, ) 01tttttttt oxasas1bos12(1)()() 01(1)(44,1 1)(64,2 1) 01(2 , ) 01ttttttt tt oybsbs)2

14、 , 2() 1 , 2() 1 , 0(yxba)5 , 0() 1 , 0(555 xa)2 , 4() 1 , 2(222ybx 1 y 1 y x 2 y = 2 b 5 x = 5 a x + y = a + b图14结果如图1-4所示。 obaabcabo图15(a)(b)设自由矢量a、bV，其起点和终点分别由a1、 a2 ；b1、 b2 V0矢量标定。a、b矢量对应的有向直线段分别为： 10)1 (2121tttaaaa10)1 (2121tttbbbb1aosa1bosb10)(10)()1 (10)()()1 (121221ttttttttaaaaosasaoxaa12aax

15、10)(10)()1 (10)()( )1 (121221ttttttttbbbbosbsboybb12bby2121abxyaabb将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3 V0确定，则： 12bas10)()( )1 (10)()1 (1221212132ttttttbabbabsbs(bba01223Vbabb（a）起点在a1 ，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量z可由有向直线段 确定：oz1aos10)()( )1 (10)()( )1 (11221131ttttttababaasbsaoz1122ab

16、abz该式表明自由矢量的加法可在空间的任意点进行。图1-5给出了矢量a、b加法的几何示意图。（a）图给出了a、bV ；（b）图中将b平行移动使得b起点与a的终点相接。则按（b）式有： 由于z与c等价，由（a）式得： 2211cbabaxyab（b）obaabcabo图15(a)(b)baccV为起点在 a 矢量的起点，终点在平行移动后（ 起点ababbaababcbaba与 a 的终点相接）的 b 矢量终点确定的矢量。图 ( b ) 中该式也称为自由矢量加法的平行四边形法则。中还给出了与 a （或 b ）矢量等价的矢量（ 或）。容易验证，当 a （或 b ）与（或 ）等价，则 b 或(a )

17、与。 a 、b 、（或）等价。即 a ， b 均成平行四边形，且：、试由平行四边形法则求图1-6（a）所给矢量 a 和 b 的和。DCBAbacaba(b)(a)图16例4： 将 b 矢量的终点平移至 a矢量的起点（见（ b ）图）；或将 b矢量的终点平移至 a矢量的终点。作平行四边形 ABCD。则平行四边形的对角线对应的矢量cV为就是a 、 b矢量的和，即： 解： bac设 r1，rn ； ， ， 。若存在不全为零的 ， ，使得：VF1n1nonnrr11（1.3-1） 则 r1，rnV 称为线性相关的 n 个自由矢量。若只有当 = = = 0时（1.3-1）式满足，则称r1，rn是线性无关

18、的。 n例5： 试确定自由矢量 ) 1 , 1 , 3()7 , 2 , 5(1r)3 , 4 , 4(2r)4 , 2 , 7(3r； ； 的相关性。 解： 1这是关于 ， ， 的齐次线性代数方程，其系数行列式的值为：则 ：若： 332211rrr)0 , 0 , 0()436 ,24,742()4 ,2 ,7()3 ,4 ,4()6 ,2(321321321333222111043602407423213213211112(166)4(4 12)7(324)0因此方程无非零解。即只有当 321orrr332211时： 123,rrr线性无关。 1n,rr1n,F n+1个矢量都是线性相关的

19、。则 V 称为 n 维自由矢量空间 ，n 维自由矢量空间V中的任意 n 个线必玩关的自由矢量称为 n 维自由矢量空间 V 中的一组基底。是 V 中 n 个线性无关的自由矢量，且 V 中任意自由矢量空间的维数n可以是有限的整数（n ），也可以是无穷大。前者称为有限维自由矢量空间 ，后者称为无限维矢量空间。本书仅讨论有限维自由矢量空间。同时由于（1.3-1）式中的 ，因此准确地讲 V是 F 的 n 维自由矢量空间。在不致引起混淆时就称为 n 矢量空间 V ，或称为矢量空间 V 。 1 1n,F 定理定理1.1 如果 是 V 的一组基底，则 V 中的矢量 x 可唯一地表示成 的线性组合 1n,rr1

20、n,rrFxxxxnnn,111rrx（1.3-2） ； 是V 的基底表明V 是 n 维矢量空间。由基底的定义可知 ， ， x 这 n+1个矢量必然线性相关。 1,nVrrx1n,rr1n,rr 01 12 2n nxrrro上式中 （若 ， 线性无关。若要求上式成 00001n,rroxr 1xA(a)Aor 1r 2xr 2r 1(b)图17则 线性无关，这与定义相矛盾。）且： 1n01n, x rrxo1n,)(1110nnrrxnnxx0101,令 则： nnxxrrx11这表明每一个 Vx都可由基底线性表示。 设x有另一表示：nnxxrrx11 oxxorrnnnxxxx)()(11

21、1由于 线性无关，所以得： 1n,rr0, 011nnxxxxnnxxxx,11因此（1.3-2）的表示是唯一地。 证毕。 当 时， 不全为零。因此有：对自由矢量空间V中的矢量在给定基底 r1，rn 上按（1.3-2） 表示时，必须明确在 En空间的每一点上都空间的每一点上都有一组与 r1，rn 任意 分别等价的基底。Vx都可以在x矢量的起点的 r1，rn 示。且两种表示是等价的（相同的）。 基底上表例6：如图1-7所示二维矢量空间 V，在 o 点给定V 的基底 r1，r2 及自由矢量 x（ x 起点在 A 点 ）。试求 x 在基底r1， r2上的表示。( 见前页 ) 解：如图 1-7（a）所

22、示。将 A 点的 x 矢量起点平行移动至 o点，得等价矢量 x 。再将 o 点的 x 矢量在 o 点的基底 r1，r2上表示为：121.51.5 xrr如图1-7（b）所示。在 A 点作与 o 点 r1，r2等价的基底 r1，r2。再将A点的矢量x在A点的基底 r1，r2上表示为： 121.51.5 xrr显然两种表示是等价的（相同的）。 当n维矢量空间V的基底给定为r1，rn，对每个 Vx有： nnxxrrx11其中x1，xn称为 矢量关于基底 r1，rn 的坐标Vx。记为（x1，xn ）。坐标为（0，0）所标定的点 o及o点处的n个基底矢量 r1，rn共同构成一个坐标系。 记为 1; ,n

23、o rr或记为 ;io r 。每一个基底矢量由起点指向终点的方向称为坐标正方向， 反之称为坐标负向。 基底矢 量起点与终点的连线延长线称为坐标轴。 例7：如图1-8所示二维矢量空间。其坐标系为 12; ,o r r。试 求自由矢量 a（起点由 Vx终点由 标定）的坐标。 Vy解：oyaxr 1r 2图18x、y的坐标为（x1，x2），（y1，y2） 。由平行四边形法则得： yax22211122112211)()()()()(rrrrrrxyaxyxyxxyy a的坐标为 ),(),(221121xyxyaa由此得结论结论：自由矢量在给定坐标系自由矢量在给定坐标系 中中;io r的坐标是终点位

24、置矢量坐标与起点位置矢量坐标之差。的坐标是终点位置矢量坐标与起点位置矢量坐标之差。 前面的讨论是在仿射空间内E n 进行的。在 E n 空间的讨论中建立了点的集合与实数集合的对应关系。并由此定义了位置矢量。并引了平行性、等价矢量等概念，进而给出了自由矢量和自由矢量空间、基底和坐标。为了使矢量空间V具有更丰富的内容，本节将在仿射空间中引进一个新的运算矢量的标量积矢量的标量积。设 V xyz、 、， 并且在标量积作用下具有下列性质性质： xyz、 、i）ii）iii）正定性正定性： xyyxzxyxzyx)(0, 02xxxx（1.4-1） （1.4-2） （1.4-3） 若仿射空间 E n 带有

25、标量积（或称为点乘、点积）运算 ，则称这样的仿射空间为Euclid空间。记为R n 。 对称性对称性：线性性线性性：矢量长度：矢量长度：对任意Vx，定义：2xxxx（1.4-4） 为矢量 Vx的长度。 两两矢量夹角：矢量夹角：若 V、yx，定义： ( , )() ();0( , )180cosx yx yxyx y（1.4-5） ()x y为 V、yx两矢量的夹角。 是非o的矢量，且： ()0 x y（1.4-6） 则称 V、yx正交正交（或垂直垂直）。 两矢量的距离：两矢量的距离：若 ，定义：V、yxyx yxd（1.4-7） 为 x 矢量到 y 矢量的距离。 若 V、yx定理定理1.2 设

26、 iv） V、yx,F 。则： i） ii） iii） xx0 x时： 0 xx yxyxyxy（1.4-8） 证： xxxxx2)()(i） xii） 2xx 由（1.4-3）式可知 02x，所以 02xx)()(0yxxyxxyyiii） 22222yxyxyxxy 22xyyxyx)0, 0(0,0yxxyyxyx yxyx)0, 0, 0(yxyxyxyx或或iv） )()(2yxyxyx222yyxx由iii）的结果得： 222222)(22yxyyxxyyxxyx yxyx证毕。 定理定理1.3 距离具有性质： 0yxdxy 0yxdxyyxddzyzyxxdddi） ii） ii

27、i） （ 时 ) 证： i） ii） iii） 若 xy ，则： 000)(0 xxxxyxd若 xy ，令 xyz ，则： 0zyxyxd（1.4-8式ii） )(1(xyyxyxdxyxyxyd)()() 1(由（1.4-8式iv）可得 ()()xyyzxzdddxyyzxyyzxz 证毕。 Euclid 矢量空间虽然引入了标量积的运算，但标量积是以抽象的形式所定义。为了使抽象的标量积表现为能够具体操作形式，则必须引入标准正交基底。为此有如下 若 i1，in 是 V 的一组基底，且满足： i） ii） 1;(1, )iini0;()iiijii （1.4-10） 则称 i1，in 是 V

28、中的一组基底。 定理定理 1.4nm 1)线性无关。 V中任意一组非零正交矢量r1，rm( 证：如果 orrmm11，且 10m ，则 r1，rm 线性无关。分别用 r1，rm 点乘上式两边得： 011122111rorrrrrrmm 0111111kkmmkkkkkkkkkkrorrrrrrrrrr定义： 01111mmmmmmmmrorrrrrr 0()ijijr r ;0(1,)iiimr r 0111rr 0kkkrr0mmmrr 必然有： 01m因此r1，rm线性无关。 证毕。定理定理1.5设 r1，rn 是V的一组（一般为非正交）基底，那么一定有 V 中的一组标准正交基底 i1，i

29、n ，且：/;(1)iiiiniaa 11();(1)iiiikkkinarr ii （1.4-11） 证：令 111/ rri 1|1i ，显然 。11222)(iirra令 111122rrrrrr r1、r2 线性无关，a2 用 r1 ，r2 线性表示的系数为： 21212211;0rrr 02又 212121112121()0airirii iriri 2a 1i取 222aai ，显然 12i。依次可求至 1ii。 令 kikkiiirrrra11)(111)()(iiiiiiirirr式中i 1，i i-1都可由r 1，r i-1表示。 ，r i 线性表示。且 r 1，r i 线性

30、无关，而 r i 前面系 a i 可由r 1，01i，所以 iao。用i 1，i i-1点乘 a i表达式两边得： ia 1i1iaia， 取 iiiaia，显然 1ii 这一过程一直进行到i = n。最后确定了一组n个两两正交的单位矢量r 1，r n 。 证毕。一但Euclid矢量空间的标准正交基底确定为i 1，i n， 则可建立标准正交坐标系 ;io i。在 ;io i空间V中的矢量 x 可表示为： 坐标系中，矢量1 11 1221() ();,n nn nnxxxxxxVxx xiiiix y)()(1111nnnnxyxxyiiiyx11nnx yx y;,Vx y Vyxyxyxyx

31、yxyxdnnnnnnnnyxiiiiyxyxyxyx,;)()()()()()()(2211111111（1.4-12） 例9：已知 ：123(1 , 1 , 0 ) ;( 0 , 1 , 2 ) ;( 0 , 0 , 3 ) ;rrr123,rrr试证明 是三维矢量空间的一组基底。并由 确定一组标准正交基底。 123,rrr解： orrr332211111222333123123123(0)(02)(003)= (000023)= (0 0 0) , , , , , , , , , , 032000000321321321这是关于 123,行列式： 的齐次线性代数方程，其系数3320011

32、001因此 123,无非零解。 123,rrr线性无关。 是三维矢量空间的一组基底。 123,rrr取 )0 , 1 , 1 (0111222111rri)0 ,21,21(22211()11111111 1(0,1,2)(012 0)(,0)(0,1,2)(,0)(,2)2 22222222arrii 222222221 1114(,2)(,)2 21118181818()( )222aaia 33311322()()1111(0,0,3)(003 0)(,0)2222114114( 003)(,)18181818181822 1(,)33 3 arr iir ii31|a3322 1()3

33、3 3,ia所以最后得一组标准正交基底为： )0 ,21,21(1i2114()181818, i)31,32,32(3i在数学分析的函数理论中， 所谓的函数是指不同的实数域中元素间的对应关系。如： 2)(xxf是将实数域 ),(中的每一个实数与另一个实数域 , 0 中的实数建立了对应的关系。前 一个实数域称为定义域，后 一个实数域称为值域。对二元函数， 其每一个变元都在一个实 数域内取值。因此其定义域是两个实数域。通常将二元函数的定义域形式上记为FF二元函数的值域仍然是实数域。为了与定义域表示形式一致记为 F 。这样以来二元函数可 以描述为一确定的法则 f 将FF中的元素（二元数对）对应到

34、F 中的一个元素（一个实数）。或表示为： :;( , )fFFFf x yz对 n 元函数则有：1:;( ,)nnfFFFf xxz 对于矢量空间。不同的矢量空间中的元素间同样可以建立对应关系。矢量空间之间元素间的对应法则称矢量函数（ 自变量为矢量的矢量值函数 ）。 当然这种法则是各种各样的，但最 重要最基本的是所谓线性函数（或称为线性映射）。这一节就给出矢量空间的线性映射的讨 论，并由此引入张量空间的概念。 设 V 1， ，V m ，W 是m1个矢量空间， V 1， ，V m的维数分别为： m1， ，mm 是一个 V 1， ，V m 中取值到W的一个法则，且 对每一个 (1)iiV imv满

35、足： 1mVVW111111111()()()iiiimiiimiiim,vvvv vvvvv vvvvv vv(1);imF （1.5-1） 多重线性映射：多重线性映射：则 称为多（m）重线性映射。 首先来看两个 FFF的函数 ：:( , )fx yzyxyxf),(, ,x y zF：:( , )fx yz：( , )f x yxy, ,x y zF), 0()0 ,()0 ,()0 ,(),(),()()()()(),(yfxfyfxfyxfyxfyxyxyyxxyyxxf),(),(),(),(),(),(),(),()()()()()()(),(yxfyxfyxfyxfyxfyxfy

36、xfyxfyxyxyxxyyyxxyyxxfff 是二元线性函数， 当然不是线性函数。但可以看出 也具有某种线性叠加的性质，并 f且称 f所具有的这种线性叠加的性质为二重线性。对 f义。对 n 元函数： 容易验证满足（1.5-1）的定nnxxxxf11),(nnxxxxxf211),(称为n元线性函数； ff称为 n重线性函数。由 f和 f以看出 n元线性函数是实数加 还可法法则所确定的；而 n 重线性函数是实数的乘法法则所确定的。将 n 元线性函数和 n重线 性函数的概念应用到Euclid矢量空间上就得到了矢量 空间的线性映射（不再称为函数）和 多重线性映射的概念。而更一般意义上的多重线性映

37、射正是（1.5-1）式所定义的多重线性映射。 设V是三维Euclid空间，由（1.5-1）式可得 WVV的二重线性映射 满足： ),(),(),(),(),(),(),(212121212212212211vvvvvvvvvvvvvvvvvv11VvvV22vv并且 Ovoov),(),(21作为例子。图1-10给出了坐标系为 123; , ,o i i i的Euclid矢量空 间。设 是一个二重线性映射。且 将第一个矢量空间的 i 1，第二个矢量空间的 i 2 映射为 （ i 1， i 2） ；将第一个矢量空间的i 1，第二个矢量i 3空间的映射为 （i 1，i 3）；将第一个矢量空间的 i

38、 2 ，第二个矢量空间的 i 2 的映 射为 （ i 2， i 2 ） 将第一个矢量空间的 i 2 ，第二个矢量空间的 i 3映射为 （ i 2， i 3 ）。 那么第一个矢量空间的 x1 x2 面内的任意矢量v1和第二个矢量空间x2 x3 面内 的 任意矢量 v2 被 映射为： 1211 112 222 223 311 122 223 312 222 223 311 122 211 123 312 222 212 223 311 121211 2313122212122323( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)( ,)( , )( ,)( , )vvvvvvvvvvvvvvvv

39、vvv vv vv vv vv viiiiiiiiiiiiiiiiiii ii ii ii i 1vo2vo11122223,vvvv不全为零。 令： 11 121211 2313122222122323;v vv vv vv v则： 121212131322222323( ,)( ,)( , )( ,)( , ) v vi ii ii ii i这表明 ),(21vv可以看作是 12132223( ,),( , ),( ,),( , )i ii ii ii i的线性表示。或者说二重线性映射 将第一个矢量空间 x1 x2 平面内的矢量 v1和第二个矢量空间x2 x3平面内的矢量 v2 映射到了W

40、矢量空间的 （ v 1， v 2 ）。且（ v 1， v 2 ） 可以用W中的 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。若另取第一个矢量空间x2 x3平面内的矢量 22vv ，则可得另一个二重线映射 值： ),(),(),(),(),(322322223113211221iiiiiiiivv显然 将 21,vv21,vv和 映射到了W中的两个不同元素。同时这 两个W中的元素都能够用 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。 但如果在第一个矢量空间x1 x2 平面内取一矢量 1v，在第

41、 二个矢量空间x1 x2 平面内取一矢量 2v。容易验证 ),(21vv将不能用 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。问题产生的原因在于当确定 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i时只考虑了第一个矢 量空间x1 x2 面内的矢量和第二个矢量空间x2 x3 矢量。 面内的 如果在两个矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空间中最大维数 的矢量（在 图1-10中最大维数为 3 ），这时将不会产生以上的情况 。就是说两个矢量空间的矢量取为： 111 112 213 31

42、11213221 122 223 3111213;,0;,0vvvvvvvvvvvvviiiviii此时有：),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(33332332133132232222122131132112111133231323221313211332231222221212211231231121221111211132322212131321211121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiivvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv即 ),(21v

43、v可用： 111213212223313233( , );( ,);( , );( , );( ,);( , );( , );( ,);( , );i ii ii ii ii ii ii ii ii i线性表示。由于这9个W中的元素相互之间不能相互表示，且对任意 21,vv( 可以不是张开到最大维数的三维矢量）， 21,vv显然W是九维矢量空间。 都可由（a）线性表示。因此（a）是W的一组基底。 ),(21vv （a） 上面的例子给出了 WVV的二重线性映射 。若 是张开到最大的二重线性映射，则称为张映射。张映射习惯上使用 表示。即： :VVWVV对m重张映射有：:mmmVVWVVP （1.5

44、-4） （1.5-3） 带有张映射的线性空间 mPVV称为 m 阶张量空间。若V是三维Euclid空间，容易推知 是 3m 维空间。mPVVm 阶张量空间的元素称为m 阶张量。 若V是三维Euclid矢量空间，前面例子中通过张映射 了二阶张量空间 给出VVP2。且（a）式中的 用 由（1.5-5）式得 表示，并的基底为： VVP2332313322212312111,iiiiiiiiiiiiiiiiii（1.5-6） 在张量分析中大量涉及诸多乘积（数量的乘积、张映射 的乘积）项的求和。为表示简明，采用Einstein求和约定求和约定： 在每一个乘积项中下标重复一次且仅重复一次表示从在每一个乘积项中下标重复一次且仅重复一次表示从1到到 n（对三维（对三维Euclid空间空间n=3）求和）求和。对于二阶张量空间，由于其基底是（1.5-6）所示的九个量。因此二阶张量空间中的元素一二阶张量都可由（1.5-6）的基底线性表示。若二阶张量用大写粗体字母表示（有时二阶张量也用小写粗体表示。如习惯上应力张量、应变张量用希腊字母的粗体 、 表示）。则： 11 1112 1213 1321 2122 2223 2331 3132 3233 33;( ,1,2,3)ij ijijAAAAAAAAAAAFi