理科小综合--立体几何

1、2021届高三理科数学小综合专题练习立体几何东莞实验中学陈德煜老师提供一、选择题：1以下命题中，正确的选项是 A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形2在空间中,给出下面四个命题,那么其中正确命题的个数为( ) 过平面外的两点,有且只有一个平面与平面垂直； 假设平面内有不共线三点到平面的距离都相等，那么； 假设直线与平面内的无数条直线垂直，那么； 两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线；3图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心

2、为顶点的圆锥而得。现用一个竖直的平面去截这个几何体，那么所截得的图形可能是 41235A12 B13 C14 D154一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是 A B C D5如左图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是 A B C D 二、填空题：6如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的外表积是 ，体积是 ABCDA1B1C1D1EO7是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图

3、，假设的面积为，那么ABC的面积为_。8边长为正方体，为上底面的中心，为棱上的一点且的长为最小，那么最小值是 。9在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为 .10在空间直角坐标系中，点A1，0，2，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，那么M的坐标是_。三、解答题：46422EDABCFG211如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和侧视图在下面画出单位：cm在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；按照给出的尺寸，求该多面

4、体的体积；在所给直观图中连结，证明：面12如图1,在直角梯形中, 为线段沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面；ABCD图2M() 求二面角的余弦值.BACD图1M.ABCBAADACA13如图，在直三棱柱中, ， ，是的中点.求证：； 求二面角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值.14如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD,且PB=PC=.求证：ABCP；求点到平面的距离；设面与面的交线为，求二面角的大小15如图，直三棱柱A1B1C1ABC中，C1C=CB=CA=2，ACCB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.(1)

5、求二面角BA1DA的大小；(2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1BD？假设存在，确定其位置并证明结论；假设不存在，说明理由.16如图，在Rt中，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为. 求证：；当点为线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；求四棱锥体积的最大值.2021届高三理科数学小综合专题练习立体几何参考答案一、选择题：题号12345答案DADCB二、填空题：6 12 ， 7 _。8 。 9 1：4 .10 _(0，-1，0)_。三、解答题：11解：如图4642224622俯视图正视图侧视图所求多面体体积。证明：在 HYPERLINK :/ mathschi

6、na 长方体中，ABCDEFG连结，那么因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面12解:1在图1中,可得,从而,故取中点连结,那么,又面面,面面,面,从而平面, 又, 平面xABCDMyzO2建立空间直角坐标系如下图,那么, 设为面的法向量,那么即,解得 令,可得又为面的一个法向量二面角的余弦值为.13解：取的中点，得，又直三棱柱，所以面底面，故平面，以的中点为原点，建立空间直角坐标系如图.由可得、 、.证明：，.因为，所以.解：.设平面的一个法向量为，由 得 解得所以.又知，平面，所以为平面的法向量.因为 ,所以 由图可知，二面角大于90，所以二面角的余弦值为. 由可知平面的一个法向量,又

7、.所以 .因为直线与平面所成角为,所以直线与平面所成角的正弦值为. 14解： 底面ABCD是正方形，ABBC,又平面PBC底面ABCD 且 平面PBC 平面ABCD=BCAB 平面PBC 又PC平面PBC ABCP 解法一：体积法.由题意，面面，取中点，那么面.再取中点，那么 设点到平面的距离为，那么由. 解法二：面 ，取中点，再取中点，过点作，那么在中，由点到平面的距离为。解法三：向量法略设 ，面就是二面角的平面角.二面角的大小为45. 方法二：向量法略.15解：1A1B1C1ABC为直三棱柱 C1C=CB=CA=2 , ACCB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如下图的坐标系得C0，0，0 B2，0，0 A0，2，0C10，0，2 B12，0，2 A10，2，2D0，0，1 E1，0，2 设平面A1BD的法向量为平面ACC1A1的法向量为=1，0，0 即二面角BA1DA的余弦为2在线段AC上存在一点F，设F0，y，0使得EF平面A1BD 欲使EF平面A1BD 由1知，当且仅当/ 存在唯一一点F0，1，0满足条件. 即点F为AC中点16证明：在Rt中，. 又，平面. 又平面，()：如图，以为原点建立空间直角坐