第三章 有限元法

1、 有限元法有限元法是结构分析的一种是结构分析的一种数值计算方法数值计算方法。它在。它在20世纪世纪50年代初年代初期随着计算机的发展应运而生。期随着计算机的发展应运而生。这一方法这一方法的的理论基础牢靠理论基础牢靠，物理概念清晰物理概念清晰，解题效率高解题效率高，适应性适应性强强，目前已成为，目前已成为机械产品动机械产品动、静静、热特性分析热特性分析的重要手段，它的程序的重要手段，它的程序包是包是机械产品计算机辅助设计方法库机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。中不可缺少的内容之一。 本章本章介绍了介绍了如下内容如下内容: : 有限元法的概述有限元法的概述 平面刚架的有限元法平面刚

2、架的有限元法 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法3.1 概述概述 在在工程分析工程分析和和科学研究科学研究中，常常会遇到大量的由中，常常会遇到大量的由常微分方程常微分方程、偏偏微分方程微分方程及相应的及相应的边界条件边界条件描述的描述的场问题场问题，如位移场、应力场和温度，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场等问题。目前求解这类场问题场问题的方法主要有的方法主要有两种两种： 用用解析法解析法求得精确解；求得精确解； 用用数值解法数值解法求其近似解。求其近似解。 其中，其中， 能用能用解析法解析法求出求出精确解精确解的只能是方程性质比较简单且几何的只能是方程性质比较简

3、单且几何边界相当规则的少数问题。边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解解析解。这就需要研究它的。这就需要研究它的数值解法数值解法，以求出，以求出近似解近似解。 目前，工程中实用的目前，工程中实用的主要有主要有三种三种： 有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 边界元法边界元法 其中，以其中，以有限元法有限元法通用性最好通用性最好，解题效率高解题效率高，工程应用最广工程应用最广。目前它已成为目前它已成为机械产品动机械产品动、静静、热特性分析热特性分析的重要手段，的重要手段，是是机械产品计算机辅助设计方法库机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺

4、少的内容之一。中不可缺少的内容之一。“ ” 的的早在早在20世纪世纪40年代初期就有人提出，年代初期就有人提出，但但真正用于工程中则是真正用于工程中则是电子计算机电子计算机出现以后。出现以后。 “ ” 这一名称是这一名称是1960年美国的年美国的克拉夫克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为在一篇题为 “平面应力分析的有限元法平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，论文中首先使用。此后，有有限元法限元法的应用得到蓬勃发展。的应用得到蓬勃发展。 到到20世纪世纪80年代初期国际上较大型的年代初期国际上较大型的结构分析结构分析有限元通用程序有限元通用程序多多达达几百种几百种，从而为，从而

5、为工程应用工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计各类工业产品设计和和性性能分析能分析的可靠依据。的可靠依据。 3.1 概述3.1.2 杆系单元 定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元节点3节点2单元可概括如下：可概括如下： 连续体离散化连续体离散化 单元分析单元分析 整体分析整体分

6、析 确定约束条件确定约束条件 有限元方程求解有限元方程求解 结果分析与讨论结果分析与讨论1. 连续体离散化连续体离散化连续体连续体：是指所：是指所求解的对象求解的对象（如物体或结构）。（如物体或结构）。离散化离散化（划分网格或网络化划分网格或网络化）：是将所求解的对象）：是将所求解的对象划分划分为有限为有限个具有规则形状的个具有规则形状的微小块体微小块体，把每个微小块体称为，把每个微小块体称为单元单元，相邻两个，相邻两个单元单元之间只通过之间只通过若干点若干点互相连接，每个连接点称为互相连接，每个连接点称为节点节点。相邻相邻单元单元只在只在节点处节点处连接，连接，载荷载荷也只通过也只通过节点节

7、点在在各单元各单元之间传之间传递，这些递，这些有限个单元有限个单元的的集合体，集合体，即原来的即原来的连续体连续体。 单元单元划分后，给每个划分后，给每个单元单元及及节点节点进行编号；进行编号； 选定坐标系，计算各个选定坐标系，计算各个节点坐标节点坐标； 确定各个确定各个单元单元的的形态和性态参数形态和性态参数以及以及边界条件边界条件等。等。 图图3-1 所示为将一所示为将一建立建立的例子。的例子。 图中将该图中将该悬臂梁悬臂梁划分为许多划分为许多三角形单元三角形单元； 三角形单元三角形单元的的三个顶点三个顶点都是都是节点节点。图图3-1 悬臂梁及其有限元模型悬臂梁及其有限元模型 2. 单元分

8、析单元分析 连续体离散化连续体离散化后，即可对后，即可对单元体单元体进行特性分析，简称为进行特性分析，简称为单元分析单元分析。单元分析工作单元分析工作主要有主要有两项两项：(1)(1)选择单元位移模式选择单元位移模式( (位移函数位移函数) ) 用用节点位移节点位移来表示来表示的的位移位移、应变应变和和应力应力，就需，就需搞清搞清各单元各单元中的中的位移分布位移分布。 一般是假定一般是假定单元位移单元位移是坐标的是坐标的某种简单函数某种简单函数，用其模拟内位移，用其模拟内位移的分布规律，的分布规律，这种函数这种函数就称为就称为位移模式位移模式或或位移函数位移函数。通常。通常采用的函数采用的函数

9、形式形式多为多为多项式多项式。 根据所选定的根据所选定的位移模式位移模式，就可以导出用，就可以导出用来表示单元体来表示单元体内内任一点位移的关系式任一点位移的关系式。 进行进行单元力学特性分析单元力学特性分析，将作用在，将作用在单元上单元上的的所有力所有力（表面（表面力、体积力、集中力）等效地移置为力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷节点载荷； 采用有关的采用有关的力学原理力学原理建立建立，求得单元内，求得单元内节节点位移点位移与与节点力节点力之间的之间的关系矩阵关系矩阵 单元刚度矩阵单元刚度矩阵。 (2) 分析单元的特性分析单元的特性，建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵 3. 整体分析整体

10、分析 把把各个单元各个单元的的刚度矩阵刚度矩阵集成为集成为总体刚度矩阵总体刚度矩阵，以及将，以及将各单各单元元的的节点力向量节点力向量集成集成总的力向量总的力向量，求得，求得整体平衡方程整体平衡方程。 集成过程所依据的原理是集成过程所依据的原理是节点变形协调条件节点变形协调条件和和平衡条件平衡条件。 4. 确定约束条件确定约束条件由上述所形成的由上述所形成的是是一组线性代数方程一组线性代数方程，在求解，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定之前，必修根据具体情况分析，确定的的边界约束条边界约束条件件，并对，并对这些方程这些方程进行适当修正。进行适当修正。5. 有限元方程求解有限元方程求解通过通

11、过求解求解整体平衡方程整体平衡方程，即可求得，即可求得各节点各节点的的位移位移， 进而根据进而根据位移位移可计算可计算单元单元的的应力应力及及应变应变。 6. 结果分析与讨论结果分析与讨论F节点2节点1单元 21 22 21 22 11节点1节点2单元 11 12 12节点节点2 ef2)(1e)(2e el eA eE节点节点1 ef1x节点节点1 ef1x节点节点2 ef2)(1e)(2e el eA eE节点节点1 ef1 eeeeeeeeeeeelAEflAEf212211 eeeeelAEff21211111 eeekf 1111eeeelAEk eekkkkk22211211 网架

12、杆件网架杆件节点位移节点位移单元刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程总刚度方程节点位移值节点位移值杆件内力杆件内力单元内力与节点位移间关系单元内力与节点位移间关系引入边界条件引入边界条件节点平衡及变形协调条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量总总叠加叠加cA叠加叠加3.2 平面刚架的有限元法杆系单元 分类 桁架单元：桁架中的杆件 刚架单元：刚架中的杆件 区别： 桁架节点：铰节点 传递力！ 刚架节点：刚节点 传递力和力矩！ 杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较， 基本流程完全相同； 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。刚架的有限元分析平面刚架两个坐标系： 局部坐

13、标系 整体坐标系 梁在梁在（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生生弯曲变形弯曲变形，在，在作用下产生作用下产生线位移线位移。 对于对于该平面简支梁该平面简支梁问题：问题：梁上任一点梁上任一点受有受有三个力三个力的作用：的作用： 水平力水平力Fx， 剪切力剪切力Fy ， 和弯矩和弯矩Mz。相应的位移相应的位移为：为： 水平线位移水平线位移u， 挠度挠度v ， 和转角和转角 z 。 由由上图上图可见：可见： 水平线位移水平线位移和和水平力水平力向右为正，向右为正， 挠度挠度和和剪剪切力切力向上为正，向上为正， 转角转角和和弯矩弯矩逆时针方向为正。逆时针方

14、向为正。 通常规定：通常规定：11m22mxfu11xfu22yfv11yfv2212 水平线位移水平线位移和和水平力水平力向右为正，向右为正， 挠度挠度和和剪剪切力切力向上为正，向上为正， 转角转角和和弯矩弯矩逆时针方向为正。逆时针方向为正。为使为使问题简化问题简化，可把，可把图示的梁图示的梁看作是一个看作是一个梁单元梁单元。如如图图所示，当令所示，当令左支承点左支承点为为节点节点 1 ，右支承点右支承点为为节点节点2 时，时，则则该单元该单元的的节点位移节点位移和和节点力节点力可以分别表示为：可以分别表示为：111222111222, ,xyxyuvuvffmffm ( )111222,

15、,e Teu vu v称为称为单元的节点位移列阵单元的节点位移列阵。 ( )111222,Texyxyfffmffm称为称为；若若 f 为为，则称为，则称为载荷列阵载荷列阵。 （5-1）（5-2）写成写成矩阵形式矩阵形式为为显然，显然，和和是有联系的。在是有联系的。在内，内，这种关系这种关系是是，可用，可用下式下式表示表示 11112131415161212223242526313233343536141424344454622515253545556616263642 exyxyfkkkkkkfkkkkkkkkkkkkmkkkkkkffkkkkkkkkkkm 1112226566 eeuvu

16、vkk ( )( )( )eeefk或或上上式式称为称为，或称为，或称为单元刚度方程单元刚度方程，它代表了，它代表了与与之间（或之间（或）的联系；）的联系；式中，式中，K(e)称为称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵，它是，它是。 对于所示的对于所示的平面梁单元问题平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵单元刚度矩阵K(e)中的中的各系数各系数 kst( s, t = i, j ) 的数值，的数值，具体方法具体方法如下：如下： (1) 假设假设 u1=，其余位移分量其余位移分量均为零，

17、即均为零，即 v1= 1=u2=v2= 2=0，此时此时梁单元如梁单元如图图 (a)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得 图图 (a)111 xf luEA321110 32yf lmlvEIEI211102yf lmlEIEI 由由上述三式上述三式可以解得可以解得 111, f0, m0 xyEAfl根据根据静力平衡条件静力平衡条件 21212, f0, m0 xxyyEAfffl 解得解得 111212311412512612, 0, 0, 0, 0 xyxyEAkfkfkmlEAkfkfkml (2) 同理，同理，设设v1=，其余位移分量其余位移分量均为零，即均为零，即u1= 1

18、=u2=v2= 2= 0, 此时梁单元如此时梁单元如图图 (b)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得110 xfluEA321111 32yf lmlvEIEI211102yf lmlEIEI 图图 (b)111321260, f, mxyEIEIfll由由上述三式上述三式可以解得可以解得利用利用2121211321260, f, mxxyyyEIEIffff lmll 解得解得 12122132132422522622321260, , 1260, , xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll (3)同理，同理，设设 ，其余位移分量其余位移分量均为零，即均为零，即此时

19、梁单元如此时梁单元如图图(c)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得 11112220u v uv 110 xf luEA321110 32yf lmlvEIEI211112yf lm lEIEI 由由上述三式上述三式可以可以解得解得1112640, f, mxyEIEIfll图图(c)利用利用静力平衡条件静力平衡条件，可得，可得 21212112620, f, mxxyyyEIEIffff lmll 13123133124325326322640, , 620, , xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll 解得解得 ，仿此可推出。最后可以得到，仿此可推出。最后可以得到

20、平面弯曲梁元平面弯曲梁元的的单元单元刚度矩阵刚度矩阵为为 这样，便求得这样，便求得单元刚度矩阵单元刚度矩阵中前三列中前三列刚度系数刚度系数。 323222( ) 0 0 0 0126126 0 0 6462 0 0 0 eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAl323222 0 0 0126126 0 0 6264 0 0 EAlEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll可以看出，可以看出， k(e)为为 。66XYyxuvUVcossinsincosVUvVUu整体坐标系整体坐标系OXY 局部坐标系局部坐标系 Oxy ejjjiiieeVUVUvuvu100

21、0000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos222111坐标转换坐标转换从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵T eeeT eeeeTkTKTu单元刚度矩阵具有下列特点：单元刚度矩阵具有下列特点：矩阵具有矩阵具有对称性对称性矩阵具有矩阵具有奇异性奇异性矩阵具有分块性矩阵具有分块性u总刚矩阵具有下列特点：总刚矩阵具有下列特点：矩阵具有矩阵具有对称性对称性，计算时不必将所有元素列计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。出，只列出上三角或下三角即可。矩阵具有矩阵具有奇异性奇异性矩阵具有稀疏性矩阵具有稀疏性。XYO1234(1)(2)(3)

22、(4)总刚矩阵中边界条件的处理方法总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵未引入边界条件前，总刚矩阵KK是奇异的，是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。位移后，总刚矩阵为正定矩阵。 位移为零位移为零 弹性约束弹性约束 指定位移指定位移 处理方法处理方法约束条件的处理约束条件的处理 位移分量的值为零：位移分量的值为零：置置1赋赋0法法 位移分量等于一个已知的非零值：位移分量等于一个已知的非零值：置置 大数法大数法非节点载荷的处理非节点载荷的处理（1）载荷移置原理）载荷移置原理（2）固定端反力和反力矩的计算

23、）固定端反力和反力矩的计算平面桁架的有限元分析 在整体坐标系下的单元刚度矩阵为： n个个 节节点类点类型型局部局部坐标坐标系下系下的单的单元刚元刚度矩度矩阵阵k(e)整体整体坐标坐标系下系下的单的单元刚元刚度矩度矩阵阵K(e)坐标坐标转换转换矩阵矩阵T(e)总体总体刚度刚度矩阵矩阵K刚架刚架6* *66* *66* *63n* *3n桁架桁架2* *24* *42* *42n* *2n【例】【例】平面桁架结构中，某单元局部编码依次对应平面桁架结构中，某单元局部编码依次对应的总体编码为的总体编码为8，6，则单元刚度矩阵中的元素，则单元刚度矩阵中的元素k34应放入总体刚度矩阵应放入总体刚度矩阵K中

24、的中的 行行 列列20032004 3211012200001031211011010020201011011aK 31320211041101302010500010110000020200010110100233232223222122121112111aKKKKKKKKK33322231211013011220200011041111013002010500000VUVUaF200520062007 2222TkTKT 246026061206120001001260460612061200010012100000001000010000000100000001000010TA40620

25、60100106012601220640601001060126012210020000100001000000010000000100001046026000100161206120260460001001612061202AA90度时，度时，-BAC-EDF先看行后看列先看行后看列 401601200040006120000012062608010612061360120016013200233231122121213112211111AKKKKKKKKK22211146026061206120001001260866612061300016013201000000VUVUA2008200

26、92010l结构离散化结构离散化l位移函数位移函数l单元刚度矩阵单元刚度矩阵l载荷移植载荷移植l结构总体刚度方程结构总体刚度方程l位移边界条件的处理位移边界条件的处理l应力计算应力计算l公式推广公式推广3.3 3.3 平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法弹性力学平面问题的有限元位移法 有限元位移法求解弹性力学平面问题：有限元位移法求解弹性力学平面问题： 离散研究对象，对它进行编号，然后建立线性代数离散研究对象，对它进行编号，然后建立线性代数方程组方程组K=PK=P 需要建立刚度矩阵需要建立刚度矩阵KK，建立载荷列阵，建立载荷列阵PP，引入约，引入约束边界条件，才能解方程得出位移束边界条件，

27、才能解方程得出位移,求得应力求得应力。 弹性力学平面问题的有限元位移法求解过程与平面弹性力学平面问题的有限元位移法求解过程与平面杆件系统的求解过程相似，实际上平面杆件系统的求解过杆件系统的求解过程相似，实际上平面杆件系统的求解过程运用了材料力学中杆件和梁的己知变形关系，但弹性力程运用了材料力学中杆件和梁的己知变形关系，但弹性力学平面问题形状复杂，受力情况多变，没有可利用的己知学平面问题形状复杂，受力情况多变，没有可利用的己知变形关系，在建立刚度矩阵时必须对离散结构物所用的单变形关系，在建立刚度矩阵时必须对离散结构物所用的单元位移元位移( (变形变形) )进行假设，因此用最简单的线性关系假设，进

28、行假设，因此用最简单的线性关系假设，离散平面问题的单元，三角形单元。离散平面问题的单元，三角形单元。 平面应力问题：平面应力问题：只在平面内有应力，与该面只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。题。平面应变问题：平面应变问题：只在平面内有应变，与该面只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可以忽略。垂直方向的应变可以忽略。 2100010112ED对于平面应力问题，弹性矩阵D为 对于平面应变问题，只要将 式中的E换成换成E/1- 2 ， 换成换成 /1- ，即得到其弹性矩阵 DE111211100122 1对称简述平面应力问题和平面应变

29、问题的区别？简述平面应力问题和平面应变问题的区别？(1)应力状态不同：平面应力问题中平板的厚度与长应力状态不同：平面应力问题中平板的厚度与长度、高度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平度、高度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向均匀分布，可以认为厚度方面内并沿厚度方向均匀分布，可以认为厚度方向的应力为零。向的应力为零。 平面应变问题中由于平面应变问题中由于z向尺寸大，该方向上的变向尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿形是被约束住的，沿z向的应变为零。向的应变为零。（2）弹性矩阵不同：将平面应力问题中的）弹性矩阵不同：将平面应力问题中的E ,就成为平面应变问题的弹性矩阵就成为平面应变问

30、题的弹性矩阵。在有限元分析中，为什么要采用半带存储？在有限元分析中，为什么要采用半带存储？(1)单元尺寸越小，单元数越多，分析计算精度越高单元数越多，总刚度矩阵阶数越高，所需计算机的内存量和计算量越大。(2)总体刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元素带形分布规律。(3)只存储主对角线元素以及上（或下）三角矩阵中宽为NB的斜带区内的元素，可以大大减小所需内存量。 弹性体和有限元计算模型 X132u1v1u2v2v(x,y).u(x,y)u3v3(x,y)YO TTevuvuvu332211321yxyxvyxyxu654321, eB eBD 弹性体和有限元计算模型 (1)(2)(3)(4)12

31、3456123456789101112131415图 3-6 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415123456789101112131415图 3-6 b 半带宽B=（相邻节点号的最大差值D+1）*2200320042005200620072008200920105.2.2 单元特性的推导方法单元特性的推导方法 的推导是的推导是的的基本步骤之一基本步骤之一。目前，建立目前，建立单元刚度矩阵单元刚度矩阵的方法主要有以下的方法主要有以下四种四种： 直接刚度法直接刚度法 虚功原理法虚功原理法 能量变分法能量变分法 加权残数法加权残数法 梁在梁在（可以是集中力或分布

32、力或力矩等）作用下产（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生生弯曲变形弯曲变形，在，在作用下产生作用下产生线位移线位移。 对于对于该平面简支梁该平面简支梁问题：问题：梁上任一点梁上任一点受有受有三个力三个力的作用：的作用： 水平力水平力Fx， 剪切力剪切力Fy ， 和弯矩和弯矩Mz。相应的位移相应的位移为：为： 水平线位移水平线位移u， 挠度挠度v ， 和转角和转角 z 。 由由上图上图可见：可见： 水平线位移水平线位移和和水平力水平力向右为正，向右为正， 挠度挠度和和剪剪切力切力向上为正，向上为正， 转角转角和和弯矩弯矩逆时针方向为正。逆时针方向为正。 通常规定：通常规定：为使为使问题简化

33、问题简化，可把，可把图示的梁图示的梁看作是一个看作是一个梁单元梁单元。如如图图5-4所示，当令所示，当令左支承点左支承点为为节点节点 i ，右支承点右支承点为为节点节点 j 时，时，则则该单元该单元的的节点位移节点位移和和节点力节点力可以分别表示为：可以分别表示为：, ,iizijjzjxiyizixjyjzjuvuvFFMFFM ( ), , ,Teiizijjzjqu vu v称为称为单元的节点位移列阵单元的节点位移列阵。 ( ),TexiyizixjyjzjFFFMFFM称为称为；若若 F 为为，则称为，则称为载荷列阵载荷列阵。 （5-1）（5-2）写成写成矩阵形式矩阵形式为为显然，显然

34、，和和是有联系的。在是有联系的。在内，内，这种关系这种关系是是，可用，可用下式下式表示表示 1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636 xiyizixjyjzjFkkkkkkFkkkkkkMkkkkkkFkkkkkkFkkkkkkkkkkM46566 iizijjzjuvuvkk ( )( )( )eeeFKq或或（5-3b）（5-3a）上上式式(5-3b)称为称为，或称为，或称为单元刚度方程单元刚度方程，它代表，它代表了了与与之间（或之间（或）的联系；）的联系；式中，式中，K(e)称为称为单元刚度矩阵

35、单元刚度矩阵，它是，它是。 对于对于图图5-4所示的所示的平面梁单元问题平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵单元刚度矩阵K(e)中的中的各各系数系数 kst( s, t = i, j ) 的数值，的数值，具体方法具体方法如下：如下： (1) 假设假设 ui=，其余位移分量其余位移分量均为零，即均为零，即 vi= iz=uj=vj= zj=0，此时此时梁单元如梁单元如图图5-5(a)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得 图图5-5(a)1 xiiF luEA320 3

36、2yiziiF lM lvEIEI202yiziziF lM lEIEI 由由上述三式上述三式可以解得可以解得 , 0, 0 xiyiziEAFFMl根据根据静力平衡条件静力平衡条件 , 0, 0 xjxiyjyizjEAFFFFMl 由由式式(5-3a)解得解得 112131415161, 0, 0, 0, 0 xiyizixjyjzjEAkFkFkMlEAkFkFkMl (2) 同理，同理，设设vi=，其余位移分量其余位移分量均为零，即均为零，即ui= iz=uj=vj= zj= 0, 此时梁单元如此时梁单元如图图5-5(b)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得0 xiiFluEA

37、321 32yiziiF lM lvEIEI202yiziziF lM lEIEI 图图5-5(b)321260, , xiyiziEIEIFFMll由由上述三式上述三式可以解得可以解得利用利用321260, , xjxiyjyizjyiziEIEIFFFFMF lMll 由由式式(5-3a) 解得解得 12223232425262321260, , 1260, , xiyizixjyjzjEIEIkFkFkMllEIEIkFkFkMll (3)同理，同理，设设 ，其余位移分量其余位移分量均为零，即均为零，即此时梁单元如此时梁单元如图图5-5(c)所示，由所示，由梁的变形公式梁的变形公式得得

38、1zi0iijjzju v uv 0 xiiF luEA320 32yiziiF lM lvEIEI212yiziziF lM lEIEI 由由上述三式上述三式可以可以解得解得2640, , xiyiziEIEIFFMll图图5-5(c)利用利用静力平衡条件静力平衡条件，可得，可得 2620, , xjxiyjyizjyiziEIEIFFFFMF lMll 13233324353632640, , 620, , xiyizixjyjzjEIEIkFkFkMllEIEIkFkFkMll 由由式式(5-3a)解得解得 ，仿此可推出。最后可以得到，仿此可推出。最后可以得到平面弯曲梁元平面弯曲梁元的的

39、单元单元刚度矩阵刚度矩阵为为 这样，便求得这样，便求得式（式（5-3a）单元刚度矩阵单元刚度矩阵中前三列中前三列刚度系数刚度系数。 323222( ) 0 0 0 0126126 0 0 6462 0 0 0 eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllKEAl323222 0 0 0126126 0 0 6264 0 0 EAlEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll可以看出，可以看出， K(e)为为。（5-4）(1)设定位移函数设定位移函数 按照按照有限元法的基本思想有限元法的基本思想：首先需设定：首先需设定一种函数一种函数来近似表达单元来近似表达单元内部的内部的

40、，称为，称为位移函数位移函数，或，或位移模式位移模式。 有有6个自由度个自由度，可以确定，可以确定 6个待定系数个待定系数，故，故三三角形单元角形单元的的位移函数位移函数为为 （5-5）123456( , )( , )uu x yxyvv x yxy式式(5-5)为为，称为，称为，称为称为。 1234561 0 0 00 0 0 1 ux ydsvx y 上上式式(5-5)也可用也可用表示，即表示，即 式中，式中，d 为为的的。 （5-6）由于由于 在在单元单元上，上，自然也就满足自然也就满足位移函位移函数数式式(5-5)。设设分别为分别为( ui, vi)、( uj, vj )、( um,

41、vm )，将，将节节点位移点位移和和节点坐标节点坐标代入代入式式(5-5)，得，得 123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy( )12345600000000010002000000eijmiijmiijnjijmjijmmijmmaaaubbbvcccuaaavbbbucccv（5-7）111112221iijjijjmmijimjimmmxyxyx yx yx yx yx yx yxy 式中式中（5-8）由上可知，由上可知，共有共有6个方程个方程，可以求出，可以求出6个待定系数个待定系数。解方程，求得。解方程，求得各待定系

42、数各待定系数和和节点位移节点位移之间的之间的表达式表达式为为 为为。其中：。其中： , , , , , , ijmmjjmiimmijjiijmjmimijimjjimmjiax yx yax yx yax yx ybyybyybyycxxcxxcxx（5-9）将将式式(5-7)及及式式(5-8)、式式(5-9)代入代入式式(5-6)中，得到中，得到 ( )( )00000000010 0 010000 0 0 12000000000 000 =ijmiijmiijnjijmjibmmijmmeijmijmeaaaubbbvcccuuxydaaavvxybbbucccvNNNqNNNN q （

43、5-10）（5-11）式中，式中，矩阵矩阵 N 称为单元的称为单元的形函数矩阵形函数矩阵； 为单元为单元节点位移列阵节点位移列阵。其中，其中， 为为单元单元的的形函数形函数，它们反映单元内位移的，它们反映单元内位移的 分布形态，是分布形态，是x, , y 坐标的坐标的连续函数连续函数，且有，且有( ) eq, , ijmNNN222iiiijjjjmmmmNab xc yNab xc yNab xc y（5-12）式式(5-10)又可以写成又可以写成, , ,iijjmmiii i j miijjmmiii i j muN uN uN uN uvN vN vN vN v（5-13）上式上式清楚

44、地表示了清楚地表示了单元内任意点位移单元内任意点位移可由可由节点位移节点位移插值求出。插值求出。 (2) 利用几何方程由位移函数求应变利用几何方程由位移函数求应变根据根据弹性力学弹性力学的的几何方程几何方程 ，线应变线应变 剪切应变剪切应变 则则应变列阵应变列阵可以写成可以写成 /, / ,xyuxuy / ,xyuyux ( )( ) 0001 0002iixijmeejyijmjxyiijjmmmmuuvxbbbuucccB qvycbcbcbuuuyxv式中，式中，B 称为称为单元应变矩阵单元应变矩阵，它是它是仅与仅与有关的有关的常量常量矩阵矩阵，即，即 （5-14） 00010002i

45、jmijmiijjmmbbbBccccbcbcb（5-15） 上述上述方程方程(5-14)称为称为，它的意义它的意义在于：在于： 亦可用亦可用即即节点位移分量节点位移分量来表来表示。示。 2101011002ED ( )( )( )( )exeeeyxyDDBq则有如下则有如下由由式式(5-19)可求可求，它它也可用也可用基本未知量基本未知量即即节点位移分量节点位移分量来表示。来表示。（5-18）（5-19）(4)由虚功原理求单元刚度矩阵由虚功原理求单元刚度矩阵 根据根据虚功原理虚功原理，当，当受到受到外载荷作用外载荷作用处于处于时，时，在任意给出的微小的在任意给出的微小的虚位移虚位移上，上，在在虚位移虚位移上所做的上所做的虚功虚功AF等等于结构内于结构内在在虚应变虚应变上所存储的上所存储的虚变形势能虚变形势能A ，即，即FAA设处于设处于平衡状态平衡状态的弹性结构内的弹性结构内任一单元任一单元发生一个发生一个微小的虚位移微小的虚位移，则则单元各节点的虚位移单元各节点的虚位移 为为 ( )eq ( ), , , , ,