第15章电路方程的矩阵形式(丘关源)

1、第十五章第十五章电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式重点：重点：(1)关联矩阵关联矩阵A、割集矩阵、割集矩阵Q及基本割及基本割集矩阵集矩阵Qf、回路矩阵、回路矩阵B及基本回及基本回路矩阵路矩阵Bf 的概念及其列写方法；的概念及其列写方法；(2)回路电流方程、结点电压方程、回路电流方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式及其列割集电压方程的矩阵形式及其列写方法。写方法。4-215.0 电路的图的复习电路的图的复习一、电路的图一、电路的图(简称简称G)的画法的画法图图G抛开元件性质抛开元件性质只画支路和结点只画支路和结点6543217有向图有向图支路方向支路方向(电压电电压电流的关联方向流的关联

2、方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5n(结点数结点数)4b (支路数支路数) 74-3二、二、 名词解析名词解析(1) 路径路径从一个节点到达另一节点所经过的支路。从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图连通图任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。连通图至少存在两个分离部分。例如：例如：非连通非连通图图加此路径后加此路径后为连通图为连通图4-4(3)回路回路 (Loop) 一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。异，则这条闭合路径就构

3、成回路。12345678253124578128457不是回路不是回路235是回路是回路共有几共有几个回路个回路？答：答：13个回路。个回路。4-5(4)树树T (Tree，简称，简称T)树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树不是树它的树它的树对应同一个图对应同一个图有很多的树有很多的树树支树支( bt )：构成树的支路。：构成树的支路。连支连支( bl )：属于：属于G(图图)而不属于而不属于T (树树)的支路。的支路。12345678若：若： b图图G

4、中所有的支路数中所有的支路数 n图图G中所有的结点数中所有的结点数则：则：树树25782578是树支是树支1346是连支是连支树支数树支数bt n1连支数连支数blb (n1)3(5)基本回路基本回路(单连支回路单连支回路) l在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。成的回路。(每条连支与若干条树支所组成的回路每条连支与若干条树支所组成的回路)12345678树树2578基本回路基本回路:127、325458、678注意：注意： 1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。基本回路具有独占的一条连枝的特点。 用基本回路列出用基本回路列出KVL彼此

5、之间一定不会重复，彼此彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目独立回路数目=基本回路的数目基本回路的数目=连支数连支数=b(n1) 。3)对于平面电路，独立回路数目对于平面电路，独立回路数目=网孔数网孔数 。4-8三、三、 KCL的独立方程数的独立方程数 n个结点的电路个结点的电路, 独立的独立的KCL方程为方程为n- -1个。个。四、四、 KVL的独立方程数的独立方程数 KVL的独立方程数基本回路数的独立方程数基本回路数b(n1)五、五、电路的独立方程数电路的独立方程数 n个结点、个结点、b条支路的电路中，电路独立的方程总

6、数条支路的电路中，电路独立的方程总数为：为：(n1) b(n1) b等于支路数目等于支路数目4-915.1 割集割集(Cut set )一、割集一、割集Q的基本性质的基本性质割集割集Q ：是连通图：是连通图G中某些支路的集合，其特点为：中某些支路的集合，其特点为：(1)把割集把割集Q中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。(2)任意放回割集任意放回割集Q 中一条支路，电路图仍构成连通图。中一条支路，电路图仍构成连通图。 876543219可见：可见：(1 9 6)支路全部移去，支路全部移去，图分成二个分离部分图分成二个分离部分。任意放回任意放回(1 9

7、6)中任一条支路，图构成连通图。中任一条支路，图构成连通图。所以所以(1 9 6)是割集。是割集。8765432194-10876543219(12 6 8)是割集吗？是割集吗？是。是。75439(2 8 9)、(3 6 8)、(4 6 7)、(5 7 8)等也是割集。等也是割集。割集的意义：割集的意义： 一个割集就对应于一个结点一个割集就对应于一个结点(或广义结点或广义结点) ,即对应即对应于一个于一个KCL方程。方程。4-11不是。不是。876543219(3 6 5 8 7)、(3 6 2 8 9)是割集吗？是割集吗？4219二、独立割集二、独立割集独立割集：割集中包含有未被割过的支路。

8、独立割集：割集中包含有未被割过的支路。独立割集对应于一组独立的独立割集对应于一组独立的KCL方程。方程。三、基本割集三、基本割集基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集一定是独立割集。基本割集一定是独立割集。但独立割集不一定是基本割集。但独立割集不一定是基本割集。基本割集数基本割集数= =独立割集数独立割集数= =树枝数树枝数bt = =n14-1215.2 关联矩阵关联矩阵回路矩阵回路矩阵割集矩阵割集矩阵 在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程组：如回路电流法、结点电压法组：如回路电流法、结点电压法。在回路多、

9、结点。在回路多、结点多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。一、一、图的矩阵分类图的矩阵分类 1、关联矩阵、关联矩阵结点结点支路关系矩阵支路关系矩阵2、回路矩阵、回路矩阵回路回路支路关系矩阵支路关系矩阵3、割集矩阵、割集矩阵割集割集支路关系矩阵支路关系矩阵4-13二、关联矩阵二、关联矩阵(用用A表示表示) 在任一图中，若某一支路连接在某两个结点上，称在任一图中，

10、若某一支路连接在某两个结点上，称该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵Aa。 n个结点、个结点、b条支路有向图的关联矩阵条支路有向图的关联矩阵Aa如何列写？如何列写？65432171234(2)给各给各支路、各结点支路、各结点分别编号。分别编号。为区别起见为区别起见,结点结点编号加一小圆圈。编号加一小圆圈。1、关联矩阵、关联矩阵Aa的列写步骤的列写步骤(1)确定确定支路方向支路方向(电压电流的关联方向电压电流的关联方向)，使图成为有，使图成为有向图。

11、向图。4-14支支 支支路路 路路 1 2结点结点结点结点有有n 个结点个结点,就有就有n行。行。有有b 条支路条支路,就有就有b列。列。(3)列写矩阵列写矩阵Aa 。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。 333231232221131211aaaaaaaaaAa矩阵矩阵Aa的每一个元素的每一个元素ajk定义为：定义为：ajk+1 结点结点j与支路与支路k关联，支路方向背离结点。关联，支路方向背离结点。ajk- -1 结点结点j与支路与支路k关联，支路方向指向结点。关联，支路方向指向结点。ajk0 结点结点j与支路与支路k无关。无关。4-1565

12、432171234Aa下面这个有向图，关联矩阵下面这个有向图，关联矩阵Aa如何列写？如何列写？1 2 3 4 5 6 7+1 +1 0 0 0 +1 0- -1 0 +1 0 +1 0 - -1 0 0 - -1 - -1 0 - -1 +1 0 - -1 0 +1 - -1 0 0 Aa中任意中任意(n - -1)行相加等于最后一行行相加等于最后一行(- -1)。 或：或： n 行相加等于行相加等于0。 这是因为这是因为n个结点只有个结点只有(n - -1)个是独立的。即个是独立的。即 Aa的行的行彼此不独立。彼此不独立。 Aa的行怎样才能彼此独立？的行怎样才能彼此独立？将将Aa的任一行划去

13、的任一行划去(参考点参考点)，并用，并用A 表示，称为表示，称为2、降阶关联矩阵、降阶关联矩阵A(今后常用，简称关联矩阵今后常用，简称关联矩阵)4-16注：通过注：通过A可以确定可以确定Aa，从而画出有向图。，从而画出有向图。例如设例如设为参考节点，得关联矩阵为参考节点，得关联矩阵A ：A1 2 3 4 5 6 7+1 +1 0 0 0 +1 0- -1 0 +1 0 +1 0 - -1 0 - -1 0 +1 - -1 0 065432171234Aa1 2 3 4 5 6 7+1 +1 0 0 0 +1 0- -1 0 +1 0 +1 0 - -1 0 0 - -1 - -1 0 - -1

14、 +1 0 - -1 0 +1 - -1 0 04-173、引入关联矩阵的作用、引入关联矩阵的作用(1)可以用矩阵可以用矩阵Ai表示独立的表示独立的KCL方程组。方程组。即独立的即独立的KCL方程组可表示为方程组可表示为: Ai 0 证毕证毕(n-1) 个独立个独立KCL方程方程65432171234证明：证明：设：各支路电流列矩阵为：设：各支路电流列矩阵为：i i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7T以以为参考节点的为参考节点的A与与i相乘得相乘得:Aii1i2 i3i4 i5i6 i7+i1+i2+i6- -i1+i3+i5- -i7- -i3- -i4- -i6+i7000+1 +1

15、0 0 0 +1 0- -1 0 +1 0 +1 0 - -1 0 0 - -1 - -1 0 - -1 +14-18(2)可以用矩阵可以用矩阵ATun 表示各支路电压表示各支路电压。65432171234各支路电压各支路电压各结点电压的关系矩阵：各结点电压的关系矩阵：uATun设：各支路电压列矩阵为：设：各支路电压列矩阵为：uu1 u2 u3 u4 u5 u6 u7T以以为参考节点各结点电压列矩阵为为参考节点各结点电压列矩阵为:unun1 un2 un3 T以以为参考节点的为参考节点的AT与与un相乘得相乘得:+un1- -un2+un1+un2- -un3- -un3+un2+un1- -

16、un3- -un2 +un3u1u2u3u4u5u6u7ATunun1un2 un3+1 - -1 0+1 0 0 0 +1 - -1 0 0 - -1 0 +1 0+1 0 - -1 0 - -1 +1u 4-19Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 -11 1设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵A=1241 2 3 4 5 6 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1A

17、=1 2 3 4 5 6 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1123例例14-20三、回路矩阵三、回路矩阵 (用用B表示表示) 在任一图中，若某个回路由一些支路组成，称这在任一图中，若某个回路由一些支路组成，称这些支路与该回路相关联。将该图所有些支路与该回路相关联。将该图所有独立回路独立回路与所有与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称回路矩阵支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称回路矩阵B。 l 个个独立回路独立回路、b条支路的回路矩阵条支路的回路矩阵B 如何列写？如何列写？ 1654231234(2)给各给各支路支路分别编号。分别编号。给各独立回路

18、分别编号，并确给各独立回路分别编号，并确定绕行方向。定绕行方向。1、回路矩阵、回路矩阵B 的列写步骤的列写步骤(1)确定确定支路方向支路方向(电压电流的关联方向电压电流的关联方向)，使图成为有，使图成为有向图。向图。l1l3l24-21回路矩阵回路矩阵B 的每一个元素的每一个元素 bjk 定义为：定义为：bjk+1 支路支路k与独立回路与独立回路j 关联，二者方向一致。关联，二者方向一致。bjk- -1 支路支路k与独立回路与独立回路j 关联，二者方向相反。关联，二者方向相反。 bjk0 支路支路k与独立回路与独立回路j无关。无关。(3)列写矩阵列写矩阵B 。注意：矩阵中的行对应于独立回路，列

19、对应于支路。注意：矩阵中的行对应于独立回路，列对应于支路。 333231232221131211bbbbbbbbbB有有l 个独立回路，个独立回路，就有就有l 行。行。有有b 条支路，就条支路，就有有b 列。列。支支 支支路路 路路 1 2独立回路独立回路l1独立回路独立回路l24-22B下面这个有向图，回路矩阵下面这个有向图，回路矩阵B 如何列写？如何列写？l1l2l3回路矩阵回路矩阵B 的每一个元素的每一个元素 bjk 定义为：定义为：bjk+1 支路支路k与独立回路与独立回路j 关联，二者方向一致。关联，二者方向一致。bjk- -1 支路支路k与独立回路与独立回路j 关联，二者方向相反。

20、关联，二者方向相反。 bjk0 支路支路k与独立回路与独立回路j无关。无关。1 2 3 4 5 6 +1 - -1 0 0 - -1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 - -1 +1 - -11654231234l1l3l2注：通过注：通过B可以画出有向图。可以画出有向图。此外：独立回路取法不同，此外：独立回路取法不同，B则不同。则不同。4-2365432171234例例15421234树树Bfbl1bl3bl6bl71 2 3 4 5 6 7+1 - -1 0 0 +1 0 0 0 0 +1 - -1 - -1 0 0 0 - -1 0 - -1 0 +1 0 0 0 0 +1

21、+ +1 0 +1 2、基本回路矩阵、基本回路矩阵Bf定义：定义：(1) 选基本回路选基本回路(单连枝回路单连枝回路)作为独立回路作为独立回路;(2)连支的支路方向作为回路绕行方向；连支的支路方向作为回路绕行方向；(3)注意注意:矩阵中矩阵中, 行顺序行顺序=连支顺序。连支顺序。以以 2、4、5支路为树支路为树,列列Bf 。若将列中的连支和树支分开若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？两边，会产生什么现象？4-24取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向1 11230 1 1 1 0 00 0 -1 0 -1 11 -1 0 0 0 -1例例2若选若选 4、5、6为树，

22、连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123B1 2 3 4 5 6支支回回1 0 0 1 -1 00 1 0 1 -1 10 0 1 0 1 -1 = 1 Bt BlBt123B1 2 3 4 5 6 支支回回4-25矩阵形式的、独立的的矩阵形式的、独立的的KVL方程组可表示为方程组可表示为:Bu03、引入回路矩阵、引入回路矩阵B 的作用的作用(1)可以用回路矩阵可以用回路矩阵 Bu 表示独立的、表示独立的、矩阵形式的矩阵形式的KVL方程组方程组1 1设各支路电压列矩阵为：设各支路电压列矩阵为：uu1 u2 u3 u4 u5 u6TBu=u1u2u3u4u5u60001 2 3 4 5 6l

23、1l3l2+u1- -u2- -u6+u2+u3+u4- -u3 - -u5+u6以以l1、l2 、 l3为独立回路的为独立回路的B与与u 相乘得相乘得 :l1l2l3独立独立KVL方程方程1 - -1 0 0 0 - -1 0 1 1 1 0 00 0 - -1 0 - -1 14-261 1(2)可用可用BT il 表示各支路电流。表示各支路电流。各支路电流各支路电流各回路电流的关系矩阵：各回路电流的关系矩阵：iBT il 设各支路电流列矩阵为：设各支路电流列矩阵为：i i1 i2 i3 i4 i5 i6T设各独立回路电流列矩阵为：设各独立回路电流列矩阵为：ilil1 il2 il3T i

24、1i2i3i4i5i6BT il il1il2 il3 1 0 0- -1 1 0 0 1 - -1 0 1 0 0 0 - -1- -1 0 1 l1l3l2il1 - -il1+il2il2il3il2- -il3- -il1+il3i 4-27四、四、独立割集独立割集矩阵矩阵 (用用Q 表示表示) 在某图中，若某一割集由某些支路组成，称这些支在某图中，若某一割集由某些支路组成，称这些支路与该割集关联。将该图所有路与该割集关联。将该图所有独立割集独立割集与所有支路的这与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称种关联性质用矩阵描述出来，称独立割集独立割集矩阵矩阵Q(简称简称割割集集矩阵矩阵)

25、 。 n个结点、个结点、b条支路的条支路的割集割集矩阵矩阵Q 如何列写？如何列写？ 1654231234(2)给各给各支路支路编号。编号。(3)给各给各独立割集独立割集编号，并指定各编号，并指定各割割集方向集方向。割集将图分为两部分后，割集将图分为两部分后，割集方向为其中一部分指向另一部割集方向为其中一部分指向另一部分。分。1、割集割集矩阵矩阵Q(C) 的列写步骤的列写步骤(1)确定确定支路方向支路方向(电压电流的关联方向电压电流的关联方向)，使图成为有向，使图成为有向图。图。Q1Q3Q24-28n 个结点的图个结点的图,其其独立割集为独立割集为(n- -1)个个, 有有(n- -1) 行。行

26、。有有b 条支路，就有条支路，就有b 列。列。(4)列写矩阵列写矩阵Q 。注意：矩阵中的行对应于独立割集，列对应于支路。注意：矩阵中的行对应于独立割集，列对应于支路。 333231232221131211qqqqqqqqqQ矩阵矩阵Q 的每一个元素的每一个元素qjk定义为：定义为：qjk+1 割集割集j与支路与支路k关联，二者方向一致。关联，二者方向一致。qjk- -1 割集割集j与支路与支路k关联，二者方向相反。关联，二者方向相反。qjk0 割集割集j与支路与支路k无关。无关。支支 支支路路 路路 1 2独立割集独立割集Q1独立割集独立割集Q24-29下面这个有向图，独立割集矩阵下面这个有向

27、图，独立割集矩阵Q 如何列写？如何列写？Q1Q2Q3矩阵矩阵Q 的每一个元素的每一个元素qjk定义为：定义为：qjk+1 割集割集j与支路与支路k关联，二者方向一致。关联，二者方向一致。qjk- -1 割集割集j与支路与支路k关联，二者方向相反。关联，二者方向相反。qjk0 割集割集j与支路与支路k无关。无关。1 2 3 4 5 6 1654231234Q1Q3Q2- -1 - -1 1 0 0 0 - -1 - -1 0 - -1 0 1 1 0 0 1 1 0Q 注注:独立割集取法不同，独立割集取法不同，Q则不同。则不同。4-30以以 2、5、6支路为树支路为树,列列Qf 。Q2Q5Q61

28、 2 3 4 5 6 1 1 - -1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 - -1 - -1 0 1 Qf2、基本割集矩阵、基本割集矩阵Qf定义：定义： (1)选基本割集选基本割集(单树枝割集单树枝割集)为独立割集为独立割集;(2)树支的支路方向作为割集方向；树支的支路方向作为割集方向；(3)注意注意:矩阵中矩阵中,行顺序行顺序=树支次序。树支次序。1654231234Q2Q56521234树树例例1Q6若将列中的连支和树支分开若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？两边，会产生什么现象？4-313、引入割集矩阵、引入割集矩阵Q的作用的作用(1)可以用可以用 Q i 表示独立的

29、、矩阵形表示独立的、矩阵形式的式的KCL方程组方程组设各支路电流列矩阵为：设各支路电流列矩阵为：i i1 i2 i3 i4 i5 i6T(n- -1) 个独立个独立KCL方程方程Qi000 1 1 - -1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 - -1 - -1 0 1i1i2 i3i4 i5i61 2 3 4 5 6i1+ + i2- -i3i1+ +i4+ +i5- -i3- -i4+i6矩阵形式的、独立的矩阵形式的、独立的KCL方程组可表示为方程组可表示为: Q i 01654231234Q2Q5Q64-321654231234(2)可以用可以用 Qf T ut 表示各支路电压。

30、表示各支路电压。设各树枝电压列矩阵为设各树枝电压列矩阵为 ： ut= u2 u5 u6 T设各支路电压列矩阵为：设各支路电压列矩阵为：uu1 u2 u3 u4 u5 u6 TQf T utu2+u5u2- -u2- -u6+u5- -u6u5u6u1u2u3u4u5u6u各支路电压各支路电压各树枝电压的关系矩阵：各树枝电压的关系矩阵： uQf T ut选选 2、5、6支路为树支路为树 1 1 0 1 0 0 -1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 0 0 1 123456u2u5u6Q2 Q5 Q6Q2Q5Q64-33小结小结ABQKCLAi=0BTiliBlTilitQi=0it =- -

31、 Ql ilKVLATun=uBu=0ul= - -BtutQfTut=uul= QlTut红色字体部分各位自己证明。红色字体部分各位自己证明。其中：其中：i支路电流支路电流; il连支电流连支电流; it树支电流树支电流u支路电压支路电压; un结点电压结点电压; ut 树支电压树支电压; ul连支电压连支电压4-3415.3 支路电压电流关系及其矩阵形支路电压电流关系及其矩阵形式式(支路方程矩阵形式支路方程矩阵形式) 支路电压与支路电流的关系及其矩阵形式是网络支路电压与支路电流的关系及其矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。矩阵分析法的基础。一、标准复合支路一、标准复合支路 为减少方程的数目为减

32、少方程的数目, 简化计算简化计算, 一条标准复合支路被一条标准复合支路被定义为：定义为：Zk(Yk)- +- +kISskU+ -+ -kIkUk该支路的有向图为：该支路的有向图为：4-35注意：注意：(1)支路电压与支路电流方向要关联支路电压与支路电流方向要关联(为支路方向为支路方向)。(2) usk、 isk分别表示分别表示 k 号支路的独立电压源和独立电号支路的独立电压源和独立电流源，列写方程时其方向与支路方向相反时取流源，列写方程时其方向与支路方向相反时取“+”。(3) Zk(Yk)是支路复阻抗是支路复阻抗(或复导纳或复导纳)，且只能是单一的，且只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它

33、们的组合。电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。即：即： ZkRk 或：或： Zk j Lk 或：或： Zk 1/1/j CkZk(Yk)- +- + -+ -kIkISskUkUk4-36(4)标准复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的标准复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。00 SKSKIUZk(Yk)0 SKIZk(Yk)- +- +skUZk(Yk)kIS0 SKU- +- +kISskUkIS- +- +skUZk00 SKIZk00 SKUZk4-37二、二、(以支路电压为未知量以支路电压为未

34、知量)的支路方程矩阵形式的支路方程矩阵形式1、支路方程矩阵形式、支路方程矩阵形式SkkSkkkUZIIU )(某电路若有某电路若有b条支路，则有：条支路，则有：Zk(Yk)- +- + -+ -kIkISskUkU11111)(SSUZIIU 22222)(SSUZIIU SbbSbbbUZIIU )( SbSSSbbSSbbUUUIIIIIIZZZUUU21221121210000000矩矩阵阵b b阶的阶的阻抗矩阵阻抗矩阵k 支路电压、电流关系为：支路电压、电流关系为：k4-38 SbSSSbbSSbbUUUIIIIIIZZZUUU21221121210000000TbIIII21 TbU

35、UUU21 TSbSSSUUUU21 TSbSSSIIII21 设：设： bZZZZ000000021SSUIIZU )(阻抗矩阵阻抗矩阵Ik , Uk均均取取“+”ISk , USk方向与支路方方向与支路方向相反时取向相反时取“+”4-392、支路阻抗的矩阵形式、支路阻抗的矩阵形式(1)无耦合电感、无受控源时的阻抗矩阵形式无耦合电感、无受控源时的阻抗矩阵形式 某电路若有某电路若有b条支路，则条支路，则Z可如下列写：可如下列写： bZZZZ000000021(2)有耦合电感时的阻抗矩阵形式有耦合电感时的阻抗矩阵形式 设某电路有设某电路有b条支路，其中条支路，其中g 、x 两条支路之间有互两条支

36、路之间有互感耦合感耦合Mgx ，则，则Z可如下列写可如下列写 ：diagZ1, Z2 Zb4-40 bxgxgxgZLjMjMjLjZZZ000021 j Mgx的正负号取法：的正负号取法： 先画有向图。若两条支路方向都从同名端进先画有向图。若两条支路方向都从同名端进(出出)，则取则取“+”号。否则为号。否则为“- -”。g行行x列列g列列x行行4-41证明：证明：11111)(SSUZIIU SggxSxxgSgggUMjIILjIIU )()(用矩阵表示，得：用矩阵表示，得：SbbSbbbUZIIU )( 设某电路有设某电路有b条支路，其中条支路，其中只有只有g 、x 两条支路之间有互感两

37、条支路之间有互感耦合耦合Mgx ，其余支路之间无互感，其余支路之间无互感耦合，如图所示，则有：耦合，如图所示，则有：gSU*- +- +gSIj LgxSU*- +- +xSIj LxMgxgIxISxgxSggxSxxxUMjIILjIIU )()(22222)(SSUZIIU 外外、除除了了xgUU如如何何列列写写？、xgUU4-42 SbSxSgSSbSbxSxgSgSSbxgxgxgbxgUUUUUIIIIIIIIIIZLjMjMjLjZZUUUUU21221121210000 Zb b阶非对角阵阶非对角阵 j Mgx的正负号取法：的正负号取法： 先画有向图。若支路方向都从同名端进先画

38、有向图。若支路方向都从同名端进(出出)，则，则取取+号。号。4-43例例1 6655432116532165432100000 0000000000001000000000000000000SSSUIIIIIIIIRRCjLjLjRUUUUUU +- -R1R51/j Cj L2R61SI6SUj L35SI 写出图示电路支路写出图示电路支路电压、电流关系矩阵。电压、电流关系矩阵。1234654-44例例2 6655432116532165432100000 00000000000010000000000000000SSSUIIIIIIIIRRCjLjMjMjLjRUUUUUU +- -R1R

39、51/j Cj L2R61SI6SUj L35SIM 写出图示电路支路写出图示电路支路电压、电流关系矩阵。电压、电流关系矩阵。1234654-45(3)含有受控电压源时的阻抗矩阵形式含有受控电压源时的阻抗矩阵形式kSUkI- +- +kSI+ - -kUZk- +- +dkU 设第设第 k 支路含受控电压源，受支路含受控电压源，受j支路控制，支路控制，Z可如下列写：可如下列写：Zk j正负取法正负取法:当当udk与与uk方向方向(支路方向支路方向)相同时取相同时取“+”Zk j大小取法大小取法:当控制源为电流当控制源为电流 ij 时时,即即udk r ij 时：时：Zk jr当控制源为电压当控

40、制源为电压 uj 时时,即即udk uj 时：时：Zk j Zj 1 kkjjZZZZZj列列k行行4-46例例3 +- -R1R51/j Cj L2R61SI4U j L35SI4UM +- -123465写出图示电路的阻抗矩阵。写出图示电路的阻抗矩阵。R1 0 0 0 0 00 j L2 j M 0 0 0 0 j M j L3 0 0 0 0 0 0 1/ /j C 0 00 0 0 0 R5 00 0 0 / /j C 0 R6Z4-47skkskkkIZUUI )( sbssbbsbbIIUUUUYYYII111211000000二二. (以支路电流为未知量以支路电流为未知量)的支路

41、方程矩阵形式的支路方程矩阵形式1、支路方程矩阵形式、支路方程矩阵形式SkkSkkkUZIIU )(k 支路电压、电流关系为：支路电压、电流关系为：某电路若有某电路若有b条支路，则有：条支路，则有：skskkkIUUY )(22222)(ssIUUYI sbsbbbbIUUYI )(11111)(ssIUUYI kSUkI- +- +kSI+ - -kUZkkb b阶的阶的导纳矩阵导纳矩阵矩阵矩阵4-48 bYYYY000000212、支路导纳的矩阵形式、支路导纳的矩阵形式(1)无电感耦合、无受控源时的导纳矩阵形式无电感耦合、无受控源时的导纳矩阵形式(2)有电感耦合时的导纳矩阵形式有电感耦合时的

42、导纳矩阵形式方法：先按前述方法求方法：先按前述方法求Z，再求，再求YZ 1diagY1, Y2 Yb bZZZ10001000121YZ - -1实际上：实际上：4-49 54321000000000000000000ZLjMjZMjLjZZ其中：其中：j L2 j L4j M j M 52341100000000010000000001ZLjMjZMjLjZ 例如：例如：Y=Z- -14-50(3)含有受控电流源时的导纳矩阵形式含有受控电流源时的导纳矩阵形式)Yk j正负取法正负取法: 当当idk 与与ik 方向方向(支路方向支路方向)相同时取相同时取“+”Yk j大小取法大小取法:当控制源

43、为电流当控制源为电流 ij 时时,即即idk ij时：时： Yk j Yj当控制源为电压当控制源为电压 uj 时时,即即idk guj时：时： Yk jg 1 kkjjYYYYY 设第设第 k 支路含受控电流源，受支路含受控电流源，受支路支路j 控制，控制，Y 可如下列写：可如下列写：j列列k行行kSUkI- +- +kSIZk+ - -kUdkI4-51求图示电路的支路导纳矩阵。求图示电路的支路导纳矩阵。例例40 0 0 - -(- -2) 0 00 2 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10Y4-52求图示电路的支路导纳

44、矩阵。求图示电路的支路导纳矩阵。例例52 0 0 0 0- -3 0.25 0 0 00 0 0 0 100 0 0 1 00 0 0 0 5Y4-53例例6 +- -R1R51/j Cj L2R61SI4U j L35SI4UM +- -123465写出图示电路的导纳矩阵。写出图示电路的导纳矩阵。1/R1 0 0 0 0 00 j L3/ - -j M/ 0 0 0 0 - -j M/ j L2/ 0 0 0 0 0 0 j C 0 00 0 0 0 1/R5 00 0 0 - - / /R6 0 1/R6Y4-54SSlTIBZUBIBZB B回路矩阵；回路矩阵；Z阻抗矩阵；阻抗矩阵；TS

45、bSSSUUUU21 TSbSSSIIII21 TlllllIIII21 l 个独立回路电流矩阵；个独立回路电流矩阵；标准复合支路标准复合支路usk的矩阵的矩阵; 方向与支路方向相反时取方向与支路方向相反时取“+”标准复合支路标准复合支路isk的矩阵的矩阵; 方向与支路方向相反时取方向与支路方向相反时取“+”设设:ZlBZBT称为回路阻抗矩阵称为回路阻抗矩阵,为为l 阶的方阵。当电路中不含互感以阶的方阵。当电路中不含互感以及受控源时及受控源时, 其主对角线元素为回路阻抗之和其主对角线元素为回路阻抗之和,其余元素为回其余元素为回路间的阻抗路间的阻抗,若流经它的两回路电流方向相同时取若流经它的两回

46、路电流方向相同时取“+”。15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 (以独立回路电流为未知量列出的方程以独立回路电流为未知量列出的方程回路电流方程回路电流方程)kSUkI- +- +kSIZ(Yk )+ - -kU一、回路电流方程的矩阵公式一、回路电流方程的矩阵公式 4-550 UBlTIBI 0)( SSUIIZBSSUIIZU )(用阻抗表示的支路方程：用阻抗表示的支路方程：独立回路电流独立回路电流0 SSUBIBZIBZSSIBZUBIBZ SSlTIBZUBIBZB 证明：证明：kSUkI- +- +kSIZ(Yk )+ - -kU4-56二、列回路电流方程矩阵的步骤二、

47、列回路电流方程矩阵的步骤1、任选独立回路、任选独立回路(或网孔或网孔)电流方程矩阵的列写步骤电流方程矩阵的列写步骤1SIR1j L3j L41/ /j C5R2+- -2SU例例1(1)画出电路的有向图。画出电路的有向图。选定独立回路选定独立回路(或网孔或网孔)及及其绕行方向。其绕行方向。12345l1l2(2)求出求出B。- -1 0 1 0 1 0 1 0 1 - -1 l1l2B1 2 3 4 5 4-571SIR1j L3j L41/ /j C5R2+- -2SU 54321100000000000000000000CjLjLjRRZ Zl BZBT 542555311111CjLjR

48、CjCjCjLjR 12345l1l2(3)求出求出 Z以及以及Zl 矩阵。矩阵。4-58TSSUU00002 TSSII00001 TlllIII21 (5)代入公式，列出回路电流方程矩阵。代入公式，列出回路电流方程矩阵。(4)写出写出SSlIUI、1SIR1j L3j L41/ /j C5R2+- -2SU12345l1l2SSlTIBZUBIBZB 根据：根据： 21121542555311111SSllUIRIICjLjRCjCjCjLjR4-592、指定、指定“树树”时电流方程矩阵的列写步骤时电流方程矩阵的列写步骤(2)求出求出Bf例例2 +- -R1R51/j C4j L2R61S

49、I6SUj L35SI123465现以现以1、2、3为树为树,试用矩阵法写出电路回路方程。试用矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分直接写出无分)解：解：(1) 根据根据“树树”，确定基本回路。确定基本回路。- -1 1 0 1 0 0 0 - -1 - -1 0 1 0- -1 1 1 0 0 1l4l5l6Bf1 2 3 4 5 6 4-60(3)求出求出 Z 矩阵。矩阵。 6543210000000000001000000000000000000RRCjLjLjRZ +- -R1R51/j C4j L2R61SI6SUj L35SI123465(4)写出写出SSlIUI、TSSUU000

50、006 TSSSIII000051 TllllIIII654 4-61 6115511654632132213253222124211SSSSlllUIRIRIRIIIRLjLjRLjLjLjRLjLjRLjLjLjLjRLjCjLjR (5)代入公式，列出回路电流方程矩阵。代入公式，列出回路电流方程矩阵。SSlTIBZUBIBZB 根据：根据： 6543210000000000001000000000000000000RRCjLjLjRZ TSSUU000006 TSSSIII000051 TllllIIII654 4-62例例3 +- -R1R51/j Cj L2R61SI4U j L35

51、SI4UM +- -难难123465现以现以2、3、4为树，试用为树，试用矩阵法写出电路回路方程。矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分直接写出无分)解：解： 1 - -1 0 - -1 0 0 0 - -1 - -1 0 1 0 0 0 1 - -1 0 1l1l5l6Bf1 2 3 4 5 6 TSU000000 TSSSIII000051 TllllIIII651 4-63 6516333325222111211lllIIICjRLjCjLjMjCjMjCjLjMjMjLjLjRMjLjCjMjMjLjCjLjR 0 5511RIRISS 645432100000000000100000

52、00000000000RCjRCjLjMjMjLjRZ SSlTIBZUBIBZB 根据：根据： +- -R1R51/j Cj L2R61SI4U j L35SI4UM +- -4-64 图示电路已编号如图图示电路已编号如图G所示，现以所示，现以1、3、5为树，为树，试用矩阵法写出电路回路方程。试用矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分直接写出无分) 110000011101000011642654 3 21 fB 5510210192026321lllIII例例4解：解：l3l2l1IlIl1 Il2 Il3TZdiag2 4 6 0 1 1US10 0 0 - -5 0 5TIS0 0 0

53、 0 0 0T根据根据:Bf ZBfT IlBf US- -Bf ZIS4-65A关联矩阵；关联矩阵；Y 导纳矩阵；导纳矩阵；TSbSSSUUUU21 TSbSSSIIII21 TnnnnnUUUU)1(21 (n- -1)个独立结点电压矩阵个独立结点电压矩阵;标准复合支路标准复合支路usk的矩阵的矩阵; 方向与支路方向相反时取方向与支路方向相反时取“+”标准复合支路标准复合支路isk的矩阵的矩阵; 方向与支路方向相反时取方向与支路方向相反时取“+”设：设：YnAYAT 称为结点导纳矩阵称为结点导纳矩阵, 这是个这是个(n- -1)阶的方阵。当电路中阶的方阵。当电路中不含互感以及受控源时不含互

54、感以及受控源时, Yn 的主对角线元素为自导纳之和。的主对角线元素为自导纳之和。其余元素为两独立结点之间的互导纳，均取其余元素为两独立结点之间的互导纳，均取“- -”。 SSnTUAYIAUAYA 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式(以独立结点电压为变量列出的方程以独立结点电压为变量列出的方程结点电压方程结点电压方程)kSUkI- +- +kSIZ(Yk )+ - -kU一、结点电压方程的矩阵公式一、结点电压方程的矩阵公式4-66证明：证明：0 IAnTUAU 0 SSIAUAYUAYSSUIIZU )(用导纳表示的支路方程：用导纳表示的支路方程：独立结点电压独立结点电压S

55、SUAYIAUAY SSnTUAYIAUAYA SSIZUUI SSIUYUY YZ - -1又因为：又因为：kSUkI- +- +kSIZ(Yk )+ - -kU4-67(1)画出电路的有向图画出电路的有向图 , 选选定独立节点和参考点。定独立节点和参考点。5V0.5 2 1 0.5 5 1 3A1A+- -123456二、列结点电压方程矩阵的步骤二、列结点电压方程矩阵的步骤1、任选参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤、任选参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤例例1(2)求出求出A。以。以4为参考点。为参考点。123A1 2 3 4 5 6 支支节节1 1 0 0 0 10 - -1 1 1 0

56、 00 0 - -1 0 1 - -1(3)求出求出Y 矩阵。矩阵。 100000010000002 . 000000020000005 . 00000002Y4-68TSU000005 TSI031000 TnnnnUUUU321 (5)代入公式，列出结点电压方代入公式，列出结点电压方程矩阵。程矩阵。根据：根据：(4)写出写出SSnIUU、5V0.5 2 1 0.5 5 1 3A1A+- -123456SSnTUAYIAUAYA 311042127 . 25 . 015 . 05 . 3321nnnUUU4-69例例2 +- -R1R51/j C4j L2R61SI6SUj L35SI解：解

57、： 1 1 0 0 1 0 0 - -1 1 1 0 0 0 0 - -1 0 - -1 1A1 2 3 4 5 6 TSSUU000006 TSSSIII000051 TnnnnUUUU321 123465写出节点电压方程的矩阵形式。写出节点电压方程的矩阵形式。(直接写出不给分直接写出不给分)2、指定参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤、指定参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤4-70 +- -R1R51/j C4j L2R61SI6SUj L35SI 65432110000001000000000000100000010000001RRCjLjLjRY SSnTUAYIAUAYA 665513

58、21653353432252521011111111111111RUIIIUUURRLjLjRLjCjLjLjLjRLjRLjRSSSSnnn 根据：根据：4-71例例3R1C3L5R2L6 +u1- - +us2- -is1g21u1C4- - us4 + 46 i6i6is4TSSSUUU000042 TSSSIII000041 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 - -1 1 0 1 0 - -1 0 - -1 A1 2 3 4 5 6 156324写出节点电压方程的矩阵形式。写出节点电压方程的矩阵形式。(直接写出不给分直接写出不给分)TnnnnUUUU321 解：解：4-72 65

59、64643221110000001000000000000000001000001LjLjLjCjCjRgRY 2244444413216464266466214636556464646545101111111111RUUCjIUCjIIUUULjCjRLjLjLjgCjLjCjLjLjLjLjCjLjLjCjLjRSSSSSSnnn SSnTUAYIAUAYA 根据：根据：4-73 000110110111000A TsSiI50000 例例4 5432211221221221200000000000000)()(000)()(GGgCjMLLjLMLLjMMLLjMMLLjLY TSU00

60、000 iS5guaG5C3G4*ML2L1+ ua -写出节点电压方程的矩阵形式。写出节点电压方程的矩阵形式。(直接写出不给分直接写出不给分)52431304-74 00200532121222344454snnnIUUUMLLMLMLLCjGgGgGGG 代入代入SSnTUAYIAUAYA 令：令：j (L1 L2 M 2 )iS5guaG5C3G4*ML2L1+ ua -TnnnnUUUU321 52431304-75图中各电阻均为图中各电阻均为1 ，Us=1V，写出节点电压方程的，写出节点电压方程的矩阵形式。矩阵形式。(直接写出不给分直接写出不给分)例例5 11010001101010