自动控制原理第六版课件第二章

1、本章重点、难点与考点本章重点、难点与考点一、一、重点：重点：传递函数、结构图变换与简化、梅逊公式传递函数、结构图变换与简化、梅逊公式二、二、难点：难点：传递函数含义及性质的理解、结构图的简化、梅逊传递函数含义及性质的理解、结构图的简化、梅逊公式的应用等公式的应用等第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、三、考点考点： 1 1、求实际系统的微分方程、动态框图和传递函数；、求实际系统的微分方程、动态框图和传递函数； 2 2、求复杂系统的传递函数；、求复杂系统的传递函数； 3 3、把方框图变换成信号流图。、把方框图变换成信号流图。Automatic Control Theory 2.2

2、.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 21 1 引言引言 1 1关于数学模型关于数学模型 定义定义：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。有静态模型与动态模型之分。（数学表达式。有静态模型与动态模型之分。（Page21前言）前言） 形式形式：时域模型（时域模型（t）：微分）：微分/差分差分/状态方程等；状态方程等；复域模型（复域模型（s=+j）：传递函数，结构图，信号流图；）：传递函数，结构图，信号流图；频域模型（频域模型（）：频率特性。）：频率特性。 特点特点及及建模原则建模原则：（略）：（略）Automatic Control

3、 Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 2 建模方法及步骤建模方法及步骤 方法方法：分析法（主）和实验法；：分析法（主）和实验法； 主要主要步骤步骤： 确定系统的输入、输出变量；确定系统的输入、输出变量； 从输入端开始，依次列写各元件从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分方环节的运动方程式（如微分方程）；程）； 消去中间变量，并将其化为标准消去中间变量，并将其化为标准注注形式。形式。 注注：标准形式标准形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数

4、的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 22 2 实例分析实例分析 例题例题1：P21例题例题2-1 例题例题2：RC无源网络电路如下图所示，试以无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，为输入量，u2为输出为输出量列写该网络的微分方程式。量列写该网络的微分方程式。 i2C1C2R2R1u1u2i 1解：解： u1为输入量，为输入量，u2为输出量；为输出量； 设回路电流分别为

5、设回路电流分别为i1，i2，如图，如图所示；所示；则有：则有： i1 R1+（i1i2）dt/C1 = u1 i2 R2+ (i2dt) /C2=（i1i2）dt /C1 (i2dt) /C2 = u2 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 消去中间变量消去中间变量i1，i2后，化为标准形式：后，化为标准形式： R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1 2 23 3 非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 1 1 线性系统的特性：线性系统的特性： 1 1）能够用线性微分方程来描述。）能够用线性

6、微分方程来描述。2 2）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这样的系统称为相似系统。样的系统称为相似系统。 3 3）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。 2 2小偏差线性化小偏差线性化 （自学）（自学）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 24 4 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 1. 1. 线性定常系统微分方程的求解：线性定常系统微分方程的求解： 目的目的：寻求系统输出随时间：寻求系统输出随时间t

7、变化的规律。变化的规律。 （求输出响应）（求输出响应） 方法方法： 经典法：微分方程经典法：微分方程 - 时域解时域解 c（t） 拉氏变换法：微分方程拉氏变换法：微分方程 -复域解复域解 C（s） 计算机求解法。计算机求解法。 例题例题1：右：右图所示的图所示的RC电路，当开关电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压突然接通后，试求出电容电压uc(t)的的变化规律。变化规律。Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型解解: 设输入量为设输入量为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，写出电路微分方程写出电路微分方程rCCuudtduT其中：

8、其中：T=RC, 且且000)(0tuttur)()()0()(sUsUussUTrCCC)0(1)(11)(CrCuTsTsUTssU故有故有解得解得由于由于Ur(s)= uo / s , 故故 TsuTssusUCOC110)111()(TtCTtOCeueutu)0()1 ()(所以所以urAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题2： 在下图中，已知在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。试求电路在通电瞬间。试求电路在通电瞬间uc（t）的变化规律。）的变化规律。

9、 (P26例例2-6) u c（t）u r（t）CLR解解：在教材：在教材P21例题例题2-1中已求得该电路的微分模型：中已求得该电路的微分模型： tutudttduRCdttudLCrccc22对上式两边求对上式两边求拉氏变换拉氏变换： LCs2Uc（s）-suc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s）= Ur（s） Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型由于由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有：将已知各条件代入后有： （s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(

10、s+2) 121 . 01122ssssUsssUrC即即通电瞬间通电瞬间, ur（t）=1 或或 Ur（s）=Lur（t）=1/s 121 . 011122sssssssUC故故再对上式两边求再对上式两边求反拉氏变换反拉氏变换： =1+1.15e-0.5tsin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tsin(0.866t+30) 1)2( 1 . 01112211ssssssLsULtuCcAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题3：已知某系统的数学模型为已知某系统的数学模型为 )()(2)(2)(2txtydttdydtt

11、yd其中其中x x（t t）, y, y（t t）分别为输入、输出量）分别为输入、输出量, ,且知且知x x（t t）=(t), =(t), y y(0(0- -)= y (0)= y (0- -)=0)=0， 求求y y（t t）的表达式）的表达式. . 解解: 对微分方程两边求拉氏变换：对微分方程两边求拉氏变换： s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s） 代入已知条件，注意代入已知条件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1 整理后得：整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2） 故故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+

12、2s+2）=(1/2j) L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）=(1/2j) e-（1-j）t- e-（1+j）t = e-tsintAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型拉氏变换法求解微分方程的过程：拉氏变换法求解微分方程的过程：P27 考虑初始条件，对微分方程中的各项求拉氏变换；考虑初始条件，对微分方程中的各项求拉氏变换； 求取输出量的拉氏变换式；求取输出量的拉氏变换式； 再求取输出量的拉氏变换式的反拉氏变换，求解之。再求取输出量的拉氏变换式的反拉氏变换，求解之。 2. 2. 传递函数传递函数 定义定义: 在在零初始条件零初

13、始条件 *下，线性定常系统输出的拉氏变换与输下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。表示为：入的拉氏变换之比。表示为：)()()()()(sRsCtrLtcLSG* 零初始条件：指当零初始条件：指当t0时，系统输入时，系统输入r（t）、输出）、输出c（t）以及它们的各界阶导数均为零，即：以及它们的各界阶导数均为零，即： r(0-)=c (0-)= r(0-)=c(0-) = r（n）(0-)=c（n）(0-)=0 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 传递函数的传递函数的基本性质基本性质： 它是复变量它是复变量s的有理真分式

14、函数。具有复变函数的所有性质；的有理真分式函数。具有复变函数的所有性质； 它只与系统的自身结构和参数有关，与输入信号的形式（大小、它只与系统的自身结构和参数有关，与输入信号的形式（大小、性质）无关；性质）无关； 其拉氏反变换是脉冲其拉氏反变换是脉冲(t)输入下的响应函数输入下的响应函数g(t)； 它与它与S平面上一定的零、极点图相对应。平面上一定的零、极点图相对应。 与微分方程可以相互转换：与微分方程可以相互转换：dnx（t）/dtn snX（s）；）； 传递函数的传递函数的局限性局限性： 只适用于描述线性定常只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反应系统在零初始系统，也只直接反应系统在零

15、初始条件下的动态特性。条件下的动态特性。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 25 5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 1. 1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应典型环节的传递函数及其单位阶跃响应 序号序号典型环节典型环节传递函数传递函数单位阶跃响应单位阶跃响应 1比例环节比例环节G（s）=KC(t)=K 1（t） 2惯性环节惯性环节G（s）=1/（Ts+1）C(t)=1-e-t/T 3积分环节积分环节G（s）=1/Tsc（t）=t/T 4纯微分环节纯微分环节G（s）=Tsc（t）= ? 5一阶微分环节一阶微分环节G（

16、s）=Ts+1c（t）= ? 6二阶微分环节二阶微分环节G（s）=T2s2+2Ts+1c（t）= ? 7振荡环节振荡环节G（s）=1/（T2s2+2Ts+1）c（t）= ? 8延迟环节延迟环节G（s）= e -Sc（t）= ?2. 2. 传递函数的求取传递函数的求取 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题1：RC无源网络电路如下图所示，试以无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，为输入量，u2为输出为输出量量,试求该网络的传递函数试求该网络的传递函数G(s)。 i2C1C2R2R1u1u2i 1解：解： u1为输入量，为输入量，

17、u2为为输出量；输出量； 设回路电流分别为设回路电流分别为 i1，i2，如图所示，如图所示， 则有：则有：R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1 在零初始条件下对上式求拉氏变换在零初始条件下对上式求拉氏变换,得得: R1R2C1C2s2U2(s)+( R1C1+ R1C2+ R2C2) sU2(s)+ U2(s) = U1(s) G(s)= U2(s)/ U1(s)=1/ R1R2C1C2s2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) s+ 1 即即:Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题

18、2： 在下图中，已知在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1。试求该网络的传。试求该网络的传递函数递函数G(s)。 u c（t）u r（t）CLR解解：在教材：在教材P21例题例题2-1中已求得该电路的微分模型：中已求得该电路的微分模型： tutudttduRCdttudLCrccc22对上式两边求对上式两边求拉氏变换拉氏变换： LCs2Uc（s）-suc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s） = Ur（s） Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型即即: LCs2Uc（s） + RCsUc（s）+ Uc（s）

19、= Ur（s） 故故: G(s) = Uc（s）/ Ur（s）=1/ LCs2 + RCs+ 1 = 1/(s2+s+1)3 . 3 . 无源网络的传递函数求取无源网络的传递函数求取-复阻抗法复阻抗法 无源网络通常由电阻、电容和电感组成。无源网络通常由电阻、电容和电感组成。 无源网络的传递函数求取无源网络的传递函数求取,一般有两种方法：一般有两种方法： 传递函数定义法传递函数定义法: 微分方程微分方程 拉氏变换拉氏变换 传递函数传递函数 复阻抗法复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有依据电路理论复阻抗概念有 电阻电阻R的复阻抗为的复阻抗为: ZR=R电容电容C的复阻抗为的复阻抗为: ZC=1/C

20、s电感电感L的复阻抗为的复阻抗为: ZL=LsAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题3: 求下图所示电路网络的传递函数求下图所示电路网络的传递函数G(s)。 C2R2R1C1u1u2Z2Z1U1U2解解： 将电源等效为复阻抗电路将电源等效为复阻抗电路 Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1s+1）；）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2s+1）/C2s； G（s） =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2） =（R1C1s+1）（）（R2C2s+1）/（R1C1s+1）（）（R2C2s+1）+ R1C2s 注：

21、请用注：请用“传递函数定义法传递函数定义法”求解该例题。求解该例题。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 . 4 . 有源网络的传递函数求取有源网络的传递函数求取 例题例题4 4：有源网络如图（有源网络如图（1 1）所示，试用复阻抗法求网络传递函数，）所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果并根据求得的结果. .直接用于图（直接用于图（2 2）所示调节器，写出其传递函数。）所示调节器，写出其传递函数。图（图（1 1）图（图（2 2）解解： 1 1）对于图（对于图（1 1）Z Zi i和和Z Zf f分别表示放大器外部电路的

22、输入支路及反馈支路的复阻抗，分别表示放大器外部电路的输入支路及反馈支路的复阻抗，设设A A点虚地，即点虚地，即U UA A=0=0，则，则I I1 1=I=I2 2Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()()()()(sZsZsUsUsGifiC)()()(1sZsIsUii)()()(2sZsIsUfC所以所以 上述求得的传递函数表达式可以看做计算运算放大器传递上述求得的传递函数表达式可以看做计算运算放大器传递函数的一般公式。函数的一般公式。2 2）对于图（对于图（2 2）CsRCsRsZsZsGif121)()()(1)(RsZi

23、CsRsZf/1)(2因为因为所以所以Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题5：求下图有源网络的微分方程及传递函数（结构图）。求下图有源网络的微分方程及传递函数（结构图）。R2R2uiuoR1R1C1C2Kiiiou1u2(1)、根据基尔霍夫列写出网、根据基尔霍夫列写出网络的微分方程式络的微分方程式 2211222222111111RuRuRuudtduCRuRudtduCRuuoi(2) 、在零初始条件下对上述、在零初始条件下对上述方程组求拉氏变换方程组求拉氏变换 22112222211111)()()()()()()()()(

24、)(RsURsUsUsUssUCRsUsUssUCRsUsUoi(3) 、消除中间变量，得网络、消除中间变量，得网络传递函数传递函数 22)()(112212sCRsCRRRsUsUioAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 试建立以下各图所示系统的微分方程。图中电压试建立以下各图所示系统的微分方程。图中电压u ur r和和u uc c为输入量和为输入量和输出量。（传递函数、结构图）输出量。（传递函数、结构图）（a a）（c c）（b b）（d d）补充习题一、补充习题一、无源网络无源网络Automatic Control Theory

25、2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型求取下图所示有源网络的微分方程及传递函数，并画出系统的结构图。求取下图所示有源网络的微分方程及传递函数，并画出系统的结构图。（a a）（c c）（b b）（d d）补充习题二补充习题二、有源网络有源网络Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 26 6 控制系统的结构图及其简化控制系统的结构图及其简化1. 1. 结构图结构图 、 定义定义: 由具有一定函数关系的环节组成的、并标明信号流向由具有一定函数关系的环节组成的、并标明信号流向的系统框图。的系统框图。 、构成结构图的基本要素：、构成结构图的

26、基本要素： 方框：表示环节。方框：表示环节。 R（s） C（s）G（s） 信号线：表示信号流向。信号线：表示信号流向。 x（t）, X（s） 相加点（比较点、综合点）：多个信号叠加。相加点（比较点、综合点）：多个信号叠加。 x（t） x（t） y（t） y（t） 分支点（引出点、测量点）：同一信号分成多个信号。分支点（引出点、测量点）：同一信号分成多个信号。 x（t） x（t） x（t）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2. 2. 结构图的绘制结构图的绘制 网络结构图的绘制网络结构图的绘制, 与传递函数求取一样，亦相应地有两种方法。与

27、传递函数求取一样，亦相应地有两种方法。 绘制步骤：绘制步骤：A A、列写每个元件的运动方程式或传递函数；、列写每个元件的运动方程式或传递函数； B B、画出相应的局部框图；、画出相应的局部框图； C C、将这些方框图按信号流向连接起来，得到系统框图。、将这些方框图按信号流向连接起来，得到系统框图。 举例说明举例说明 例题例题1 画出下图所示画出下图所示RCRC网络的结构图。网络的结构图。 Ru1（t）Cu 2（t）解：解：）列写运动方程）列写运动方程式或用复阻抗法式或用复阻抗法 u1=iR+ u2 u2=1/C idtAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型

28、控制系统的数学模型即即 I（s）=U1（s）-U2（s） / R U2（s）= I（s）/ Cs） 绘制各元件框图绘制各元件框图1/R1/CS ） 绘制系统框图（连接等信号点）绘制系统框图（连接等信号点） 1/R1/Cs U1（s） I（s） U2（s） U2（s）U1（s）I（s）I（s）U2（s）U2（s）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型i1Cu2u1i2R1R2解：解：）用复阻抗法列写方程）用复阻抗法列写方程U1（s）= I2（s）R1+ U2（s） U2（s）= I（s）R2 I1（s）1/sC= I2（s）R1 I1（s）

29、+ I2（s）= I（s） ） 绘制各元件框图绘制各元件框图 由式得：由式得： U1（s） I2（s）R1 I2（s） U2（s） 1/R1 由式得：由式得： I（s） U2（s） R2由式得由式得 I2（s） I1（s） / Cs I1（s） R1Cs例题例题2 试画出下图所示四端网络的结构图。试画出下图所示四端网络的结构图。Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型由式得：由式得： I1（s） I（s） I2（s） 绘制系统框图（连接等信号点）绘制系统框图（连接等信号点） 1/R1R1CsR2U1（s）U2（s）U2（s）I2（s） I1

30、（s） I（s）例题例题3 3，RCRC无源网络电路图如图下，试采用复数阻无源网络电路图如图下，试采用复数阻抗抗法画法画出系统结构图，并求传递函数。出系统结构图，并求传递函数。i2C1C2R2R1uruci 1解：解：）用复阻抗法列）用复阻抗法列写运动方程式时，依据写运动方程式时，依据是广义的欧姆定律是广义的欧姆定律)()()(sIsUsZAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型ii）用复阻抗法列写复域方程式如下）用复阻抗法列写复域方程式如下111)()()(RsUsUsICrsCsIsIsUC1211)()()(2212)()()(RsU

31、sUsICcsCsIsUC222)()(iii）结构图如下（分步过程略）结构图如下（分步过程略）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 串联连接串联连接R（s） U（s） C（s） R（s） C（s）G1（s）G2（s）G（s）结论结论1： 串联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的乘积。串联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的乘积。 即： G（s）= G1（s）G2（s）Gn（s） U（s）=G1（s）R（s） C（s）= G2（s）U（s）即即 C（s）= G2（s） G1（s）R（s） = G1（s）G2（s） R（s）故故

32、C（s）= G（s）R（s） C（s）= G（s）R（s） 其中其中 G（s）= G1（s）G2（s） 3. 3. 结构图的简化结构图的简化 结构图的简化原则：简化前后保持结构图的简化原则：简化前后保持“信号等效信号等效”的原则。的原则。 结构图的基本连接形式：串联、并联和反馈连接三种。结构图的基本连接形式：串联、并联和反馈连接三种。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 并联连接并联连接G1（s）G2（s）G（s）R(s)C1（s） C2（s） C（s） C（s） R(s)C1（s）= G1（s）R（s） C2（s）= G2（s）R（

33、s）C（s）= C1（s） C2（s） C（s）= G（s）R（s）即即 C（s）= G1（s） G2（s） R（s）= G（s）R（s）其中其中 G（s）= G1（s） G2（s）结论结论2： 并联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的代数和。并联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的代数和。 即即G（s）= G1（s）+ G2（s）+ Gn（s）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 反馈连接反馈连接 R（s） E（s） C（s） R（s） C（s） B（s） G（s）H（s）（s） E（s）= R（s） B（s） B（s）= H

34、（s）C（s） C（s）= G（s）E（s） 消去中间变量消去中间变量E（s）、）、B（s）：）：C（s）= G（s）R（s） H（s）C（s） G（s）C（s）= R（s） C（s）=（s）R（s） 1 G（s）H（s）故: G（s）（s）= 1 G(s）H（s）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型当当 H（s）=1时时 系统为单位反馈：系统为单位反馈： G（s）（s）= 1 G(s） 开环传递函数：开环传递函数： 定义：定义： 反馈信号反馈信号B（s）与误差信号）与误差信号E（s）之比。或：）之比。或： 前向通道传递函数与反馈通道传

35、递函数之乘积。前向通道传递函数与反馈通道传递函数之乘积。 表示为：表示为： B（s）/ E（s）= G（s）H（s） 其中其中 G（s）-为前向通道传递函数；为前向通道传递函数； H（s）-为反馈通道传递函数。为反馈通道传递函数。注意注意： 1） 开环传递函数指的是闭环系统在开环时的传递函数，而不开环传递函数指的是闭环系统在开环时的传递函数，而不是开环系统的传递函数；是开环系统的传递函数； 2） 它与梅逊公式中回路增益的含义不同，因为它不包含反馈它与梅逊公式中回路增益的含义不同，因为它不包含反馈的极性，回路增益则包含反馈的极性。的极性，回路增益则包含反馈的极性。Automatic Contro

36、l Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 闭环传递函数（闭环传递函数（教材教材P55-56）：）：G1HG2REX1X2NCB E = R B 由上图知：由上图知： X1=G1 E X2=X1 + N C = G2X2（） 消去中间变量消去中间变量E、B、 X1 、X2后，得到系统的总输出为：后，得到系统的总输出为： G1（s）G2（s） G2（s）C（s）= R（s） + N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型上式说明：上式说明：C（s

37、）是）是 R（s）与）与 N（s）共同作用的结果。）共同作用的结果。讨论如下：讨论如下： R（s）0，N（s）=0时，则有时，则有 : G1（s）G2（s） C（s）= R（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s） C（s） G1（s）G2（s） （s） = = R（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）-输入信号作用下的闭环传递函数。输入信号作用下的闭环传递函数。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 N（s）0，R（s）=0时，则有时，则有 G2（s） C（s）= N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s） C（s） G2（s）

38、 n（s） = = N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）-扰动信号作用下的闭环传递函数。扰动信号作用下的闭环传递函数。 综上所述，系统的总输出为：综上所述，系统的总输出为： C（s）= （s）R（s）n（s）N（s） 其等效结构图为：其等效结构图为： （s）n（s）R（s）N（s）C（s）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型（） 消去中间变量消去中间变量C、B、 X1 、X2后，得到系统的总误差为：后，得到系统的总误差为： )()()()(1)()()()()()(11)(21221sNsHsGsGsHsGsRsHsGsGsE上

39、式说明：上式说明：E（s）也是）也是R（s）与）与N（s）共同作用的结果。）共同作用的结果。 讨论如下：讨论如下： R（s）0，N（s）=0时，则有时，则有 )()()()(11)(21sRsHsGsGsE)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse-输入信号作用下的误差传递函数。输入信号作用下的误差传递函数。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 N（s）0，R（s）=0时，则有时，则有 )()()()(1)()()(212sNsHsGsGsHsGsE)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEse

40、n-扰动信号作用下的误差传递函数。扰动信号作用下的误差传递函数。 综上所述，系统的总误差为：综上所述，系统的总误差为： E（s）=e（s）R（s）en（s）N（s） e（s）en（s）R（s）N（s）E（s）同样地，其等效结同样地，其等效结构图为：构图为： Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 相加点的移动：根据信号等效的原则，可以将相加点顺着或逆着相加点的移动：根据信号等效的原则，可以将相加点顺着或逆着信号传递的方向移动。信号传递的方向移动。 前往后移前往后移 G（s）X1X2X3G（s）G（s）X1X2X3（X1X2）G（s）= X

41、3 X1G（s）X2G（s）= X3 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型G（s）1/G（s）X1X2X3G（s）X1X2X3X1 G（s）X2= X3 X1X2/G（s） G（s）= X3 小结小结，相加点的移动规则为：，相加点的移动规则为： a、从前往后移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数、从前往后移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；的方框； b、从后往前移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数、从后往前移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框；之倒数的方框； 后往前移后往前移 Autom

42、atic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 分支点的移动：移动原则同分支点的移动：移动原则同“相加点的移动相加点的移动”。 前往后移前往后移 G（s）X1X2X1G（s）1/ G（S）X1X2X1 后往前移后往前移 G（s）X1X2X2G（s） G（s）X1X2X2 从前往后移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的从前往后移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框；方框； 从后往前移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；从后往前移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框； 小结小结，分支点的移动规则为：，分

43、支点的移动规则为： Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型G（S）H（S）R（S）C（S）H（S）G（S）1/ H（S）R（S）C（S） 等效单位反馈等效单位反馈 （非单位反馈（非单位反馈 单位反馈）：单位反馈）： )()(1)()(sHsGsGs)()(1)()()(1)(sHsGsHsGsHsAutomatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 相邻相加点之间、相邻分支点之间可以互相调换位置。相邻相加点之间、相邻分支点之间可以互相调换位置。 相邻相加点与分支点之间不可以互相调换位置，而需要按照

44、相邻相加点与分支点之间不可以互相调换位置，而需要按照“信号等效原则信号等效原则”进行变换。进行变换。 4 4结构图的简化例题分析结构图的简化例题分析 例题例题 1 利用结构图等效简化方法求系统传递函数利用结构图等效简化方法求系统传递函数C(s)/R(s)。Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：解：在简化过程中，可以有多种形式，比如此例：在简化过程中，可以有多种形式，比如此例：采用第采用第种情况简化：种情况简化：再简化椭圆区域的局部正反馈，得：再简化椭圆区域的局部正反馈，得：Automatic Control Theory 2.2.控制

45、系统的数学模型控制系统的数学模型再依次逐步简化：再依次逐步简化：3212321213211)()(GGGHGGHGGGGGsRsC系统传递函数为系统传递函数为Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：解： G4（s）G1（s）G2（s）G3（s）H（s）RC方法方法1：A移动到移动到B A移动到移动到B后后 ， A、B互相调换位置互相调换位置 G4G1G2G3G2H例题例题2 试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的的C（s）/ R（s）。）。 ABAutomatic Co

46、ntrol Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型G4+G1G2G31+ G2G3HG3（ G4+G1G2）1+ G2G3H系统的系统的C（s）/ R（s） HGGGGGGsRsC3221431)()(方法方法2：B移动到移动到A （略）（略） 局部简化局部简化 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题3 试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的的C（s）/ R（s）。）。 G1（s）G2（s）H（s）R（s）C（s）解：解：（1） 同时将同时将B

47、处相加点前移、处相加点前移、C处分支点后移：处分支点后移： （2） 同时进行串联、并联同时进行串联、并联 AB CG2G1H11/ G11/ G2Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型G1G21/G11/G2H1（3）系统的）系统的C（s）/ R（s） G1G21+ G1G2G1G2HC（s） G1(s)G2(s) = R（s） 1+ G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)H(s)例题例题4 教材教材P45：例：例2-11、P46：例：例2-12。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数

48、学模型例题例题5在保持系统闭环传递函数不变的条件下将图在保持系统闭环传递函数不变的条件下将图(a)所示所示框图变换成图框图变换成图(b)、(c)，并求，并求H(s)、G(s)的表达式。的表达式。Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：解：(1)、框图（、框图（a）变换为图（）变换为图（b）的变换过程如下）的变换过程如下比较图（比较图（b b）可得）可得框图（框图（a a）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型比较图（比较图（c）可得）可得（2）、框图（）、框图（a）变换为图（）变换

49、为图（c）的变换过程如下）的变换过程如下框图（框图（a a）Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题4 4求取下述结构图所示系统的传递函数求取下述结构图所示系统的传递函数C C（s s）/R/R（s s）。）。 为了求取系统的传递函数，先计算下图所示系统的传递为了求取系统的传递函数，先计算下图所示系统的传递函数：函数：解：解：方法一方法一Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型由上图可得由上图可得即即Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制

50、系统的数学模型故有故有因此，上述系统可等效为因此，上述系统可等效为所以，系统的闭环传递函数为所以，系统的闭环传递函数为Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型将将代入上式，得代入上式，得方法二方法二：信号流图法信号流图法利用梅逊公式求取利用梅逊公式求取(后续内容后续内容)该图有该图有5 5个回路，个回路，4 4条前向通路。条前向通路。L1=G1，L2=G1G2，L3=G2，L4=G2G1，L5=G1G25 5个回路分别是个回路分别是Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 4条前向通路

51、及对应的特征余子式分别为条前向通路及对应的特征余子式分别为P1=G1， P2=G1G2， P3=G2， P4=G2G1 1=1， 2=1， 3=1 ， 4=1 特征式为特征式为同样，将同样，将G1、G2代入下式可求得系统的闭环传递函数代入下式可求得系统的闭环传递函数Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型 信号流图的构成信号流图的构成 构成信号流图的基本元素是：构成信号流图的基本元素是：节点节点 和和 支路支路 节点节点： 表示变量或信号的点。以表示变量或信号的点。以“ o o ”表示，并标明变量名。表示，并标明变量名。 支路支路： 连接两

52、个节点的定向线段。以连接两个节点的定向线段。以“ ”表示。表示。 其中，节点又分为三种：其中，节点又分为三种： 输入节点输入节点（源节点）：（源节点）：只有输出支路的节点只有输出支路的节点。 混合节点混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点既有输入支路，又有输出支路的节点。 输出节点输出节点（阱点或汇点）：（阱点或汇点）：只有输入支路的节点只有输入支路的节点。 2.7 2.7 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 1 1 信号流图信号流图 定义：指由节点和支路组成的一种信号传递网络。或指一种表定义：指由节点和支路组成的一种信号传递网络。或指一种表示一个线性代数方程组的网络图。示一个线性代数方

53、程组的网络图。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型开通道开通道：通道与任何一个节点只相交一次。：通道与任何一个节点只相交一次。闭通道闭通道（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何其它节（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何其它节点只相交一次。点只相交一次。“自环自环”即闭通道的一种特殊情况。即闭通道的一种特殊情况。前向通道前向通道：从源点开始到汇点结束的开通道。：从源点开始到汇点结束的开通道。 （）、）、传输传输：两个节点之间的增益，即支路增益。：两个节点之间的增益，即支路增益。 通道传输通道传输：通道中各支路传输的乘积。：通道

54、中各支路传输的乘积。回环传输回环传输（回路增益）：闭通道中各支路传输的乘积。（回路增益）：闭通道中各支路传输的乘积。自环传输自环传输：自回环所具有的传输。：自回环所具有的传输。 信号流图的性质信号流图的性质 （教材（教材P48）（）（1）（4） 信号流图中常用术语信号流图中常用术语 （）、）、通道通道（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。穿过各相连支路的路径。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型2 2 信号流图的运算信号流图的运算 加法（并联）加法（并联） X1X2abX

55、1X2a+b 乘法（串联）乘法（串联） X1X2X3abX1X3ab 分配法（消去混合节点）分配法（消去混合节点） X1X3X4a1a3X2a2X1X4a1a3 X2a2a3Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型X1X2X3a1a2X4a3X1X4a1 a2 X2a1 a3X1X3X4a1a3X5a4X2a2X1X4a1 a3 X5a1 a4X2a2 a3 a2 a4 自回路简化自回路简化 x1x2a1a2x1x2 a1 1-a2a1 X1+ a2 X2 = X2 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模

56、型控制系统的数学模型 反馈回路简化反馈回路简化 a1a2/(1+ a2a3)x1x3 x3x1x2a1a2-a3X2 = a1 X1 a3 X3X3 = a2 X23 3 信号流图的绘制信号流图的绘制 例题例题1 1 设有某线性系统的性能可由下列方程组来描述，试绘制该设有某线性系统的性能可由下列方程组来描述，试绘制该系统的信号流图。系统的信号流图。 代数方程代数方程 信号流图信号流图 y2=a12y1 + a32y3 y3=a23y2 + a43y4y4=a24y2 + a34y3 + a44y4y5=a25y2 + a45y4Automatic Control Theory 2.2.控制系统

57、的数学模型控制系统的数学模型解：解： 画出节点（变量）：画出节点（变量）：y1、 y2 、y3 、y4 、y5 。 分别绘制各方程的信号流图。分别绘制各方程的信号流图。 整理系统信号流图。整理系统信号流图。 y1y2y3y4y5y5a12a23a34a451a44a43a32a24a25 微分方程微分方程 信号流图信号流图 方法：方法： A). 微分方程微分方程 拉氏变换拉氏变换 s域代数方程；域代数方程； Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型B). 以以s域代数方程中的每一个变量为一个节点，各系数域代数方程中的每一个变量为一个节点，各

58、系数 为支路增益，绘制各方程的信号流图。为支路增益，绘制各方程的信号流图。 C). 连接整理连接整理 系统信号流图。系统信号流图。 结构图结构图 信号流图信号流图 方法：方法： A. 确定确定节点节点。同信号点为一个节点；。同信号点为一个节点； B. 确定确定支路增益支路增益。支路中的传递函数为支路。支路中的传递函数为支路 增益；增益； C. 注意注意符号符号。负反馈的负号随支路增益走。负反馈的负号随支路增益走。 D. 连接连接整理整理 系统信号流图。系统信号流图。例题例题2 见下页。见下页。 Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例

59、题2已知控制系统的结构图如图所示。绘出相应的信已知控制系统的结构图如图所示。绘出相应的信号流图。号流图。G1G2G3KR（s）C（s）解：解：系统信号流图为（先确定各个节点、支路及其增益）系统信号流图为（先确定各个节点、支路及其增益） Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型例题例题3 3 试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。( (教材教材P50P50例例2-13)2-13)G2G1G3G4HRC1 2 3 4 5 6解：解：1 1） 选取节点如图所示；选取节点如图所示； 2 2） 支路中的传递函

60、数即为支路增益；支路中的传递函数即为支路增益； 3 3） 注意符号并整理得到系统信号流图如下：注意符号并整理得到系统信号流图如下： 1 2 3 4 5 6G2G1 1G31HG41Automatic Control Theory 2.2.控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 4 梅逊公式梅逊公式 1） 梅逊公式表达式：梅逊公式表达式：（其分析过程（其分析过程 P55-57：略）：略） 1 nP = Pkk k=1说明说明: : P系统总增益（系统传递函数）；系统总增益（系统传递函数）；PK第第K条前向通道的传输；条前向通道的传输；n 从源点到汇点的前向通道总条数；从源点到汇点的前向通道总条数