第二章 晶体学对称性1

1、主要内容主要内容 晶体的平移对称性：三维点阵和晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素： (旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋轴和滑移面)晶体学点群晶体学点群，晶系和点阵型式晶系和点阵型式空间群及其应用：空间群及其应用：空间群符号，等效点系，空间群符号，等效点系，分数坐标，不对称单位分数坐标，不对称单位对称性的不同含义 物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元的排列构型的精确对应。的

2、排列构型的精确对应。晶格晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性 在每个重复周期都选取一个代表点，就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。而平移对称性是晶体最为基本的对称性平移对称性是晶体最为基本的对称性。整个点阵沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v， w为任意整数) 平移，得到的新空间点阵与平移前一样，称沿矢量沿矢量t的平移为的平移为平移平移对称操作对称操作。晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性 点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三量，点阵按此矢量平移后都能复原。三

3、维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a， b和和c作作为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：下： 此平行六面体称为晶胞。此平行六面体称为晶胞。晶胞晶胞如上确定的六面体称为晶胞，由矢量如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a， b和和c确定的方向确定的方向称为晶体学的晶轴称为晶体学的晶轴 X， Y， Z。如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的如果晶胞中只包含一个阵点，则

4、这种晶胞被称为初基的 (primitive)。晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个边的长度个边的长度a， b， c,三个边之间的夹角三个边之间的夹角a a， b b， g g表示。表示。晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。了晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。 一般写作：晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元 或者晶体结构或者晶体结构=结构基元结构基元点阵点阵晶胞的选取晶胞的选取（1 1）符合整个空

5、间点阵的对称性。）符合整个空间点阵的对称性。（2 2）晶轴之间相交成的直角最多。）晶轴之间相交成的直角最多。（3 3）体积最小。）体积最小。（4 4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角。角接近直角。晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞使用对称性较高的非初基胞- -惯用晶胞。惯用晶胞。点阵、结构点阵、结构和

6、单胞和单胞 点阵：点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构( (分子分子) ) 。 点阵矢量：点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。的平移。 初基点阵矢量：初基点阵矢量： 可选择的最小点阵矢量。可选择的最小点阵矢量。 初基晶胞：初基晶胞： 初基点阵矢量定义的平行六面体，初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个仅包含一个点阵点。点阵点。 晶体结构：晶体结构： 原子在晶体中的周期性排列。原子在晶体中的周期性排列。 它可它可以通过在每个点阵点安放一个称为基元（或型主）以通过在每个点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原

7、子来描述。的一组原子来描述。不要混淆点阵点和原子不要混淆点阵点和原子阵点是在空间中无穷小的点。阵点是在空间中无穷小的点。原子是实在物体。原子是实在物体。 阵点不必处于原子中心。阵点不必处于原子中心。 晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元晶体结构是在每晶体结构是在每个点阵点上安放个点阵点上安放一个结构基元。一个结构基元。三维晶胞的原子计数三维晶胞的原子计数在晶胞不同位置的阵点由不同数目的在晶胞不同位置的阵点由不同数目的晶胞分享：晶胞分享： 顶角阵点顶角阵点 1/81/8 棱上阵点棱上阵点 1/41/4 面上阵点面上阵点 1/21/21.1. 晶胞内部阵点晶胞内部阵点 1 1顶点顶点A由由

8、8个初基单胞（晶胞）分享个初基单胞（晶胞）分享石墨晶体结构具有六角单胞、晶轴和四种不同晶格配位的理想石墨晶体结构三维点阵和晶胞使用矢量使用矢量a、b和和c 指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢量量(r)满足关系，满足关系， r = ua + vb + wc, ， 其中其中u、v和和w是整数。是整数。指定晶体中的任意点：指定晶体中的任意点： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中，其中u， v， w为整数为整数r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc)x, y, z是在晶胞之内指定一个位置的是在晶胞之内指定一个位置

9、的分数座标分数座标。 x, y, z用晶用晶胞边长的分数表示，在胞边长的分数表示，在0-1之间变化之间变化。晶胞原点的分数坐晶胞原点的分数坐标总是标总是0，0，0。 用相同用相同分数座标分数座标x、y和和z指定的所有位指定的所有位置都对称等价。（置都对称等价。（由于晶体的三维周期性，在分数坐标上由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加减任意整数，仍然表示平移对称的等价位置。加减任意整数，仍然表示平移对称的等价位置。）晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素 在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为作称为点对称操作点对称操作，如简单旋转和镜像转动，如

10、简单旋转和镜像转动( (反映反映和倒反和倒反) )是是点式操作点式操作; ;使空间中所有点都运动的对使空间中所有点都运动的对称操作称为称操作称为非点式操作非点式操作，如平移，螺旋转动和滑，如平移，螺旋转动和滑移反映。移反映。 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的。对称图像是部分或单元按照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为复原的图像。这样的操作称为对称操作。对称操作。对称操作和对称元素对称操作和对称元素对称操作对称操作：

11、 一个物体运动或变换，使得变换后的物体一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换前不可区分（复原，重合）。与变换前不可区分（复原，重合）。空间群空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由由 32 晶晶体学点群与体学点群与 14个个Bravais 点阵组合而成；空间群是一点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移

12、面对称性操作的组合。面对称性操作的组合。 点群点群： 至少保留一点不变的对称操作群。至少保留一点不变的对称操作群。 对称元素对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。轴或面。 全同操作全同操作(1)全同操作全同操作(Identity)，符号表示为，符号表示为1 (I or E)，对对应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵为单应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵为单位矩阵。位矩阵。矩阵表示矩阵表示注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼符号表示为国际符号也称为赫尔曼- -毛古因毛古因Hermann-MauguinHermann-Mauguin符号，

13、括号内为熊夫利斯符号，括号内为熊夫利斯Schnflies Schnflies 符号。符号。旋转轴旋转轴 (2)旋转轴旋转轴(旋转轴旋转轴) ：绕某轴反时针旋转绕某轴反时针旋转q q =360/n度，度， n称为称为旋转轴的次数旋转轴的次数(或重数或重数)，符号为符号为n (Cn)。其变换矩阵为：。其变换矩阵为：cossinsincosqqqq00001旋转矩阵旋转矩阵aaaaaaaasincos)sincoscos(sin)sin(sincos)sinsincos(cos)cos(sincos11211211xyrryyxrrxryrx 1000010000111222112112 cossi

14、nsincos)(cossinsincossincossincoszRzyxzyxxyyyxx矩阵乘法zyxzyx1000100012次轴旋转矩阵(3)倒反中心倒反中心( (Inversion center) 倒反中心：倒反中心：也称为也称为反演中心反演中心或对称中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反它的操作是通过一个点的倒反(反反演演)，使空间点的每一个位置由坐标为，使空间点的每一个位置由坐标为( (x，y， z)变变换到换到(- x， - y， - z)。符号为。符号为1(i) 1(i) ，变换矩阵为，变换矩阵为(4)(4)反映面反映面-镜面镜面

15、m 010 (x、y， z) = (x， - y， z) 反映面，反映面，也称镜面也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。取一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。符号为符号为m (s s)。 zyxzyxzyx100010001 为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的法线。如法线为面的法线。如法线为010的反映面，可记为的反映面，可记为m 010。镜面类

16、型和矩阵表示镜面类型和矩阵表示通过通过yz面的反映面的反映 对称平面（或镜面）对称平面（或镜面），可以平行于，可以平行于(vertical ) 主主轴用轴用v表示或表示或 垂直于垂直于(horizontal ) 主轴用主轴用s sh表示。表示。 镜面平分二个镜面平分二个C2轴夹角的平面叫作双面镜面轴夹角的平面叫作双面镜面 （ dihedral plane ）用）用d表示。表示。 zyxzyxv100010001s s(5)(5)旋转倒反轴旋转倒反轴- -反轴反轴 组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称操作。其矩阵表示为操作。其矩阵表示为：1

17、 0001 00010000100001cossinsincoscossinsincosqqqqqqqqn 旋转倒反轴，简称反轴旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操其对称操作是先进行旋转操作作(n)后立刻再进行倒反操作后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称这样的复合操作称为反轴记为为反轴记为 (6)(6)旋转反映轴旋转反映轴-映轴映轴 1000010000100010001cossinsincoscossinsincos 旋转反映轴，旋转反映轴，简称映轴简称映轴( (rotoreflection axi

18、s)，其，其对称操作是先进行绕映轴的旋转操作对称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再后立刻再对垂直于该映轴的反映面进行反映操作对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为符号为 (Sn)，设对称轴沿设对称轴沿001方向，其矩阵表示为：方向，其矩阵表示为： 旋转反映旋转反映Sn旋转反映旋转反映 Sn，包括绕对称，包括绕对称轴的逆时针旋转轴的逆时针旋转360 /n，接，接着作垂直反射。着作垂直反射。旋转反演和旋转反映旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被被(译译)称为异常旋转、非真旋称为异常旋转、非真旋转、不当旋转等。转、不当旋转等。 反轴和映轴间的对应关系反轴和映轴间的

19、对应关系 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在所以在新的晶体学国际表中只用新的晶体学国际表中只用反轴反轴。 所有的点对称操作实际上可以简单的分为简所有的点对称操作实际上可以简单的分为简单旋转操作和旋转倒反操作两种。全同操作就是单旋转操作和旋转倒反操作两种。全同操作就是一次真旋转轴，倒反中心为一次反轴，镜面为二一次真旋转轴，倒反中心为一次反轴，镜面为二次反轴，所有映轴都可以用等价反轴表示。次反轴，所有映轴都可以用等价反轴表示。反轴和映轴间的对应关系反轴和映轴间的对应关系36_,44_,63_,12_,21_ 旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对

20、旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应关系，旋转角度为应关系，旋转角度为q的反轴和旋转角为的反轴和旋转角为(q-p)的映的映轴是等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的轴是等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示矩阵看出。所以表示矩阵看出。所以1次，次， 2次，次， 3次，次， 4次和次和6次次反轴分别等价于反轴分别等价于2次，次， 1次，次， 6次，次， 4次和次和3次映轴。次映轴。 非点式对称操作非点式对称操作 非点式对称操作：是由点式操作与平移操非点式对称操作：是由点式操作与平移操作复合后形成的新的对称操作，平移和旋作复合后形成的新的对称操作，平移和旋转复合能导出螺旋旋转，平移和反

21、映复合转复合能导出螺旋旋转，平移和反映复合能导出滑移反映。能导出滑移反映。(7)(7)螺旋轴螺旋轴pn 21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。 螺旋轴：螺旋轴：先绕轴进行逆时针方向先绕轴进行逆时针方向360 /n的旋转，的旋转，接着作平行于该轴的平移接着作平行于该轴的平移，平移量为平移量为(p/n) t，这里这里t是平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量，符号是平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量，符号为为 ，n称为螺旋轴的次数，称为螺旋轴的次数， ( (n可以取值可以取值2,3,4,6)，而而p只取小于只取小于n的整数。所以可以有以下的整数。所以可以有以下11种螺旋种螺

22、旋轴：轴：二次螺旋轴二次螺旋轴旋转旋转180 平移量平移量t21螺旋轴螺旋轴 21，31 ，32 ，63螺旋轴螺旋轴41，42 ，43 41和和43彼此对映。彼此对映。当其中之一是左手当其中之一是左手螺旋时，另一个为螺旋时，另一个为右手螺旋。右手螺旋。 螺旋轴螺旋轴61，62，63，64石英结构中的六次螺旋轴石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近的螺旋链 。 在如下左边其中一个三次螺旋，右方显示的是螺旋连接构成晶体框架。/dutchs/PETROLGY/QuartzStruc.HTM (8)(8)滑移面滑移面 滑移反映面，滑移反映面， (滑移面滑移面)简

23、称滑移面简称滑移面，其对称操作是其对称操作是沿滑移面进行镜面反映操作，然后接着进行与平行沿滑移面进行镜面反映操作，然后接着进行与平行于滑移面的一个方向的平移，平移的大小与方向等于滑移面的一个方向的平移，平移的大小与方向等于滑移矢量。于滑移矢量。 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位置与起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平置与起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平移量等于该方向点阵平移周期的一半。移量等于该方向点阵平移周期的一半。（9）滑移反映）滑移反映不对称单位先经镜面反射，然后沿平行于镜面的不对称单位先经镜面反射，然后沿平行于镜面的方

24、向平移。方向平移。 滑移反射改变了不对称单位的手性。滑移反射改变了不对称单位的手性。 滑移面分类 轴向滑移面：沿晶轴轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移方向滑移; ; 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平移分量为对角线一半平移分量为对角线一半; ; 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平移分量对角线移，平移分量对角线1/4的对角滑移面。的对角滑移面。只有在体心只有在体心或面心点阵中出现或面心点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点个阵点，所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。阵周期的一半。镜面