第四节多元复合函数微分法PPT学习教案

1、会计学1第四节多元复合函数微分法第四节多元复合函数微分法( ( , ),( , )zfx yx y定理定理. 若函数( , ),( , ),ux yvx yx y在点有偏导数),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 (x,y) 可导, zzuzvxuxvxz则复合函数且有链式法则xyzzuzvyuyvyxyvu第1页/共31页222ln(),x yzzzuv uevxyxy求222222222222222222222,2 ,2,211,2122()21211(4x yx yx yxyxyx yxyuvuexyexxyvzuzyuuvvuvzzuzvuexxuxvxuvuvexexyzz

2、uzvuyeyuyvyuvuvyexy因为所以2221)xye第2页/共31页22()xyzxy221122222222222222,2 ,2 ,ln2(ln )2() ln()2() ln()vvvvvxyxyuxyvxyzuuvuvzzxyyxvuuuxxyyuvzzuzvvuxuu yxuxvxx yxyyxyxyzxyxyxxyyxy令则，因为第3页/共31页dzz duz dvdxu dxv dx第4页/共31页222sin2cos( 2) 2(cos4 )uvuvxxdzz duz dvdxu dxv dxexexexx22,sin ,uvzeux vx第5页/共31页uvxuxv

3、xuvyuyvyuvzuzvz第6页/共31页2(,),f xxy xyzxyz求2,2ux vxy txyzuvtxyyzxuxvxtxuvtuvtxxzyuyvytyvtuvtxyzuzvztzt设，则第7页/共31页1,0,0,1,vtvtxxyyzfufzfufxuxxyuyy 即第8页/共31页()zzxy或 ( , ), , zfx y x y()ffxy或 , , zf u x y()zzxy或()zzxy或()ffxy或第9页/共31页cos ,cossinuxyzfuf dxffyxuxx dxuxzfufxyyuyu 设则( , cos ),zzzf x xyxy设求第10

4、页/共31页/00,yxyydyFdxFdyFdxF /x设方程F(x,y)=0确定了隐函数y=f(x)，将其代入方程得 F(x,f(x)=0两端对x求导，得 F若则有第11页/共31页/( , , )0( , ),( , ) , ,( , )00,00,zyzyzzzF x y zzf x yzf x yF x y f x yzzFFFxyFzzFxFyF /x/x若方程确定了隐函数将代入方程，得两端对x,y求偏导数，得FF若则有，第12页/共31页2261,dyxydx例 求22( , )1,2 ,222xyxyF x yxyFx FyFdyxxdxFyy 解 因为 所以 第13页/共31

5、页22222222227234 ,( , , )234 ,24,4 ,6242634263221()( )3321222(2()()333xyzxzyzyzzzxyzxxyx yF x y zxyzxFxFy FzFzxxxFzzFzyyyFzzzxxx yyzzxzxyzyzz 例 求解 令则得2)9x yz第14页/共31页,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导第15页/共31页设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边

6、对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz第16页/共31页,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx第17页/共31页,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2

7、xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2第18页/共31页,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第19页/共31页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyx

8、zyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第20页/共31页(当 在二、三象限时, )xyarctan二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos第21页/共31页yuyrru2221)(1,yxxyry

9、yrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxuryru2rxuuryxyx第22页/共31页 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式第23页/共31页22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin

10、2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru第24页/共31页设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.第25页/共31页1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如

11、例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d第26页/共31页0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在第27页/共31页1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz第28页/共31页zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf第29页/共31页德国数