武汉理工工程制图第2章投影理论

1、Wang chenggang1/86内容提要：内容提要：本章主要介绍投影法的基本知识，并将投影法本章主要介绍投影法的基本知识，并将投影法直接应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要直接应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素素点、直线、平面的投影分析，从而为组合体的投影点、直线、平面的投影分析，从而为组合体的投影表达、读图分析提供必要的理论基础及方法。表达、读图分析提供必要的理论基础及方法。投 影 法三面投影的形成及投影规律基本平面立体的投影立体表面构成要素的投影分析第第2 2章章 投影理论基础投影理论基础2.12.22.32.4基本曲面立体的投影及其表面上的点与线2.5Wang c

2、henggang2/862.1.1 2.1.1 投影法的形成及分类投影法的形成及分类2.1 2.1 投影法投影法2.1.2 2.1.2 投影图形成的三要素投影图形成的三要素 2.1.3 2.1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质 2.1.4 2.1.4 投影法的应用投影法的应用Wang chenggang3/86光源光源承影面承影面光线光线物体物体影子影子投射中心投射中心S投射线投射线投影面投影面形体形体图图2.1 产生影子的自然现象产生影子的自然现象图图2.2 投影的构成要素（中心投影法）投影的构成要素（中心投影法）2.1.1 2.1.1 投影法的形成及分类投影法的形成及分类投影投影(

3、 (图图) )Wang chenggang4/86形体形体投影面投影面投射方向投射方向投射线投射线投影投影( (图图) )投投射射方方向向形体形体投影面投影面投射线投射线投影投影( (图图) )a) 斜投影法斜投影法b) 正投影法正投影法图图2.3 平行投影法平行投影法投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法平行投影法平行投影法Wang chenggang5/862.1.2 2.1.2 投影图形成的三要素投影图形成的三要素 投影图形成的三要素：投影图形成的三要素：形体、投影方向（或投射中心）、投影面形体、投影方向（或投射中心）、投影面2.1.3 2.

4、1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质 表表2.1 正投影的基本性质正投影的基本性质其其Wang chenggang6/86表2.1(续)Wang chenggang7/862.1.4 2.1.4 投影法的应用投影法的应用1. 1. 中心投影法的应用中心投影法的应用透视图透视图2. 2. 斜投影法的应用斜投影法的应用-斜轴测图斜轴测图图图2.4 2.4 透视图透视图图图2.5 2.5 斜轴测图斜轴测图王成刚制作Wang chenggang8/863. 3. 正投影法的应用正投影法的应用-正投影图、正轴测图、标高投影图正投影图、正轴测图、标高投影图模型动画模型动画图图2.6 正投影图正投影

5、图Wang chenggang9/86图图2.7 正轴测图正轴测图正投影法用于正轴测图Wang chenggang10/86正投影法用于正投影法用于标高投影图标高投影图图图2.8 标高投影图标高投影图Wang chenggang11/862.2 2.2 三面投影的形成及投影规律三面投影的形成及投影规律2.2.1 2.2.1 三面投影面体系的建立三面投影面体系的建立2.2.2 2.2.2 立体三面投影的形成及投影规律立体三面投影的形成及投影规律Wang chenggang12/86图图2.9 单面正投影单面正投影图图2.10 三维坐标系三维坐标系2.2.1 2.2.1 三面投影面体系的建立三面投

6、影面体系的建立Wang chenggang13/86图图2.11 三面投影体系三面投影体系 两两垂直的三个坐标轴分别构成两两垂直的三个坐标轴分别构成了了XOY、XOZ、YOZ三个互相垂直的三个互相垂直的平面。由这三个互相垂直的平面组成平面。由这三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为的投影面体系称为三面投影体系三面投影体系XOZ：称称正立投影面，正立投影面，也称也称V面；面；XOY：称称水平投影面水平投影面，也称，也称H面；面； YOZ：称称侧立投影面侧立投影面，也称，也称W面。面。 Wang chenggang14/86立体三面投影的形成立体三面投影的形成2.2.2 2.2.2 立体三面投影的

7、形成及投影规律立体三面投影的形成及投影规律Wang chenggang15/86立体三面投影的形成立体三面投影的形成2.2.2 2.2.2 立体三面投影的形成及投影规律立体三面投影的形成及投影规律Wang chenggang16/86图图2.12 立体三面投影的形成立体三面投影的形成a) 立体图立体图b) 三面投影的展开图三面投影的展开图c) 三面投影三面投影V面投影面投影：即从前往后投射，在：即从前往后投射，在V面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映长长和和高高(x、z)；H面投影面投影：即从上往下投射，在：即从上往下投射，在H面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映长长和和宽宽(x、y)

8、；W面投影面投影：即从左往右投射，在：即从左往右投射，在W面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映高高和和宽宽(y、z)。 Wang chenggang17/86图图2.12 立体三面投影的投影规律立体三面投影的投影规律a) 坐标及方位关系坐标及方位关系 b) 方位及对应关系方位及对应关系 c) 投影规律V面投影面投影与与H面投影面投影共同反映立体的共同反映立体的长长，其投影在长度方向互相对正，其投影在长度方向互相对正，简简称称长对正长对正；V面投影面投影与与W面投影面投影共同反映立体的共同反映立体的高高，其投影在高度方向互相平齐，其投影在高度方向互相平齐，简简称称高平齐高平齐；H面投影面投影

9、与与W面投影面投影共同反映立体的共同反映立体的宽宽，其投影在宽度方向一一对应，其投影在宽度方向一一对应，且保持相等，简且保持相等，简称称宽相等宽相等。左右左右长对正xxyyzz下上下上高平齐后前后前宽相等Wang chenggang18/86作立体的三面投影图：作立体的三面投影图：图图2.13 立体的三面投影图立体的三面投影图a) 立体图立体图b) 三面投影图三面投影图Wang chenggang19/86图图2.14 三面投影图的投影轴三面投影图的投影轴三面投影图的投影轴的恢复：三面投影图的投影轴的恢复：Wang chenggang20/862.3 2.3 基本平面立体的投影基本平面立体的投

10、影2.3.1 2.3.1 立体的分类立体的分类2.3.2 2.3.2 基本平面立体的三面投影图基本平面立体的三面投影图Wang chenggang21/862.3.1 2.3.1 立体的分类立体的分类平面立体平面立体：所有表面均为平面的立体：所有表面均为平面的立体曲面立体曲面立体：部分或全部表面为曲面的立体：部分或全部表面为曲面的立体平面立体曲面立体棱柱棱锥回转体非回转体立体基本立体基本立体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和圆球等几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和圆球等几何体Wang chenggang22/862.3.2 2.3.2 基本平面立体的三面投影图基本平面立体的三面投影图1.1.棱柱（正六棱

11、柱）棱柱（正六棱柱）Wang chenggang23/862. 棱锥（四棱锥）棱锥（四棱锥）Wang chenggang24/863. 棱台（四棱台）棱台（四棱台）Wang chenggang25/86a) 题意分析：从立体的轴测图可题意分析：从立体的轴测图可见，该立体由一个四棱台和一见，该立体由一个四棱台和一个空心的四棱柱构成。因此，个空心的四棱柱构成。因此，只要作出四棱台和四棱柱的三只要作出四棱台和四棱柱的三面投影图就作出了整个立体的面投影图就作出了整个立体的三面投影图。三面投影图。例例2.1 如图如图a所示，根据平面立体的轴测图，作其三面投影图。所示，根据平面立体的轴测图，作其三面投影图

12、。Wang chenggang26/86解题步骤：解题步骤：b)c)(1) 作四棱台的三面投影图作四棱台的三面投影图. 如图如图b 、c、d所示所示Wang chenggang27/86d)e)(2) 作四棱柱的三面投影图作四棱柱的三面投影图 作四棱台的三面投影图，作四棱台的三面投影图， 如图如图b 、c、d所示所示Wang chenggang28/86(3) 擦去图过程线，将可见轮廓线画为粗实线，完成作图。擦去图过程线，将可见轮廓线画为粗实线，完成作图。f)Wang chenggang29/862.4.1 2.4.1 立体表面上点的投影立体表面上点的投影2.4 2.4 立体的表面构成要素的投

13、影分析立体的表面构成要素的投影分析2.4.2 2.4.2 立体表面上直线的投影立体表面上直线的投影2.4.3 2.4.3 立体表面上平面的投影立体表面上平面的投影Wang chenggang30/86例例2.2 已知如图已知如图2.162.16a所示。求作顶点所示。求作顶点S的的W面投影面投影, ,并完并完成三棱锥的成三棱锥的W面投影。面投影。a) 题意分析：仔细分析图题意分析：仔细分析图a，可以想象出整个三棱锥的可以想象出整个三棱锥的空间模型，进而想出两种空间模型，进而想出两种该题的解法。该题的解法。1立体表面上点的投影及投影规律立体表面上点的投影及投影规律 2.4.1 2.4.1 立体表面

14、上点的投影立体表面上点的投影Wang chenggang31/86空间模型空间模型Wang chenggang32/86解题过程：解题过程：方法一：根据三社图的投影规律高平齐、宽相等直接作图，如图方法一：根据三社图的投影规律高平齐、宽相等直接作图，如图2.162.16b 、c所示。所示。图图2.16 2.16 求作点的投影求作点的投影b)c)Wang chenggang33/86方法二：恢复投影轴，再作图，如图方法二：恢复投影轴，再作图，如图2.162.16d、e、f。图图2.16 求作点的投影求作点的投影d)e)f)Wang chenggang34/86图图2.17 点的投影规律点的投影规律

15、点的投影规律点的投影规律: :点的投影的连线垂直于投影轴点的投影的连线垂直于投影轴点的投影到投影轴的距离点的投影到投影轴的距离=空间点到相应投影面的距离空间点到相应投影面的距离Wang chenggang35/862点与点的相对位置点与点的相对位置 如图所示：如图所示： 点点S在点在点A之右、之上、之右、之上、之前；之前； 点点B与点与点A到到H面的距面的距离相等，且点离相等，且点B在点在点A之之右、之前；右、之前； 点点C在点在点A的正右方。的正右方。 由于由于C点与点与A点在点在W面上面上的投影重合，因此，的投影重合，因此，称点称点C与点与点A为为W面的面的重影点重影点。 因点因点A在左、

16、点在左、点C在右，在右，于是在于是在W面上点面上点A的投影的投影可见、点可见、点C的投影不可见，的投影不可见，用（用（c）表示。）表示。 图图2.18 2.18 点与点的相对位置点与点的相对位置 Wang chenggang36/86例例2.32.3 根据所给已知条件作点的三面投影，并连线构成立体。根据所给已知条件作点的三面投影，并连线构成立体。 题意分析：题意分析：点点A已知两个投已知两个投影影a和和a，可以根据，可以根据高平齐高平齐、宽相等宽相等作出点作出点A的的W面投影。面投影。点点B 坐标已知，点坐标已知，点C的坐标的坐标为（为（4，4，0），可根据点），可根据点的三面投影的基本规律，

17、的三面投影的基本规律，作作B、C的投影。点的投影。点D的相的相对位置已知，可根据对位置已知，可根据A、B、C的投影作出点的投影作出点D的投影。的投影。已知点已知点A的二面投影如图；点的二面投影如图；点B的坐标为的坐标为(26,8,4)；点点C在在H面上，且到面上，且到V面、面、W面的距离均为面的距离均为4；点；点D在点在点A之下之下9、点、点D在点在点B之右之右13、点、点D在点在点C之之前前17。Wang chenggang37/86解题过程：解题过程：图图2.19 求作点的三面投影求作点的三面投影(1)根据高平齐、宽相等作点A的W面投影a (2)取Obx=26，过bx作X轴的垂线， 取bb

18、x=4、bbx=8，再根据b、b作b； 2684(3)点C的坐标为(4,4,0)，作法同点B ； (4) 在在a之下之下9处画一与处画一与X轴平行的直线，在轴平行的直线，在b之右之右13处画一与处画一与Z轴平行的直线，两线之交点即为轴平行的直线，两线之交点即为d，在点，在点C的水平投影的水平投影c之前之前17处处作一与作一与X轴平行的直线，轴平行的直线， 得点得点D的水平投影的水平投影d，据，据d、d作作d； 91317(5)在三个投影面上分别连线，则得三棱锥在三个投影面上分别连线，则得三棱锥ABCD的三面投影。的三面投影。 Wang chenggang38/86例例2.42.4如图如图2.2

19、0所示，求直线所示，求直线AB的的W面投影。面投影。2.4.2 2.4.2 立体表面上的直线的投影立体表面上的直线的投影图图2.20 2.20 求直线求直线AB的的W面投影面投影a）题图）题图b) ) 解题过程解题过程Wang chenggang39/86立体图立体图Wang chenggang40/861.1.直线的投影直线的投影图图2.21 2.21 直线的投影直线的投影Wang chenggang41/862. 2. 直线与投影体系的关系直线与投影体系的关系（1） 直线的分类及倾角直线的分类及倾角 一一般位置直线般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线：与三个投影面都倾斜的直线(简称简称一般

20、线一般线)直线直线 投影面平行线投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线：仅平行于一个投影面的直线 特殊位置直线特殊位置直线 (V：正平线正平线；H：水平线水平线；W：侧平线侧平线) 投影面垂直线投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线：垂直于一个投影面的直线 (V：正垂线正垂线；H：铅垂线铅垂线；W：侧垂线侧垂线)倾角倾角：直线与投影面的真实夹角，也就是空间直线与其在投影面上的：直线与投影面的真实夹角，也就是空间直线与其在投影面上的 投影的夹角。投影的夹角。直线与直线与H、V、W面的倾角分别用面的倾角分别用 、 、 表示。表示。Wang chenggang42/86（2）投影面平行线的投影投影面平

21、行线的投影表表2.3 2.3 投影面平行线的投影投影面平行线的投影Wang chenggang43/86空间模型空间模型Wang chenggang44/86（3）投影面垂直线的投影）投影面垂直线的投影表表2.4 2.4 投影面垂直线的投影投影面垂直线的投影Wang chenggang45/86空间模型空间模型Wang chenggang46/86Za-ZbZ=ZYX图图2.22 2.22 一般位置直线的投影一般位置直线的投影一般位置直线的投影一般位置直线的投影a)b)c)ZWang chenggang47/863 直线上的点的投影直线上的点的投影a) 立体图立体图Wang chenggang

22、48/86b) 立体的三面投影图立体的三面投影图c) 直线的投影图直线的投影图图图2.23 直线上的点的投影直线上的点的投影ZXYwYHWang chenggang49/86例例 2.52.5 如图如图a，分别求作三棱锥的三条棱线，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点一的点D、E、F的另二面投影。的另二面投影。a)空间分析：Wang chenggang50/86解题过程解题过程b) 作点作点D、E、F的投影的投影c) 运用定比分点求运用定比分点求E点的投影点的投影图图2.26 求作直线上的点投影求作直线上的点投影Wang chenggang51/864 直线与直线的相对位置直线与直线

23、的相对位置表2.5 直线与直线的相对位置 异面直线与直线 相交 共面 平行Wang chenggang52/86表2.5(续)Wang chenggang53/862.4.3 2.4.3 立体表面上平面的投影立体表面上平面的投影1. 1. 平面的投影平面的投影图图2.28 平面的表示法平面的表示法a)b)c)d)e)Wang chenggang54/862 平面与投影体系的关系平面与投影体系的关系(1) 平面的分类与倾角平面的分类与倾角a) 立体图立体图b) 三面投影图三面投影图c) 平面与平面的夹角平面与平面的夹角图图2.29 平面的分类与倾角平面的分类与倾角 一般位置平面一般位置平面：与三

24、个投影面都倾斜的平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称简称一般面一般面)平面平面 投影面垂直面投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面：仅垂直于一个投影面的平面 特殊位置平面特殊位置平面 (V：正垂面；：正垂面；H：铅垂面；：铅垂面；W：侧垂面：侧垂面) 投影面平行面投影面平行面：平行于一个投影面的平面：平行于一个投影面的平面 (V：正平面；：正平面；H：水平面；：水平面；W：侧平面：侧平面)Wang chenggang55/86(2) 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影Wang chenggang56/86表表2.6 2.6 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影Wang chenggang57

25、/86(3) 投影面平行面的投影投影面平行面的投影Wang chenggang58/86表表2.7 2.7 投影面平行面的投影投影面平行面的投影Wang chenggang59/863. 3. 平面上的点和直线的投影平面上的点和直线的投影表表2.10 2.10 平面上的点和直线平面上的点和直线Wang chenggang60/86表表2.10 2.10 平面上的点和直线平面上的点和直线( (续续) )Wang chenggang61/86表表2.10 2.10 平面上的点和直线平面上的点和直线( (续续) )Wang chenggang62/86例例2.6 如图如图a所示，补全三棱锥被截切后形

26、体的另两面投影。所示，补全三棱锥被截切后形体的另两面投影。a) 题图题图 题意分析：从题图可题意分析：从题图可知，三棱锥被两个平知，三棱锥被两个平面截切，一个为水平面截切，一个为水平面，另一个为正垂面。面，另一个为正垂面。求解的实质仍然是求求解的实质仍然是求棱线上的点、平面上棱线上的点、平面上的点和直线以及平面的点和直线以及平面的交线的问题。的交线的问题。Wang chenggang63/86解题过程：解题过程：b) 求作棱线、平面上各交点的投影求作棱线、平面上各交点的投影图图2.27 补全三棱锥的投影补全三棱锥的投影c) 完成结果完成结果Wang chenggang64/86空间模型空间模型

27、c) 完成结果完成结果Wang chenggang65/86例例2.7 如图如图a所示，所示，补画出立体的补画出立体的W面投影图。面投影图。 a) 题图题图 空间分析：空间分析：pWang chenggang66/86解题过程：解题过程：b) 作作W面投影图面投影图c) 加深、整理加深、整理图图2.30 求直线求直线AB与三棱锥表面的交点与三棱锥表面的交点pabcdeabcd(e)edcba pWang chenggang67/86解题结果：解题结果：Wang chenggang68/862.5 2.5 回转体表面上的点与线回转体表面上的点与线2.5.1 2.5.1 回转体的三面投影图回转体的

28、三面投影图2.5.2 2.5.2 回转体表面上的点与线回转体表面上的点与线Wang chenggang69/862.5.1 2.5.1 回转体的三面投影图回转体的三面投影图回转体的形成回转体的形成Wang chenggang70/861 1 回转体的形成及投影回转体的形成及投影素素线线转转向向轮轮廓廓线线下下底底圆圆回回转转轴轴线线上上底底圆圆喉喉圆圆纬纬圆圆赤赤道道圆圆a) 立体图立体图Wang chenggang71/86b) 投影图投影图Wang chenggang72/862.2.基本回转体的三面投影图基本回转体的三面投影图 根据对曲面立体的形成及投影的分析，列出常见回转体根据对曲面立

29、体的形成及投影的分析，列出常见回转体的形成方式、三面投影图及其投影特性，见表的形成方式、三面投影图及其投影特性，见表2.9所示所示表表2.9 常见回转体的三面投影图及其投影特性常见回转体的三面投影图及其投影特性 1）由于轴线垂直于水）由于轴线垂直于水平面，因此圆柱的水平平面，因此圆柱的水平投影是个圆，其圆周是投影是个圆，其圆周是整个圆柱面的积聚性投整个圆柱面的积聚性投影，也是上下底圆的投影，也是上下底圆的投影。影。 2）正面和侧面投影都）正面和侧面投影都是以轴线为对称线的、是以轴线为对称线的、完全相同的矩形。其上完全相同的矩形。其上下两边也是上下底圆的下两边也是上下底圆的积聚性投影，其他两边积

30、聚性投影，其他两边是转向线的投影。是转向线的投影。Wang chenggang73/86表表2.9 常见回转体的三面投影图及其投影特性常见回转体的三面投影图及其投影特性(续续) 1）轴线垂直于水平）轴线垂直于水平面的圆锥，其水平投面的圆锥，其水平投影为圆，由于锥面上影为圆，由于锥面上所有素线均倾斜于水所有素线均倾斜于水平面，故该圆没有积平面，故该圆没有积聚性。聚性。2）正面和侧面投影）正面和侧面投影都是以轴对称的、完都是以轴对称的、完全同的等腰三角形。全同的等腰三角形。其底为圆锥底面的积其底为圆锥底面的积聚性投，两腰为转向聚性投，两腰为转向线的投影。线的投影。 1）圆球的三面投影都）圆球的三面投影都是大小相同的圆是大小相同的圆 ，且没，且没有积聚性。三个圆分别有积聚性。三个圆分别为圆球相对于三个投影为圆球相对于三个投影面的转向线的投影。面的转向线的投影。2）圆的直径等于圆球）圆的直径等于圆球的直径。的直径。Wang chenggang74/86例例2.82.8 如图如图a)所示，