平面的性质及空间两直线的位置关系

1、§8.2平面的性质及空间两直线的位置关系2014高考会这样考1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系复习备考要这样做1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在

2、同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相平行6定理.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.过平面内一

3、点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线难点正本疑点清源1公理的用途公理1：证明点在平面内；证明直线在平面内公理2：确定两个平面的交线；证明三点共线或三线共点公理3：确定一个平面的条件；证明有关的点线共面问题2正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线1在下列命题中，所有正确命题的序号是_平面与平面相交，它们只有有限个公共点；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；四边形确定一个平面答案2正方体各面所在

4、平面将空间分成_部分答案27解析如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×327部分3空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_答案(0，)解析如图所示，ABD与BCD均为边长为1的正三角形，当ABD与CBD重合时，AC0，将ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC，故AC的取值范围是0<AC<.4已知A、B表示不同的点，l表示直线，、表示不同的平面，则下列推理错误的是_Al，A，Bl，Bl；A，A，B，BAB；l，AlA；

5、A，Al，llA.答案5平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_答案5解析如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条题型一平面性质的应用例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线思维启迪：证明点共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上证明如图所示，A1AC1C，A1A，C1C确定平面A1C. A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1线A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1与平面A1C的交线上ACBDM，

6、M平面BDC1且M平面A1C，平面BDC1平面A1CC1M，OC1M，即C1，O，M三点共线探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点(2)利用类似方法也可证明线共点问题 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)连结EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EF<CD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面A

7、BCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点题型二空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由思维启迪：第(1)问，连结MN，AC，证MNAC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连结MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N

8、、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交证明(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B、C

9、、A、D.四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾BC与AD是异面直线(2)如图，连结AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG、FH是EFGH的对角线，EG与FH相交题型三异面直线所成的角例3正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小思维启迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算(2)可证A1C1与EF垂直解(1)如图所示，连结B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的

10、角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连结AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分别为AB、AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，则异面直线BA1与A

11、C1所成的角等于_答案60°解析如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160°.即BA1与AC1成60°的角点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是_(填序号)l1l2，l2l3l1l3；l1l2，l2l3l1l3；l1l2l3l1，l2，l3共面；l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种

12、位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断答案解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故不正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故不正确温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；

13、二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致构造衬托平面研究直线相交问题典例：(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面进而研究公共交线问题解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条

14、异面直线都有交点如图所示方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解方法与技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，

15、再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往 可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解失误与防范1全面考虑点

16、、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型2异面直线所成的角范围是(0°，90°A组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件答案充分不必要解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点2下列命题正确的个数为_经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合答案2解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面

17、，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确3设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_(填序号)Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPb答案解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确4 . 在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为_答案2解析有2条：A1B和

18、A1C1.5平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面6下列命题中不正确的是_(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面答案解析没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a，b异面矛盾，故cDb

19、；命题也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理3可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面7(2011·大纲全国)已知正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_答案解析取A1B1的中点F，连结EF，AF.在正方体ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，B1C1BC，EFBC，AEF即为异面直线AE与BC所成的角设正方体的棱长为a，则AFa，EFa.EF平面ABB1A1，EFAF，AEa.cos AEF.二、解答题(共27分)8(13分) 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形

20、，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解方法一由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面方法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M，BE綊AF，B为MA的中点BC綊AD，B为MA的中点，M与M重合，即FE与DC交于点M(M)，C、D、

21、F、E四点共面9(14分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S4，所以，四棱锥OABCD的体积V×4×2.(2)连结AC，设线段AC的中点为E，连结ME，DE，则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1. 如图，l，A

22、、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过点_答案C、M解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理2可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上2. 如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：点M到AB的距离为；三棱锥CDNE的体积是；AB与EF所成的角是.其中正确命题的序号是_答案解析依题意可作出正方体的直观图，显然M到AB的距离为MC，正确，而VCDNE××1×1×1，正确，AB与EF所成角为AB与MC所成的角，即为.3以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C

23、、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是_答案1解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形4在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面5. 如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面