第二章第五节函数的微分PPT学习教案

1、会计学1第二章第五节函数的微分第二章第五节函数的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其第1页/共23页的微分微分,)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x

2、点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,第2页/共23页定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0第3页/共23页定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条

3、件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则第4页/共23页注注: :0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当第5页/共23页 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1x2x

4、函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例2 求函数 yx3当x2 x 002时的微分 yf(x)在点x0可微yAxo(x) dy= f (x0)x 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, x=0.02第6页/共23页 当|x|很小时 |ydy|比|x|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 y是曲线上点的纵坐标的增量; dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+x时

5、二、微分的几何意义则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记第7页/共23页d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (

6、csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则第8页/共23页axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式: 导数公式: 第9页/共23页2、 微分的四则运算法则微分的四则运算法则设 u(x) , v(x)

7、均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变3. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第10页/共23页 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例3 ysin(2x1) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du 解 把2x1看成中间变量u 则 例4 例例

8、 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 第11页/共23页例例5. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyx

9、sin)sin(例例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意: 数学中的反问题往往出现多值性.第12页/共23页四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算 )()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:第13页/共23页特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()

10、(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明:令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (第14页/共23页180dx29sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxf取300 x,62929180 x则2123)0175. 0(485. 06sin6cos)180(例例7. 求18029sin29sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8. 计算xx1)1 (第15页/共23页例例9. 有

11、一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 第16页/共23页2.误差估计 某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限第1

12、7页/共23页误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x ,第18页/共23页例例10. 设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圆钢截面积 ,解解:计算 A 的绝对误差限约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差 . 计算(mm)第19页/共23页练习练习1.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21dtan2.dsinxxx3sec3. d( )sin2 dxxCx2cos21第20页/共23