自适应控制--自校正控制

1、l4-1 概述l4-2 最小方差自校正控制l4-3 自校正PIDl一、自校正控制器的结构 l二、复习(预备知识)离散时间系统模型 及其参数估计l三、闭环可辨识的条件一、自校正控制器的结构 自适应律 估计器 调节器 被控对象STRSTR结构图结构图( )u t( )y t( )r t内环外环实时辨识算法最优控制. xcl1、基本思想、基本思想: 控制器+估计器l2、特点、特点: 过程建模+控制器设计l3、与、与MRAC的区别：的区别：l (1)源于随机调节问题; l (2)调节器参数由参数估计和控制器设计 计算间接更新 间接法；l (3)一般采用离散模型; 补充：什么是最小二乘算法？VuuJuu

2、eeJeueuuVVV2150 min) 210() 220(210220215 210 220 122222121最小二乘准则：小。准则：使误差平方和最第二次误差：第一次误差：设电压估计值为平均第二次第一次：量测电压实例变送器变送器减温器减温器温度温度r ( (未知未知）I111222 i iiikkkIr eIr eerkIrIe，。一次测二次测次测，次测 2实例 ： 测温度iiiexhy 描述：观测观测已知已知待估计待估计嗓声嗓声法，称最小二乘法。这一准则求估计值的方称最小二乘准则，根据取极小值的准则，的最小二乘估计，使称为估计参数为：) ( 022 )2() ( 12112112221

3、212rJrrIrrIrJrrIIrIeJrkiikiiikiikiiikiiiiikiiikiimin) () (1212kiiikiixhyexJ准则：y1x2xnx系统参数系统参数12121122 , nnnnyxxxx xxy设线性系统：如何根据输入和输出的观测值要解决的来确定系统问题： ， ，数，的参 121212 , , ,1,mnnt ttmx xxymy ixixixiin最小二乘法辨识所要解决的问题。 设在， 的 个时刻，分别对输入和输出 进行 次观测，所得的数据为 最小二乘法的一般原理：补充mmnmmnnmmnnmmmnnnntxtxtxtxtxtxtxtxtxXtytyt

4、yYXYeitxtxtxtytxtxtxtytxtxtxty212122221112112122112222211211221111,)()()()()()()()()(,)()()( .) 1 ( )()()()()()()()()()()()(矩阵向量形式： 11212 1 nX iYmTmTmmnmnxX Ymnm当时，若 非奇异，有唯一解：当时，由于存在观测误差和噪声，不可能确定一个， ，精确 满足式的 个方程，故要用来确定 。设误差向量， ，误差平方则和， 有解 的条件：)()( 022 )()( min ,112121LSEYXXXYXXXXXYXJXXXYYXYYXYXYJXYJ

5、TTTTTTTTTTTTTTmiTm的最小二乘估计为使任务：确定一组1、被控对象的离散时间模型、被控对象的离散时间模型 回顾: 确定性动态系统模型微分方程通过连续laplace变换得到传递函数;状态方程: 差分方程通过Z变换(离散laplace变换)得到脉冲传递函数W(z);DBAsICsG1)()(DBAzICzW1)()(ittyqititytyqtitytyqyqttytyqeiqttytyqeiqqiii0 , 0)( ),()( 0),()( 0)0( 1),1()( . : )2(0 ) 1()( . : ) 1 (:1111进而有：后向位移算子前向位移算子令差分算子例如: 如果微

6、分方程:所以一个n阶差分方程为:运用后向位移算子 ,有:即:101( )(1)()( )(1)()nmy ka y ka y knb u kbu kb u km1q111()(1) ( )nnA qaa qy t 11101()() ( )mmB qbbqb qu t 1111() ( )() ( )A qy tB qu tububububyayayaymmmmnnnn1)1(1)(01)1(1)(若系统从输入u到输出y存在纯迟延d则: 被控对象差分算子表达式(离散) 若考虑随机扰动x(t)对y(t)的影响,则: y(t)= u(t)+x(t) 被控对象结构图被控对象结构图 111111()

7、( )() ()() ( )dA qy tB qu tdqB qu t1111()()dqB qA q11111()()q B qA q( )u t( )x t( )y tl定理1的结论: 对于线性定常系统,当输入是平 稳 过程时,输出为平稳过程. 若输入(t)为单位谱密度的噪音, 则 H(z) = l定理2的结论: H(z)=B(z)/A(z)有理函数的 存在性. H(z) 脉冲传函l推论: 对 存在线性系统,当(t)为白噪声时,x(t) 为 的平稳过程.( )xt( ) ( ) ( ) t( )x t即:得到模型结构为:(3)被控对象规范化模型(CARMA模型) 由上图:( )( )X t

8、t1112()()C qA q1112()( )( )()C qx ttA q1111()()dqB qA q1112()()C qA q( )u t( ) t( )x t( )y t11111112()()( )( )( )()()dqB qC qy tu ttA qA q 输入输出规范化模型: 多种名称:CARMA模型, ARMAX模型, 广义回归模型 或写成: (4)CARMA模型的状态空间转换: 若令 n=max 取最大者,不是n者补0 则更一般的CARMA模型为: 111() ( )() ( )() ( )dA qy tqB qu tC qt1111()()( )( )( )()()

9、dqB qC qy tu ttA qA q,abcnnd n111() ( )() ( )() ( )dA qy tqB qu tC qt1111101111()1()()1nnnnnnA qa qa qB qbbqb qC qc qc q 000(1)( )( )( )x tA x tb u tkt0( )( )( )Ty tC x tt其状态模型为：其中：（2） 与模型的等价条件为:01201122012101,1,0,0,0,000TnTnnTnnnbb bbkca cacacaa IAaa2.参数估计的最小二乘算法参数估计的最小二乘算法: (1)最小二乘估计及性质: LS估计: 模型:

10、 差分形式: 其中: 令: N次观测(N , 为使 非奇异) 估计值为 .( )( )( )Ty tte t( )(1),(2),(),Taty ty ty tn (0), (1),. ()bu tdu tdu tdn12301,abTnna a aab bb1abnnT )()()()()(11tedtuqBtyqA则：第t次观测 残差: 向量形式: LSE的统计特性（见教材P79）: 无偏性 估计误差协方差阵 有效性 渐近性 一致性(定理3)( )( )( )mty tytye()ey (1)(2)(3)(4)(5)LS)()(1LSEyLSTTLS的最小二乘估计为)()(tetT(2)递

11、推最小二乘估计算法: 直观解释: 则: 若: , 则 , 不需修正 . 否则 , 需修正。 (1)()(1) (1)(1) ()() (1)(1)1(1) () (1)(1)(1)(1) ()TTTNNK Ny NNNP NNK NNP NNP NIK NNP N1()TNNp N (1), (2), ()TNN(1)(1) ()Ty NNN(1)(1)(1)(1) ()Ty Ny Ny NNN0:式中 初值选择问题: 当 时, 简便方法: (3)慢时变参数的递推估计: 加权LSE 适于慢时变系统1abNnnT1NN(N)TNny T1NN()P N (0)0,(0)PI21( )NTN iN

12、NNiJWi 渐消记忆递推LSE公式: 式中:CARMA: 可控自回归滑动平均模型(1)()(1) (1)(1) ()() (1)(1)(1) () (1)1(1)(1)(1) ()TTTNNK Ny NNNP NNK NNP NNP NIK NNP N1()TNnNp NW(4)CARMA模型的参数估计: 若: 为有色噪音 则对象CARMA模型为: 只介绍一种方法：扩展LS法或增广矩阵法 : 3. 参数估计的投影算法(自阅)1( )() ( )e tC qt1( )(1)()cnctctctn(1)()(1) (1)(1) ()() (1)(1)1(1) () (1)(1)(1)(1) ()

13、TTTNNK Ny NNNP NNK NNP NNP NIK NNP N)()()()()()(111tqCtuqBqtyqAd三、闭环可辨识的条件三、闭环可辨识的条件: 1.问题的提出问题的提出 : 一般我们在介绍辨识方法时，都假定系统是处在开 环状态下，而在自校正控制器中，被控对象的参数估计必需在闭环条件下进行。那么，在闭环条件下进行辨识会出现一些什么问题？这是设计自校正调节器时首先应该回答的。 下面从一个简单的例子开始，说明闭环可辨识问 题，然后在进一步导出为实现闭环可辨识调节器所应 具有的结构条件。( )(1)(1)( )y kay kbu ke k0( )( )u kg y k( )

14、, ( )(1)ay k u ke kb 例子:假设有一个反馈控制系统,对象和调节器的方程如下: 对象: 调节器: 对象方程又可写成:) 1()()() 1(ketbukayky 令: 则:ab 1(1)(2)()Ny ky kYy kn1(1)(2)()Ne ke kEe kn( )(1)(1)y ky kXy knYXE2)1() 1() 1()(Nnkukuku 参数 的最小二乘估计 等于: 而:( )( )Ty kX Xu k(1)(1)y ku k121( )( ) ( )k Ni kk Ni ky iu i y i1122 2( ) ( )( )k Ni kk Ni ky i u

15、iu i) 1() 1(nkunky2)1() 1() 1()(Nnkukuku) 1() 1()(nkykykyYXXXTT1)( 原调节器方程 为奇异矩阵 控制规律: 在 条件下, 参数a.b成为不可辨识成为不可辨识的了. (此处仅指采用LS法,而不是其它辨识方法).0( )( )u kg y k 代入12120( )( )k Ni kk Ni ky igy i1201220( )( )k Ni kk Ni kgy igy iTX X0( )( )u kg y k计算系统：计算系统： ) 1()()(21tubtubky中的参数中的参数 和和 的最小二乘估计。假设已得到下的最小二乘估计。假

16、设已得到下列测量结果：列测量结果： 1b2b2001 1000 32001 1001 2 1000 1 yut2、闭环调节器系统可辨识的条件、闭环调节器系统可辨识的条件: 设更一般形式的被控CARMA模型为: 式中: 为迟 111() ( )() ()() ( )A qy tB qu tdC qt1111101111()1()()1nnnnnnA qa qa qB qbbqb qC qc qc qd ,max,abcnn nd n延 调节系统结构图为调节系统结构图为: : 11()()G qF q11()()dqB qA q11()()C qA q( )r t( )y t( )k( )u t参

17、数计算参数估计( )u k( )y k控制器被控对象( )r k( )y k( )x k成形过滤器1111101()1()uuuuF qf qf qG qgg qg q11ycG q d BAFA11111111()()()() ()() ()()dF qC qQ qA qF qqB qG qP q11()()Q qyP q若不考虑参数计算部分的作用,控制系统闭环传递函数为 :00b 11212()nnB qb qb qb q假设:控制器多项式：或： 其中: 且: 为了简化分析,现假定d=0，且假定闭环系统是稳定的. 将 多项式 代入 中展开有:11111()() ()1,Q qC qF qq

18、 qq qnu 11111()() ()() ()dP qA qF qqB qG q111llp qp q max,lnu dnv1111(), (),(),()A qB qF qG q1()P q1111(1)(1)nunua qa qf qf q11101()()nvnvbqb qgg qg q1111lp qp q 1q110111 12112022122131221033112211220():1,0,0jjnj njjnj njjjjjab gpfa fab gb gpfa fa fab gb ggpfa fa fa fb gb gb gpfffg 其中比较上式等号两端 同次的系数,

19、可得以下方程组:121ufff11uff11231uffff012vgggg01vggg012vgggg1212nnaaabbb112221uuunpfpfpfpp 写成矩阵形式: *aS即： 当矩形S是2n2n 方阵. 且 ranks=2n时, 有唯一解: 当S的行数2n. . 且 ranks=2n时, 有唯一最小解: 有解的条件为: rankS=2n 要求 的阶(u或v)至少应等于n 即: u or v n (判据) 参数闭环可辨识的条件为:调节器方程 的阶次应等于或大于被控过程的阶次n. (但当过程延迟d1时, u or v 可以比n小) 1*S1*()TTlsS SS. i e 11(

20、),()F qG q l一、控制策略 l二、最小方差自校正调节器 l三、广义最小方差自校正控制一、控制策略一、控制策略 1. 预测模型预测模型 已知对象模型为: 111() ( )() ( )()( )dA qy tqB qu tC qt111()1nanaA qa qa q 1101()nbnbB qbbqb q111()1ncncC qc qc q 2( ( )0,()( ( ) ( )0,()EtijEijij( ) t式中：白噪声 t时观测数据记作: 对t+d时刻的预测: 则预测误差为: 定理1:最优d步预测 使预测误差的方差 为最小的d步最优预测 必须满足方程:(最优预测方程) ,

21、( ), (1), ( ), (1),ttY Uy ty tu t u t(| )y td t(| )()(| )y td ty tdy td t2(| )E y td t*(| )y td t1*11()(| )() ( )() ( )C qy td tG qy tF qu t)()()()()()()()()(11111tyqCqGtuqCqFdtqEdty预测模型：111()() ()F qE qB q1111()() ()()dC qA qE qq G q111()1neneE qe qe q 1101()ngngG qgg qg q1an 1*2221(| ) (1)diiE y t

22、d te 其中: d-1阶 阶 阶 此时,最优预测误差的方差为:1 )(1101dnqfqffqFbnfnf 小结:当 , d已知时 幂项系数相等 求得: 初值问题:若为稳定状态下预测,由于初始条件对 最优预测的影响指数衰减. 当 时,影响 可不考虑初值条件的影响. 例1:求最优预测器,并计算最小预测误差方差. 已知对象方程: 其中: 解:(见P103清华大学，韩曾晋) 111(), (),()A qB qC q1Diophantinaq 求解同111(),(),()E qG qF qt 0101( )(1)(2)( )(1)y ta y tb u ttct10.9a 0.5ob 10.7c

23、2d -1111101011112111011100111101110010110E, F,GG(q)=g , E(q)1e q, F(q)ff qDiophantine1c q(1a q)(1e q)qg1e qb (ff q)eca ,ga (ac ),fb ,fb (ca )g y(ty(t+2)=根 据 对阶 的 要 求 有 ：由方 程 可 得 ：得 ：预 测 模 型 、 最 优 预 测 和 最 优 预 测 误 差 的 方 差 分 别 为 ：1101111110011111*001112*221)(ff q)u(t)(1e q)(t2)1c qg y(t)(ff q)u(t)y(t+2

24、)=(1e q)(t2)1c qg y(t)(ff q)u(t)y (t+2|t)=1c qEy (t2 | t)(1e ),d=1若如 何 ？ 二、最小方差自校正调节器二、最小方差自校正调节器 1. 最小方差控制最小方差控制: 假设: 是Hurwitz多项式. 定理2: 最小方差控制,设控制目标为: 则小最方差控制律为: 说明: 最小方差调节器结构图:只在扰动 作用下, 即r(t)=0对于调节器问题,可设 (控制目标) 2 ()() minrJEy tdy td111() ( )() () 1(| )() ( )rF qu ty tdC qy td tG qy t( ) t()0ry td1

25、1() ( )() ( )F qu tG qy t 11111()()( )( )() ( )()() ()G qG qu ty t FE By tF qE qB q 或:)(1qB 调节系统结构图为调节系统结构图为: 111()() ()G qE qB q11()()dqB qA q11()()C qA q( )r t( )y t( ) t 闭环传函:( )1( )1ddy tCCFG qBtAAFqBGFA()ddCBECBEFBEEABEqBGB AEqG111( )()( )()( )()( )( )( )()y tE qtG qGGu ty tEttF qEBB 最小方差控制的实质:

26、 用控制器的极点: ( 的零点) 去对消被控对象的零点 . 如果B不稳定.即有根在单位圆外 (B零点在圆外) 指数 饱和 不稳定 最小方差控制要求对象必须是最小相位的.1()B q1()Fq1()B q1( )()( ),y tE qt有界( )( )Gu ttB )(ty 最小方差控制器的缺点: i.只能用于最小相位系统(逆稳系统) ii.对靠近单位圆的稳定零点敏感 iii.当 的 很大时 u(t)的 加速机构磨损, 调节过于猛烈. 例2: 见p105 小结: 采用最小方差控制u(t)时的输出方差比不加u(t) 时减小了3/4.产品质量高,经济效益高(t)型工业过 过程.( ) t22 补充

27、练习: 已知系统方程为: 若: 设d=1 , 为高斯白噪声序列 N(0,1) 求:最小方差控制律 和输出量的最小方差. 若d=2 时呢?111() ( )() ()() ( )A qy tB qu tdC qt11211112()1 1.70.7()1 0.5()1 1.50.9A qqqB qqC qqq ( ) t*( )u t 解: 由Diophantine方程可得: 令上式两边各次相的系数相等,则:1()G q11an 101gg q1()E q10d 11()F q11bnd 101ff q1CAEq G12(1 1.50.9)qq121101(1 1.70.7) 1()qqqgg

28、q 00111.71.53.20.70.90.2gggg 最小方差控制律为: 输出最小方差为: 若d=2 , 则11111()3.20.2( )( )( )() ()1 0.5G qqu ty ty tE qB qq 22121221( ) () ( ) 1.(1)1diiE y tE E qte方法22. ( )1Et方法111()1E qe q 1101()G qgg q12(1 1.50.9)qq12121101(1 1.70.7) (1)()qqe qqgg q控制质量 方差 1013.25.642.24egg 112(5.642.24)( )( )1 3.71.5qu ty tqq2

29、2221( )(1)(1 3.2 ) 111.24E y te . 最小方差控制的基本结论: 对象模型(CARMA): 其中: 最小方差预报律: 最小方差控制律:111() ( )() ()() ( )A qy tB qu tdC qt1111()() ()()dC qA qE qq G q111()( )( )() ()G qu ty tE qB q )()()()()()( 111qCtuqFtyqGtdty3、最小方差自校正调节器、最小方差自校正调节器: 隐式算法隐式算法 当被控对象参数未知时,根据最小方差控制策略,要获 得好的控制效果,自校正控制器也应为: 加递推LS估计 最小方差自校

30、正控制 器(隐式)。 隐式算法的原则:被控对象的估计模型最好以所希望 控制策略的参数作为自己的参数,以被控系统的实际 输 出和输入作为自己的可用信息。11111()()( )( )( )() ()()G qG qu ty ty tE qB qF q 1973.Astrom wittenmarlc 年 (1). 估计模型: 利用预测模型(5.1.7)作为估计模型,并令 : 其中: 可用最小二乘法得到控制器估计模型 参数在闭环可辨识条件推导中,要是全部参数可辨识, 多项式的首相系数应已知, 假如取: 则修改隐式模型为: 或: 式中:111()() ( )() ( )() ()y tdG qy tF

31、 qu tE qtd11( )( )(1)(1)dttetetd11(),()G qF q1()F q000fbb0( )()()( )Ty tb u tdtdt0()( )( )()Ty tdb u tttd0112,( ) ( ), (), (1), ()gfTnnTgfgggfffty ty tnu tu tn1)(tC 当: 时, 可使: 实现了最小方差控制的要求. (2). 最小方差自校正调节算法: 根据递推LS参数估计,即可对(1)式中未知参数向量 进行递推估计: 递推公式略: (见p106 , (5.1.13) 或p82(4.2.16) 用递推LS求得的 代替(2)中的,即得到;了自校正调节器 的控制策略:01( )( )Tu ttb ()()y tdtd0112,ggTnngggfff 或: 式中: 计算步骤:见107 步. 例3: 自阅0111( )( )( )()( )( )()Tu tttbG qu ty tF q 11011101()()ggffnnnnG qgg qgqF qfg qfq (3). 最小方差自校正跟踪算法 给定 和扰动 共同作用,即: 估计模型: 最小方差控制: 扩展最小二乘计算法: