复变函数第1章

1、 数学与统计学院数学与统计学院 吴昭君吴昭君 说明：说明：1 1、本课件以、本课件以樊孝菊樊孝菊等主编的等主编的复变函数与积分变换复变函数与积分变换为蓝本为蓝本 2 2、本课程共计、本课程共计5 54 4学时学时（或（或5151学时）学时），3 3学分。学分。引引 言言 在解方程在解方程210 x 时会遇到时会遇到-1-1开平方的问题开平方的问题 16 16世纪世纪, ,意大利数学家卡尔丹意大利数学家卡尔丹(Cardano 1501-1576)1501-1576)在解三次方程时在解三次方程时, ,引进了复数的引进了复数的概念概念. .他把他把4040看作看作 与与 的乘的乘积积（形式上的）（形

2、式上的）515515一、复数的引入一、复数的引入1545Cardan 年意大利数学家在解三次方程时，首先产生负数开方的思想。323330,.22427Cardanxpxqqqqpxrr r得出三次方程的根为 r其中 可以是正实数、负数或零。 17 17世纪世纪, ,微积分的创立微积分的创立, ,使得复数与平面使得复数与平面向量建立了联系向量建立了联系. .使复数有了几何解释使复数有了几何解释 瑞士数学家欧拉瑞士数学家欧拉(Euler)在在17771777年系统地年系统地建立了复数的理论发现了复指数函数与三建立了复数的理论发现了复指数函数与三角函数的关系，创立了复变函数论的一些基角函数的关系，创

3、立了复变函数论的一些基本理论本理论1.1 1.1 复数与复平面复数与复平面1.1.1 1.1.1 复数的基本概念复数的基本概念 zxiy或或zxyi，称，称定义定义1.11.1 对于任意两个实数对于任意两个实数, x y2i1 ；yzRe,Im .xzyz规定规定 称为称为虚数单位虚数单位， 为复数。为复数。 1i 的实部实部和虚部虚部，记为 分别称为复数 与 xzy定义定义1.21.2 设设111222,.zxiyzxiy当且仅当当且仅当 时，称时，称1212,xxyy12.zz 定义定义1.31.3 称称 为复数为复数 的共的共轭复数，记为轭复数，记为xiyzxiyz数的推广；全体复数构成

4、的集合称为复数集。数的推广；全体复数构成的集合称为复数集。因此复数是因此复数是实实看作实数看作实数 时，时， 0y 0zxix，称为纯虚数；当称为纯虚数；当 当当 时，时， 0,0 xyziy注意注意 与实数不同，一般两个复数不能比较与实数不同，一般两个复数不能比较大小，只能说相等和不相等。大小，只能说相等和不相等。 1.1.2. 1.1.2. 复数的几何表示复数的几何表示 一个复数一个复数 本质上由一对有序实本质上由一对有序实数数 惟一确定，惟一确定， 称为复数称为复数 的的实数实数对形式对形式( , )x yzxiy( , )x yz 有序实数对有序实数对 与平面直角坐标系中与平面直角坐标

5、系中的点是一一对应的。由此可以建立复数集与的点是一一对应的。由此可以建立复数集与平面坐标系中的点集之间的一一对应。平面坐标系中的点集之间的一一对应。( , )x y1. 1. 复数与复平面复数与复平面zOxy1ir实轴实轴虚轴虚轴xy 平面上全部的点和全体复数间有着一一平面上全部的点和全体复数间有着一一对应关系对应关系 这个平面称为这个平面称为复平面复平面或或 平面平面, ,记为记为 zC 引进了复平面之后，引进了复平面之后，“数数”与与“点点”之之间就建立了一一对应的关系，为了方便起见间就建立了一一对应的关系，为了方便起见，我们不再区分，我们不再区分“数数”和和“点点”，即，即“数数”表示表

6、示“点点”，而，而“点点”表示表示“数数”2. 2. 复数的模与辐角复数的模与辐角 在复平面上，复数在复平面上，复数 可以由自原点可以由自原点指向点指向点 的向量的向量 来表示，这种表示建立来表示，这种表示建立了复数集了复数集 与平面向量集合的一一对应关系与平面向量集合的一一对应关系，向量的长度称为复数的模。，向量的长度称为复数的模。zxiyzOzuu rCzOxy1irxy 正实轴到向量正实轴到向量 的有向角的有向角 合于合于Oztan,yx.Arg z称为复数称为复数 的的幅角幅角(Argument)(Argument)，记为，记为z 非零复数非零复数 的幅角有无穷多，称满足下的幅角有无穷

7、多，称满足下列条件列条件zArg zarg2.Arg zzk(0, 1, 2,)k 的幅角为的幅角为 的的主值主值，记为，记为 所以所以Arg zarg . z注注 当当 时，幅角无意义时，幅角无意义0z 有着如下关系，有着如下关系，argzarctanyx与arg(0)zzarctan,2arctan,arctan,2yxyxyx当当0,0;xy当当0,0;xy 当当0,0;xy 当当0,0;xy 当当0,0.xy Oxy1iOxy1iargzargzarctanyxarctanyxargarctanyzxargarctanyzx0,0 xy0,0 xy 例例 1 1 求求 及及(22 )A

8、rgi( 34 ).Argi 解解(22 )arg(22 )2Argiik24k 2arctan22k(0, 1, 2,)k ( 34 )arg( 34 )2Argiik 4arctan23k4(21)arctan.3k(0, 1, 2,)k 1.1.3 1.1.3 复数的运算复数的运算 全体复数并引进了复数的和、差、积、全体复数并引进了复数的和、差、积、商运算之后就称为商运算之后就称为复数域复数域，常用，常用 表示表示C 定义定义1.41.4 设设111222,zxiy zxiy则则 复数的和、差、积、商的定义。复数的和、差、积、商的定义。121212()()zzxxi yy121212()

9、()zzxxi yy 注：注：在复数域内，一切代数恒等式，如在复数域内，一切代数恒等式，如223322()(),()()abab ababab aabb等等，仍然成立等等，仍然成立1212121221()()zzx xy yi x yx y1112222222121221122222()()()()()()zxiyxiyzxiyxiyx xy yi x yx yxy 复数的运算满足下列运算律复数的运算满足下列运算律12211 22 1,;zzzz z zz z1231231231 23()(),()();zzzzzzz z zz zz(1)(1)交换律交换律(2)(2)结合律结合律(2)(2)

10、分配律分配律1231 21 3().z zzz zz z 复数的模和共轭复数有下面性质：复数的模和共轭复数有下面性质：11(1)Re(),Im();22zzzzzzi(2)(),;zzzwzw zwzwww2222(3)(Re )(Im )zzzzxy例例2 2 设设 111222,zxiyzxiy，证明证明 )Re(2212121zzzzzz证明证明 121 21212122Re().z zz zz zz zz z由于复数和向量构成了一一对应的关系，再由于复数和向量构成了一一对应的关系，再由复数的运算可知，两个复数的加减运算和由复数的运算可知，两个复数的加减运算和相应向量的加减运算一致。它们

11、可以用平行相应向量的加减运算一致。它们可以用平行四边形及三角形法则来表示。其几何意义如四边形及三角形法则来表示。其几何意义如下图所示。下图所示。 从直角坐标与极坐标的关系，我们可以从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模和幅角来表示非零复数用复数的模和幅角来表示非零复数 (cossin ).(1.2)zricossin .zi 当当 时，有时，有1r 这种复数称为这种复数称为单位复数单位复数1.1.4 1.1.4 复数的三角表示与指数表示复数的三角表示与指数表示即即(1.1)zxiy， 由我们熟知的由我们熟知的欧拉公式欧拉公式cossin .iei容易验证容易验证12121122()(),

12、.iiiiiie eeeee并有并有 .(1.3)izre即即arg.izzz e 我们分别称（我们分别称（1.21.2）和（）和（1.31.3）式为非零）式为非零复数的复数的三角形式三角形式和和指数形式指数形式，并称，并称 为复数为复数 的的代数形式代数形式这三种形式可以互换这三种形式可以互换，它们各有其便，它们各有其便zxiyz 例例3.3.412(cossin)2;44iiie 21 (cossin);22iiie01 1 (cos0sin0);iie=+=g22 (cossin )2;iie 233 cossin3.22iiie 例例4 4 将复数将复数1cossin(0)i化为指数形

13、式化为指数形式 解解 原式原式22sin2 sincos222i2sinsincos222i2sincossin22222i22sin.2ie 我们也可以用常规的方法解这一题，见我们也可以用常规的方法解这一题，见课本课本P4P4，可以看到要复杂的多。，可以看到要复杂的多。1.1.5 1.1.5 复数的乘方和开方复数的乘方和开方11112222(cossin),(cossin).zrizri1.1.复数的乘积和商复数的乘积和商则则1 21 21212cos()sin()z zrri设设11121222cos()sin()zrizr 若若 则则121122,iizrezr e121212,zzrr

14、（或（或122,kk为整数）为整数） 我们容易得到我们容易得到12121122()1 2121 2()111222,(1.4).iiiiiiz zre r err ezrerezr er111 21 21222,(1.5)zzz zrrz zzz所以所以1 2121122,(1.6).Arg z zArg zArg zzArgArg zArg zz 定理定理1.11.1 两个复数乘积的模等于它们两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们的模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角之和。辐角之和。 定理定理1.21.2 两个复数商的模等于它们模两个复数商的模等于它们模的商，两个

15、复数的商，两个复数商商的辐角等于它们的辐角之的辐角等于它们的辐角之差。差。 例例5 5 计算计算解解 因为因为(13 )(3)ii132(cossin),335532cos()sin(),66iiii 所以所以(13 )(3)4cos()sin()4 .22iiii 例例6 6 已知等边三角形两个顶点为已知等边三角形两个顶点为 和和 ，求另一个顶点。，求另一个顶点。11z 22zi11z 22ziz33z 解解 如图，由等边三角形的性质知，向如图，由等边三角形的性质知，向量量 可看成可看成 旋转旋转 而成，设所求顶点而成，设所求顶点为为 ，则，则1 2z zzxiy31z z311 2iz z

16、z z e3() 1(2) 1ixiyie 即即3(1)1izxiyi e(1)(cossin) 133ii3313()().2222i同理可求另一顶点为同理可求另一顶点为3(1)1izxiyi e3313()().2222i例7解,zxiy令,zxiy则22;xyzz;2zzx;2zzyi代入原方程得到复数表示的圆方程0;azzzzd222.24bicbcad其中 满足22220, , ,0,4.a xybxcyda b c dabcad 试用复数表示圆的方程: 其中是实数，满足2.2.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 1) 乘幂乘幂 设设 则则 ,izre(cossin),nninn

17、zr ernin从而有从而有,nnzz.nArg znArg z(cossin )cossin.ninin当当 时，则得时，则得棣莫弗棣莫弗(De Moivre)(De Moivre)公式公式1r 2) 2) 方根方根 若若 (2,nwzn整数）整数）(1.7)则其方根是则其方根是(1.7)(1.7)的根，其根的总体记为的根，其根的总体记为，下面我们来讨论它们，下面我们来讨论它们nz设则设则(1.7)(1.7)变形为变形为,iizrewe,niniere从而得从而得,2,nrnk解得解得2,nkrn取算术根取算术根从而有从而有,.nnnzzArgzArgzn因此的次方根为因此的次方根为zn这里

18、取这里取k(0, 1, 2,)k 22,kinnnkkkiinnnwzreere(1.8)实际上只要取就可得实际上只要取就可得 (1.8)(1.8)的个不同的根的个不同的根k0,1,2,1nn(1.8)(1.8)可表为可表为20,kinnkkwzew0.innwre这里为得到的不同值，可这里为得到的不同值，可由依次绕原点旋转由依次绕原点旋转nzkw0w222,2,3,.nnn当取到时，与重合当取到时，与重合kn0wOxy1in6n z0w1w2w1nw例8 . 1 4的值的值计算计算i 解12 cos2sin2(0, 1, 2,)44ikikk 424sin424cos2184kiki).3

19、, 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即,169sin169cos281 iw,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点的的心在原点半径为心在原点半径为这四个根是内接于中这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w1.1.6 1.1.6 无穷远点和复球面无穷远点和复球面 在复变函数中，有些函数当自变量趋于在复变函数中，有些函数当自变量趋于一个定点时，函数值趋于无穷。故我们有必一个定点时，函数值趋于无穷。故我们有必要将复数域加以扩充，引入一个数要将复数域加以扩充，引入一个数 。在数。在

20、数学分析中，学分析中， 不是一个定值，它代表的是变不是一个定值，它代表的是变量无限增大的符号；而在这里，我们把它作量无限增大的符号；而在这里，我们把它作为一个定值。为一个定值。无穷远点无穷远点 的引入的引入: : 利用测地投影法，我们可以建立复平面与利用测地投影法，我们可以建立复平面与球面的对应关系，方法如图球面的对应关系，方法如图. .由此可知由此可知, , 复复平面与除掉平面与除掉N N点后的球面是一一对应的点后的球面是一一对应的. . 复复平面上的点的模趋于无穷时平面上的点的模趋于无穷时, ,它在球面上的它在球面上的对应点趋于对应点趋于N N点点. .所以所以, ,我们假想有一个点我们假

21、想有一个点, ,称称其为无穷远点其为无穷远点, ,并记为并记为 （与与N N点相对应点相对应）. . 复平面加上无穷远点称为扩充复平面复平面加上无穷远点称为扩充复平面, ,而把而把球面称为复球面球面称为复球面. .扩充复平面与复球面一一扩充复平面与复球面一一对应对应.(.(我们也称复平面为有限复平面我们也称复平面为有限复平面) )记为记为, CCC关于无穷远点关于无穷远点 的几点规定的几点规定: :(1) (1) 无意义无意义; ; 00,0,（2 2） 0,aaa时aa（3 3）0,)(0bbbb时但可为(4) (4) 的实部、虚部及辐角都无意义的实部、虚部及辐角都无意义, , (5) (5

22、) 复平面上每一条直线都通过点复平面上每一条直线都通过点 ，没有一个半平面包含点没有一个半平面包含点 注：直线不是简注：直线不是简单闭曲线单闭曲线E.X. P10. T2E.X. P10. T2；(2),(3),(4);T3(2),(3),(4);T3（2 2）；1.2 1.2 复平面点集复平面点集1.2.1 1.2.1 点集的概念点集的概念: :1. 1. 邻域邻域,(0( , ),),;.aarUaC rzC zaarr设则称圆盘为，或，记作的一个邻域的一个 邻域ar;zC zar称为无穷远点的一个邻域。00 0 ( , )Uazzrz称由不等式所确定的点的集合为记作去心邻域,的2. 2.

23、 内点内点( , )0,.U a rEraE若存在使，则称 为合 的一个内点集Ea3. 3. 边界与闭包边界与闭包(0, )()(, )EU a rCEU aErra 若对任意使，并且则称 为 的一个边界点。.EE全部边界点所组成的点集称界，记作边为 的EP 4. 4. 开集与闭集开集与闭集.EE内点若 中每一点均为，则为开集称.CEE若 是开集，称 为闭集则.EE闭包的为闭集EP .EEEE闭称包, 记作为 的5. 5. 有界集、无界集有界集、无界集0,|.KaEaKE若存在对于任意恒，则称 为有界集有.E否则称 为无界集xyoxyo.41| ),(22 yxyx例例 1 10| ),( y

24、xyx例例 2 2.EDE若 中任意两点，恒可用 中的有限条线段连接起来，则称连通集为例例 3 3 1.2.2 1.2.2 区域区域连通开复平面上非空的称集为区域。区域边界加上它的称为闭区域。说明说明 1. 1. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. .z 1C2C3Cz 1C2C3C2. 2. 以上基本概念的图以上基本概念的图示示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界.3平面曲线平面曲线( )()zz tatb 如果令如果令 , , 则则该曲线可以表示为该曲线可以表示为( )( )( )()z

25、 tx tiy tatb ( ),()( ),xx tatbyy t 表示一条平面曲线，称此曲线为表示一条平面曲线，称此曲线为连续曲线连续曲线。 设设 为为两个两个连续的实函数，连续的实函数，( ), ( )x ty t定义定义1.151.15方程组方程组 其中其中( )z a称为曲线称为曲线( )z t的起点，的起点，( )z b称为称为曲线曲线( )z t的终点，如果的终点，如果( )( )z az b, ,则称曲线则称曲线( )z t为闭曲线。为闭曲线。定义定义1.161.16 ( ) ,( )x ty t如果如果是连续的，且对是连续的，且对22 ( )( )0 x ty t，那么称该曲

26、线为那么称该曲线为光滑曲线光滑曲线。()t atb ，有，有 一切一切由几条依次相接的光滑曲线所组成的曲线称由几条依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为为按段光滑曲线按段光滑曲线。当当1212, ( )( )tt z tz t时，称为曲线的时，称为曲线的重点重点凡无重点的连续曲线，称为凡无重点的连续曲线，称为简单曲线简单曲线或或若尔若尔当曲线当曲线， 的简单曲线称为的简单曲线称为简单闭简单闭曲线，也称为周线或围线。曲线，也称为周线或围线。( )( )zz 定理定理1.31.3（若尔当定理若尔当定理）：任意一条若）：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公

27、共点的区域：一个有界的称为该简单曲线的内点的区域：一个有界的称为该简单曲线的内部，另一个无界的称为该简单曲线的外部部，另一个无界的称为该简单曲线的外部C内部( )I C( )E C定义定义1.181.18设设G G是一个区域，如果其中任意是一个区域，如果其中任意一条简单闭曲线的内部总属于一条简单闭曲线的内部总属于G G，称，称G G为为单连单连通区域通区域; ;不是单连通区域的区域称为不是单连通区域的区域称为多（复多（复）连通区域）连通区域; ;1.2.4 1.2.4 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 单连通区域的特征：单连通区域的特征：单连通区域单连通区域G内的任内的任意一条简单

28、闭曲线在意一条简单闭曲线在G内可以经过连续变形内可以经过连续变形而缩为一点。而缩为一点。(1)0Re1;z 例例4 4 指出满足下列条件的点集是什么？指出满足下列条件的点集是什么？并确定其开闭性、有界性、连通性。并确定其开闭性、有界性、连通性。(2)05;zi(3)arg();4zi(4)4;zizi (5)2.zizi 解解 （1 1）表示以）表示以 为边界的带形为边界的带形区域，是连通闭区域，无界。区域，是连通闭区域，无界。0,1xx (2)(2)表示以表示以 为心，为心， 为半径的圆的内为半径的圆的内部除去圆心部除去圆心 的点集，是有界多连通区域。的点集，是有界多连通区域。ii5 (3)

29、(3)表示起点为表示起点为 ，斜率为，斜率为1 1的半射线（的半射线（不包括端点不包括端点 ），是无界连通集。），是无界连通集。ii (4)(4)表示焦点为表示焦点为 的椭圆内部和椭圆上的椭圆内部和椭圆上的点，是连通的有界闭区域。的点，是连通的有界闭区域。i (5)(5)2.zizi化为化为2zizi令令 ，代入得，代入得zxiy22254,33xy表示以表示以 为心，为心， 为半径的圆上的点和圆为半径的圆上的点和圆外的点的集合，是无界的多连通闭区域。外的点的集合，是无界的多连通闭区域。5,0343 定义定义1.19 1.19 设设 为一个复数集为一个复数集, ,若对若对G G内内每一复数每一

30、复数z,z,有唯一确定的复数有唯一确定的复数 与之对应与之对应, ,则称在则称在 上确定了一个上确定了一个单值函数单值函数 若对若对 内每一复数内每一复数 , ,有几个或无穷多个有几个或无穷多个 与之对应与之对应, ,则称在上确定了一个则称在上确定了一个多值函数多值函数. . 称为称为定义域定义域, , 称为称为值域值域. .GwG (G)w f zzGzw( )().wf z zG GfG1.3.1 1.3.1 复变函数的概念复变函数的概念21,(1)1zwz wz wz wzz均为单值函数均为单值函数,(0)nwz wArgz z均为多值函数均为多值函数 例例1 1 例例2 2 设设 ，令

31、，令wz zzxiy( )wf zuiv则则2222,ux xyvy xy设设 则则zxiy( )wf zuiv 而而 是复数，故是复数，故 都是都是 的函数，的函数，即即 是二元实函数。是二元实函数。w, u v, x y( , ),( , )uu x y vv x y复函数复函数( )( , )( , )wf zu x yiv x y可以理解为两个复平面上的点集间的映射，可以理解为两个复平面上的点集间的映射，即即 平面的点集平面的点集 ，通过复变函数，通过复变函数 映映射到射到 平面的点集平面的点集 zE( )f zw( )Gf E2.2.映射的概念映射的概念OxyOuv1z2z1w2w(

32、 )wf z考虑映射考虑映射.1zw 例例3 3（1 1）求点）求点 的像；的像；111111111,(1)12wi wizizi 12,1zi zi （2 2）曲线）曲线 在在 平面的像；平面的像；3yxw由由2211xiywuivzxiyxy2222,.xyuvxyxy得得 当当 时，得时，得1,43.4uxvx3yx（3 3）角形域）角形域 映射成什么？映射成什么？0arg3z3vu 消去消去 得直线得直线xarg03z.3.2.复变函数的极限与连续复变函数的极限与连续 定义定义1.20 1.20 设设 于点集于点集 上有定义上有定义, , 为为 聚点聚点. .如存在一个复

33、数如存在一个复数 , ,使对使对( )wf zE0zE0w0 有有 ，只要，只要 就有就有000,zzzE0( ),f zw则称则称 沿沿 于于 有有极限极限 , ,并记为并记为( )wf zE0z0w00lim( ).zzz Ef zw定理定理1.41.4设函数设函数( )( , )( , ),f zu x yiv x y00000,Auiv zxiy则的充要条件是则的充要条件是0lim( )zzf zA000000lim ( , ),lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv 注：注：1.1.复变函数极限的定义与二元实函复变函数极限的定义与二元实函数极限定义相似。数极限定义

34、相似。 2. 2. 的方式是任意的。的方式是任意的。0zz 证明证明 必要性必要性 如果如果0lim( )zzf zA根据定义，对根据定义，对 必必 当当0, 0,22000 0 |()()zzxxyy时，有时，有202000)()( | )()( |)(|vvuuivuivuAzf所以，当所以，当 时，有时，有22000()()xxyy|v-v| |00uu000000,lim( ,),lim( ,)xx yyxxyyu x yuv x yv即即 充分性充分性 如果如果000000,lim( ,),lim( ,)xx yyxxyyu x yuv x yv即当即当 时，有时，有22000()(

35、)xxyy2/|v-v| 2/|00uu于是当于是当 时，有时，有00 |zz| )()( | )()( |)(|00202000vvuuvvuuvviuuAzf即即0lim( )zzf zA极限的性质极限的性质: :(1) (1) 若极限存在若极限存在, ,必然唯一必然唯一; ;(2) (2) 四则运算与实函数的极限性质相同四则运算与实函数的极限性质相同. .定理定理1.5 1.5 设设00lim( ),lim ( )zzzzf zAg zB则则0lim ( )( )zzf zg zAB0lim ( )( )zzf z g zA B0( )lim.( )zzf zAg zB 例例4 4 判断下列函数在原点处的极限是判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值。否存在，若存在，试求出极限值。22Re( )Re()(1)( ),(2)( )zzzf zf zzz解解因为因为Re( )( ),zzf zzz所以所以 取取 当当 时，有时，有0, ,0z 0f zz由极限定义知由极限定义知 0lim0.zf z（2 2） 设设 ，则，则zxiy222222,.zxyixy zxy2222( ),