演绎、分析与综合

1、第二章第二章 数学的论证方法数学的论证方法 数学发现方法是将具有一定数量和质量数学发现方法是将具有一定数量和质量的经验材料的经验材料, ,进行加工处理进行加工处理, ,成为数学材料成为数学材料, ,从从而形成数学猜想而形成数学猜想, ,建立数学命题建立数学命题. .这样得到的这样得到的命题是否正确命题是否正确, ,以及可靠的程度以及可靠的程度, ,都具有很大都具有很大的或然性的或然性. .因此因此, ,对所得命题对所得命题, ,还必须有一个判还必须有一个判断和论证的过程断和论证的过程, ,来确定命题是否正确来确定命题是否正确, ,以确以确保所得命题的严密性和科学性保所得命题的严密性和科学性.

2、.这个过程就称这个过程就称为数学的论证方法为数学的论证方法. .第一节第一节 演绎方法演绎方法 1 1、演绎法的含义、演绎法的含义 由一般性原理推导出关于特殊情况下结由一般性原理推导出关于特殊情况下结论的思维方法叫演绎法，也称为演绎推理，论的思维方法叫演绎法，也称为演绎推理，它是以某类事物的一般判断为前题作出对这它是以某类事物的一般判断为前题作出对这类事物的特殊判断的推理方法。类事物的特殊判断的推理方法。 演绎推理有多种类型，最常用的是三段演绎推理有多种类型，最常用的是三段论。一个三段论由大前题、小前题和结论三论。一个三段论由大前题、小前题和结论三个简单的判断组成。大前题是一个一般性原个简单的

3、判断组成。大前题是一个一般性原理，小前题给出一个适合一般性原理的特殊理，小前题给出一个适合一般性原理的特殊场合，结论是大前题和小前题的逻辑结果。场合，结论是大前题和小前题的逻辑结果。三段论推理的基本模式为：三段论推理的基本模式为： 大前题：一切大前题：一切M M是是P P 小前题：小前题：S S是是M M - - 结论：结论：S S是是P P 例如例如: : 大前题：所有的有理数是实数大前题：所有的有理数是实数 小前题：分数是有理数小前题：分数是有理数 - 结论：分数是实数结论：分数是实数 三段论推理的根据，用集合的观点来讲，三段论推理的根据，用集合的观点来讲，就是：若集合就是：若集合M M的

4、所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P P，S S是是M M的子集，则的子集，则S S中所有元素都具有性质中所有元素都具有性质P P。 由于演绎推理的特殊性结论包含在一般由于演绎推理的特殊性结论包含在一般性原理之中，因而它的前题和结论之间有着性原理之中，因而它的前题和结论之间有着必然的联系。如果前题正确，推理又符合逻必然的联系。如果前题正确，推理又符合逻辑，那么由演绎推理所得的结论就一定正确。辑，那么由演绎推理所得的结论就一定正确。因此，演绎推理是一种必然性推理。它是数因此，演绎推理是一种必然性推理。它是数学证明常用的推理方法学证明常用的推理方法与工具。与工具。 2 2、演绎法的运用、演绎法

5、的运用 运用演绎推理的三段论推理时，首先应该指明一个运用演绎推理的三段论推理时，首先应该指明一个大前题，其次根据条件指明小前题，最后得出一个大前题，其次根据条件指明小前题，最后得出一个结论。上述过程重复进行下去，至到推出所需结论结论。上述过程重复进行下去，至到推出所需结论为止。为止。 例例1 1 已知已知: :在在ABCABC中中, C=90, C=90. . 求证求证:A+B=90:A+B=90 证明证明: : 因为因为“三角形内角和为三角形内角和为180180”,(”,(大前题大前题) ) 而而 “ “AA、BB、CC是是ABCABC三内角三内角”, ,（小前题）（小前题） 所以所以“A+

6、B+C = 180A+B+C = 180”， （结论）（结论） 又因为又因为 “ “等量减等量差相等等量减等量差相等”， （大前题）（大前题） 而而 A+B+C = 180A+B+C = 180，C=90C=90 （小前提）（小前提） 所以所以 A+B+C)-C =180A+B+C)-C =180- 90- 90（结论）（结论） 即即A+B=90A+B=90 上述演绎推理的过程分为若干小步骤上述演绎推理的过程分为若干小步骤, ,每步都是每步都是一个演绎推理一个演绎推理, ,并写明了三段论的三个判断并写明了三段论的三个判断. .在实际在实际表述证明时表述证明时, ,不必要这样去做不必要这样去做,

7、 ,可将很多前题省略去可将很多前题省略去. . 省略大省略大( (小小) )前题前题: :采用采用“因为因为所以所以”形式形式. . 例如例如, ,因为正方形是菱形因为正方形是菱形, ,所以对角线互相垂所以对角线互相垂直直.(.(这里省略了大前题这里省略了大前题: :菱形的对角线相互垂直菱形的对角线相互垂直) ) 2cos2sin2sin cossin22sin,因为对于任意因为对于任意)22sin(sin 这这里里省省略略小小前前题题 例例1 1可简单地写成可简单地写成: : 因为因为AA、BB、CC是是ABCABC三内角三内角, ,（小前题）（小前题） 所以所以A+B+C = 180A+B

8、+C = 180 ( (结论结论) ) 因为因为C=90C=90 （小前题）（小前题） 所以所以A+B=90A+B=90 ( (结论结论) ) 3 3、演绎法是进行逻辑证明的工具、演绎法是进行逻辑证明的工具 演绎推理是从关于事物的一般性知识出发所进行演绎推理是从关于事物的一般性知识出发所进行的推理，因而在推理形式合乎逻辑的前题下，推理的推理，因而在推理形式合乎逻辑的前题下，推理的结论直接取决于前题。所以可以选择可靠的命题的结论直接取决于前题。所以可以选择可靠的命题作为前题，经过推理来证明某个命题。同时将一般作为前题，经过推理来证明某个命题。同时将一般的原理应用到特殊的原理应用到特殊( (个别个

9、别) )能够推出特殊的结果能够推出特殊的结果. . 第二节第二节 分析法与综合法分析法与综合法 一、分析法 分析法是从问题的结论出发寻找其成立的分析法是从问题的结论出发寻找其成立的充分充分( (要要) )条件的证明方法条件的证明方法, ,是由结果追溯到产是由结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法生这一结果的原因的一种思维方法. .即所谓即所谓“执果索因执果索因”的方法的方法. . 分析法的逻辑模式为分析法的逻辑模式为: :若要若要, ,只需只需, ,即要证明什么即要证明什么, ,为此只需证明什么为此只需证明什么. . 例例1 1 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC的两腰的两腰ABAB及

10、及ACAC上上, ,分别分别取两点取两点D D及及E,E,使使AD=AE,FAD=AE,F为为BEBE与与CDCD的交点的交点, ,证证明明:FB=FC.:FB=FC. 证明证明: :若要若要FB=FC,FB=FC, 只需只需FBC=FCB, FBC=FCB, 只需只需ABE= ACD;ABE= ACD; 只需只需ABEABEACD.ACD.而由于而由于AB=AC,AE=AE, A=AAB=AC,AE=AE, A=A, ,所以所以, , ABEABEACDACD是成立的是成立的, ,于是命题得证于是命题得证. . 由此可知由此可知, ,分析法要求从分析法要求从结论出发结论出发, ,向条件逐步向

11、条件逐步上溯上溯. .先设想要证的结论成立先设想要证的结论成立, ,推出它成立的原因推出它成立的原因, ,再再把这些原因看成新的结论把这些原因看成新的结论, ,再推出它成立的原因再推出它成立的原因, ,如如此逐步上溯此逐步上溯, ,直到推出已知条件或已知的实事为止直到推出已知条件或已知的实事为止. .FEDCBA 要证明的命题要证明的命题:“:“若若A,A,则则D”D”其思考方法为：其思考方法为： 先假定先假定D D成立成立, ,寻求寻求D D成立的原因成立的原因, ,而后就各个原而后就各个原因分别进行研究因分别进行研究, ,找出它们成立的条件找出它们成立的条件, ,逐步进行下逐步进行下去去,

12、 ,最后达到条件最后达到条件A,A,从而证明了命题从而证明了命题. . 其思考路线为其思考路线为: : 分析法的两种形式分析法的两种形式 1 1、选择性分析法、选择性分析法: : 它是从结论出发它是从结论出发, ,寻求结论成立需要什么充分寻求结论成立需要什么充分条件条件, ,并为此在探索的并为此在探索的“三岔口三岔口”作方向猜想和方向作方向猜想和方向择优的一种分析法择优的一种分析法. .ABCD 例例2 2 设设x,y,zx,y,z为互不相等的正数为互不相等的正数, ,求证求证思考路线思考路线: :6yxzxzyzyx 6yxzxzyzyx36111yxzxzyzyx6)()()(yxyzxz

13、xyzyzx6)()()yxxyyzzyxzzx（.不等式知上式成立不等式知上式成立由均值（或柯西）由均值（或柯西）9)111)(zyxzyx9yyxzxxzyzzyx2, 2, 2yxxyyzzyxzzx而而立立由均值不等式知上式成由均值不等式知上式成 2 2、可逆性分析法、可逆性分析法 如果从结论向已知追溯过程中每一步都是推求的如果从结论向已知追溯过程中每一步都是推求的充分必要条件充分必要条件, ,这种分析法叫可逆性分析法这种分析法叫可逆性分析法. .可逆可逆性分析法是选择性分析法的特殊情况。能用可逆性分析法是选择性分析法的特殊情况。能用可逆性分析法证明的命题，一定能用选择性分析法证性分析

14、法证明的命题，一定能用选择性分析法证明，反之，能用选择性分析法证明的命题不一定明，反之，能用选择性分析法证明的命题不一定能用可逆性分析法证明。能用可逆性分析法证明。 可逆性分析法证明中，常用符号可逆性分析法证明中，常用符号“ ”“ ”来表示，来表示，或最后指出或最后指出“上述每步均可逆，故命题成立上述每步均可逆，故命题成立” 例例3 3 设设a,b,ca,b,c是三角形的三边是三角形的三边,m0.,m0.求证求证: :mccmbbmaa 证明证明:mccmbmamabmba)()()(mccmbamabbamab2)()(2cmcbamabmbamab)(2)(2cmbamababm1)(21

15、2)(222bammababccm)2()(2cmabbacmmccmbbmaa因因ca+bc0.,m0.求证求证: :mccmbbmaambabambabmbaambbmaa证明：证明：cbaxmmxmxxf上单调递增，上单调递增，在在函数函数又又R1)()()(cfbafmcccfbafmbabambbmaa)()( 22812sin2sin2sin:.,4 求证求证是均为正角是均为正角且且若若例例2sin2sin2sin y证证明明：令令2sin)2cos2(cos21y2sin)2cos2(cos21 2sin2cos212sin212.2sin的的二二次次函函数数看看成成是是一一个个

16、关关于于或或者者把把 y, 021a由由于于二二次次项项系系数数)2sin2cos2(sin2122cos81)2cos212(sin2122812cos812812cos814422max aacbyy有极大值有极大值 综合法形式简洁、条理清晰、宜于表述，但对综合法形式简洁、条理清晰、宜于表述，但对复杂的问题不易找到思路；分析法步步逆求命题成复杂的问题不易找到思路；分析法步步逆求命题成立的充分（必要）条件，思路较为自然，易找出解立的充分（必要）条件，思路较为自然，易找出解题的思路，但过程表述较为繁琐。因此，在解题时题的思路，但过程表述较为繁琐。因此，在解题时经常先用分析法探求解题途径，打开思

17、维通道，再经常先用分析法探求解题途径，打开思维通道，再用综合法有条理地叙述解题过程。用综合法有条理地叙述解题过程。 三、分析综合法三、分析综合法 对于一个解题思路不明显的问题，先用分析法对于一个解题思路不明显的问题，先用分析法从倒推入手，把目标探究到一定程度，再用综合法从倒推入手，把目标探究到一定程度，再用综合法回到条件顺推，如果两方面能汇合在一起或推进到回到条件顺推，如果两方面能汇合在一起或推进到一个熟悉的类型（实事），那么问题的条件与目标一个熟悉的类型（实事），那么问题的条件与目标 之间的联系就随之清楚，与此同时，解题途径也之间的联系就随之清楚，与此同时，解题途径也就自然明朗。这种把分析法

18、与综合法结合起来，就自然明朗。这种把分析法与综合法结合起来，在分析法中有综合法，在综合法中有分析法，交在分析法中有综合法，在综合法中有分析法，交叉使用去论证、求解命题的思维方法叫分析综合叉使用去论证、求解命题的思维方法叫分析综合法。这样，从一个命题的两端向中间法。这样，从一个命题的两端向中间“挤挤”，容，容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。 例例5 5 已知三角形的三个内角已知三角形的三个内角A,B,CA,B,C成等差数列成等差数列, ,求证求证: :三角形的三边满足三角形的三边满足: :cbacbba311cbacbba311)(欲证：欲证：分析法分析法证明：证明： （综合法）（综合法）因为因为A,B,CA,B,C成等差数列成等差数列, ,所以所以,B=60,B=60, ,于是由余弦定理得于是由余弦定理