向量场的曲线积分

1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQy

2、xPyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似近似”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “求和求和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动

3、 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LF dr(,) (,)kkkkFxy nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 (,)drdx dy其中称为有向曲线元若

4、为空间曲线弧 , 对坐标的曲线积分也可写成=( , )d( , )LLF drP x yxQ x y dy),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF(d , d , d )drxyz类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可定义( , , )( , , )( , , )rF dP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ( ( , ),( , ) (,)F drP x y Q x ydx dyPdxQdy因为3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),

5、(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明: 下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数

6、设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧 ,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(

7、)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目录 上页 下页 返回 结束 yxo例例1. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 2:,: 01Lxyy(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11

8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd01()dxxx54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为

9、逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyx例例5. 求()()d()d ,Izy dxxzyxyz其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)

10、(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分

11、的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令AdFs( ,),FP Q R(d, d, d )drxyz(cos, cos, cos )为单位切向量dFrdFrdFs 记 F 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d221)2xxx所以切向量为(1,2cos=2,xxcos1x yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结：,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页