组合数的性质与综合应用

1、11 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我们规定： 1: mn mnnCC

2、定理引例引例一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球从口袋里取出从口袋里取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有多少种取法？多少种取法？372738CCC从引例中可以发现一个结论：从引例中可以发现一个结论：对上面的发现对上面的发现(等式等式)作怎样解释？作怎样解释？5638C2127C3537C 我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的

3、个球中所取出的3个球，可以分为个球，可以分为两类：一类两类：一类含有含有1个个黑球，一类不含黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立上述等式成立38C27C37C1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有

4、的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC组合数性质组合数性质2CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质性质2组合数性质组合数性质2：说明：说明：1、公式特征：公式特征：下标相同而上标差下标相同而上标差1的两个组合的两个组合数之和，等于下标比原下标多数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合而上标与原组合数上标较大的相同的一

5、个组合数数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：此性质的作用：恒等变形，简化运算在今恒等变形，简化运算在今后学习后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主时，我们会看到它的主要应用要应用 11mnmnmnCCC例(1)有多少种不同的抽法?100个不同元素中取3个元素的组合数种1617002398991003100C(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?从2件次品中抽出1件次品的抽法有12C从98件合格品中抽出2件的抽法有298C950629812CC例(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品例种96041982229812CCCC

6、法2100件中抽3件减98件合格品中抽3件种96043983100CC例例 计算计算198200( 1 ) ;C329999( 2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC例例计算：计算： 69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104! D 190 巩固练习3有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 10 46人同时被邀请参加一项活

7、动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法63巩固练习2、求 的值 例、例、（1）求证：）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1mm-1mm-14、求C2+C3+C4+C5+C6+C100的值 2 2 2222(2)求求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值的值 222222练习：1、 C100C99 90 893、已知 , 求x的值C12 = C11 + C11 7 7 x9598969897

8、982CCC=（ ）A、 C10011B、 C 99 9D、 C10012C、 C9910小结2.组合数性质: mn mnnCC11 mmmnnnCCC1.组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm例例 证明证明111111mmmmnnnnCCCC、1112nnnnnnn mn mCCCC 、0129456131CCCC（）计算 ；1121.nnnnnnnnn mn mCCCCC （3）求证：补充例题：补充例题：2222234102CCCC（）计算 ；例计算：例计算：329999( 1 ) ;CC332898( 2) .2CCC1617001239

9、8991003100 C563828283838)(2CCCCC;11111)1( CCCCmnmnmnmn.21211)2( CCCCmnmnmnmn例例2 求证求证:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn 有6本不同的书(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)分

10、成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？一、分组与分配问题跟踪练习2有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？例例4、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（种（B） 种种 （C） 种种 （D）

11、种种38C38A39C311C本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83种方法，故选A 1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生和名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，人参加，则有不同参赛方法则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校

12、分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122613CCCC三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例6、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把

13、个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C练习：练习： 1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，个不同的班级，每班至少分到每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有步走完，则有多少种不同的走法？多少种不同的走法？4735C17-11=6有有6个个2步的，步的，17次中挑次中挑6次走次走2步步C（6，17）=12376种种 3、在如图、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？）其中有多少个正方形？（1 1）矩形的话用）矩形的话用C C（7,27,2）* *C C（4,24,2）在两边任意取两点）在两边任意取两点