《 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

1、?第13章 三角形中的边角关系、命题与证明?学习要求：1理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。2掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4了解三角形的稳定性。知识要点：一、三角形中的边角关系1三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。注意：三角形的中线平分三角形的面积。2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看

2、两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。3三角形各角之间的关系： 三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180。 三角形的外角和等于360每个顶点处只取一个外角； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：三角形按角的关系可以如下分类：5三角形具有稳定性。知识结构：二、命题与证明1判断一件事情的句子是命题，疑问句、感慨句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2命题都可以写成：“如果，那么。的形式。为了语句通顺往往要加“字，但不改变顺序。3命题由题设、结论两局部组成。“如果后面的是题设，“那么后面

3、的是结论。4命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。7定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：1两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。2两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。3角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。4线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。5三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。6

4、三角形全等：“SSS、“SAS、“ASA。全等三角形的对应边相等，对应角相等。7等腰三角形的判定与性质。8直角三角形的判定与性质。9反证法假设，推理，矛盾，结论。?第13章 三角形中的边角关系、命题与证明?练习题一、填空题：1三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，那么第三边是_ _，这个三角形是_ _三角形。2三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_ _。3三角形的三边长分别为，那么的取值范围是_ _。4三角形的三边为，那么的取值范围是_ _。5a，b，c为ABC的三条边，化简 eq r(a+b-c)2 )|bac|_ _。6在ABC中，ABAC，AD是

5、中线，ABC的周长为34cm，ABD的周长为30cm， 求AD的长。7如图，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为28 cm，那么DB_ _。8. 等腰三角形两边长分别为4和9，那么第三边的长为_ _。9. 等腰三角形的周长为20cm， 1假设其中一边长为6cm，那么腰长为_ _；2假设其中一边长为5cm，那么腰长为_ _。10等腰ABC中，ABAC，BC6cm，那么ABC的周长的取值范围是_ _。11等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两局部，那么此三角形的底边长为_ _。12等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘

6、米两局部，那么此三角形的底边长为_ _。13写出“等腰三角形两底角相等的逆命题_。14一个等腰三角形两内角的度数之比为14，那么这个等腰三角形顶角的度数为_ _。15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。16三角形的三个内角中至少有_ _个锐角，三个外角中最多有_ _个锐角。17在ABC中，假设C2AB，那么C_ _度。18在ABC中，A BC，那么B_ _。19如果ABC的一个外角等于150，且BC，那么A_ _。20如图，120，225，A50，那么BDC的度数是_ _。21如图，在ABC中，A80，ABC和ACB的外角平分线相交于点D，那么BDC_ _。22纸片ABC中，A

7、65，B75，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内如图，假设120，那么2的度数为_ _。第20题图 第21题图 第22题图23纸片ABC中，A65，B75，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外如图，假设220，那么1的度数为_ _。24认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1：如图1，在ABC中，O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现BOC90 A，理由如下：BO和CO分别是ABC和ACB的角平分线，1ABC，2ACB12 (ABCACB)又ABCACB180A12 (180A)90ABOC1801218090A90A。探究2：如图2中，O

8、是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，试分析BOC与A有怎样的关系？请说明理由。探究3：如图3中，O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO的交点，那么BOC与A有怎样的关系？只写结论，不需证明。结论： 。 25如图，A80，1假设点O为两角平分线的交点，那么BOC_ _；2假设点O为两条高的交点，BOC_ _。26. 如图，ABC的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE2EC，O为DC与BE交点，假设DBO的面积为，CEO的面积为，那么_ _。27如图，ABC的B的外角的平分线与C的外角的平分线交于点P，连接AP。假设BPC50，那么PAC_ _度。第25题图 第26题

9、图 第27题图202728如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，假设BPC40，那么CAP_ _度。二、选择题：1在以下长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的 A7cm B4cm C3cm D10cm2假设ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，那么这个三角形的最大边长为 A.7 B.6 C.5 D.43假设ABC的三边之长都是整数，周长小于10，那么这样的三角形共有 A6个 B7个 C8个 D9个4三角形的三边分别为3，12a，8，那么a的取值范围是 A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5或a25. 一个三角形的周长为奇

10、数，其中两条边长分别为4和2021，那么满足条件的三角形的个数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为A.4 B.3 C.2 D.17等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两局部，那么此三角形底边之长为 A7 B11 C7或11 D不能确定8一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是 A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形9一个三角形三个内角度数的比是156，那么其最大内角的度数 A60 B75 C90 D12010如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形

11、 C.直角三角形 D. 斜三角形11三角形的一个外角大于相邻的一个内角，那么它是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定12在ABC中，如果AB90，那么ABC是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形13. 三角形中，最大角的取值范围是 A. B. C. D. 14在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，那么A的度数为 A30 B36 C45 D7215直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 A.45 B.135 C.45或135 D.以上答案都不对16如图，ABC中，A50，点D、E分别在AB、AC上，那么12的大小为 A130

12、 B.230 C.180 D.31017如图，A32，B45，C38那么DFE等于 A.120 B.115 C.110 D.105ADB1CE2第16题图 第17题图18在ABC中，B50，ABAC，那么A的取值范围是 A0A180 B0A800C50A130 D80A13019假设、是三角形的三个内角，而，那么、中，锐角的个数的错误判断是 C A可能没有锐角 B可能有一个锐角C可能有两个锐角 D最多一个锐角20如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形21在ABC中如图1，假设P点是ABC和A

13、CB的角平分线的交点，那么P90A；如图2，假设P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，那么PA；如图3，假设P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，那么P90A。上述说法正确的个数是 A0个 B1个 C2个 D3个22. 如下图，在ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE 的中点，且，那么S阴影等于 A.2cm2 B.1cm2 C 2 D 223如图，ABC为直角三角形，C90，假设沿图中虚线剪去C，那么12等于 A315 B270 C180 D13524. 如图，在ABC中，D是BC上一点，假设，那么与的关系为 A. B. C. D. 第22题图 第23题图 第24题图25如图，

14、把ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A/的位置，那么A、1与2的数量关系，结论正确是A12A B1222AC212A D12A226如图，ABC的两个外角的平分线相交于D，假设B50，那么ADCA60 B80 C65 D4027如图，ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，假设BPC35，那么CAPA.45 B.50 C.55 D.65第25题图 第26题图 第27题图三、解答以下各题： 1ABC的三边长分别为4、9、x，求x的取值范围；求ABC周长的取值范围；当x为偶数时，求x；当ABC的周长为偶数时，求x；当ABC周长是5的倍数时，求x；假设ABC为等腰三角形，求

15、x。2ABC的三条边为整数，且，求的值。3对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出以下五个论断：1ab；2bc；3ab；4ac；5ac。以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。4证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。5有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？6如图，在ABC中，A96，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于，BC与CD的平分线相交于，依此类推，BC与CD的平分线相交于，那么的大小是多少？7在ABC中，A50，高BE，CF所在的直线交于点O，求BOC的度数。 81如图a，在AB

16、C中，CB，ADBC于D，AE平分BAC，那么EAD与B，C有何数量关系？ 2如图b，AE平分BAC，F为其上一点，且FDBC于D，这时EFD与B、C又有何数量关系？ 3如图c，AE平分BAC，F为AE延长线上一点，FDBC于D，这时AFD与B、C又有何数量关系？ 9如图，P为ABC内任意一点，求证：BPC A；BPCABPAACP；ABACPBPC。10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形1图1中是一个五角星，求ABCDE。 2图1中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？即CADBCDE如图2，说明你的结论的正确性。3把图2中点C向上移动到BD上，五个角的和即CADBACEDE有无变化？

17、如图3，说明你的结论的正确性。11如图ABC中，B和C外角平分线相交于点P。1假设ABC30，ACB70，求BPC度数。2假设ABC，BPC，求ACB度数。12ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是ABC边上的两点。1如果纸片沿直线脚折叠，使点A正好落在线段AC上，如图1，此时A与BDA的关系是 ；2如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的内部，如图2，试猜测A和BDA、CEA的关系是 BDA+CEA=2A；3如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的外部，如图3，那么此时A和BDA、CEA的关系是 BDA-CEA=2A，请说明理由。13如下图，BE、CD交于A点，C和E的平分线相交于F。

18、1试求：F与B，D有何等量关系？2当BDF24x时，x为多少？14假设ABC的三边之长都是整数，周长小于10，那么这样的三角形共有几个？15有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“ABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c的值满足等式|bc2a|bc520，求b的取值在什么范围？。你能解答这道题吗？16在 ABC中，ABC ，且A4C，求B的范围。17在ABC中，A是最大角，C是最小角，且A2C，求C的取值范围。?第13章 三角形中的边角关系?练习题答案一、填空题：18，等腰。 22。 3。 4 52b2c。 6AD13cm。 78cm； 8. 9。9.16cm或7cm；2cm。 10

19、周长12。 111。 1210厘米或厘米。 13有两个角相等的三角形是等腰三角形； 1420或120； 1560，60； 162，1； 17120； 1860； 1930或120； 2095； 2150； 22解：如图，CEFCFECABC，CEFCFEAB8555140，又将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，CEFCFCEFCFE140，CECCEC140140280，120，21802CECCE答案为：60。23解：如图，A65，B75，C180AB180657540；又将三角形纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，CC40，而325C180，54C440，220

20、，32044040180，3480，118080100。故答案为100。24BOCA，BOC90A； 25. 1130；2100或80； 26. 2； 27解：延长BA，做PNAD，PFBA，PMBC，设PCDx，CP平分ACD，BCPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，APC50，BAPPACx50，ABCBCDBAC2xx50 x50100，CBF100，在RtPFB和RtPMB中，PAPA，PMPF，RtPFBRtPMB，FAPPAC40。2850。二、选择题：1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D

21、 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C 27C。考点：三角形内角和定理。分析：根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案。解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC35，ABPPBCx35，BACACDABC2xx35x3570，CAF110，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFAR

22、tPMA，FAPPAC55。应选C。三、解答以下各题：15x13；18ABC的周长26；当x为偶数时， x6、8、10、12；当ABC的周长为偶数时， x7、9、11；当ABC周长是5的倍数时，x7、12；假设ABC为等腰三角形，x9。2，那么整数。3答案不惟一，如果，那么；如果，那么；如果，那么等。4要画图，写、求证、证明。56种4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、1263。7BOC50或130；8解：1ADBC，ADC90， CAD90C AE平分BAC， EACBAC，BAC180B CEAC180B C90B C，EADEAC CAD90B

23、C90C (CB)。 2如图b，过A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，FDBC，AGCFDG90，FDAG，EFDEAG，EFD(CB)。 3如图c，过点A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，FDBC，AGBFDC90，FDAB，AFDEAG，AFD(CB)。 说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像此题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。9延长BP交AC于D。BPCPDCA；BPCPDCACP；PDCAABP；BPCAABPACP。ABADBD。PDDCPC。ABADPDDCBDPC。ABACPBPC。