结构动力学(无限自由度)

1、 按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。范围和精确程度。将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。是不完整的。 对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便之处。之处。14-4 无限自由度体系的自由振动 在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。立变量。振动方程是偏微分方程。等截面梁弯曲时的静力平衡方程为等截面梁弯曲时的静

2、力平衡方程为44ddyEIqx22yqmt 在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为42420yyEImxt用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令 y x tY xT t， IV2YxT tEIm Y xT t 代入振动方程，并整理得代入振动方程，并整理得左边是左边是x的函数，右边是的函数，右边是t的函数。因此，两边都与的函数。因此，两边都与x、t无关。无关。故得两个常微分方程故得两个常微分方程 IV40YxY x 20T tT t42 mEI2 EIm两个方程的解分别为两个方程的解分

3、别为 sinT tat siny x tY xt， 1234coshsinhcossinY xCxCxCxCx则，振动方程的解为则，振动方程的解为C1C4由边界条件确定由边界条件确定例例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。试求等截面简支梁的自振频率和主振型。 0000YY，130CC 24sinhsinY xCxCx 00Y lYl，2424sinhsin0sinhsin0ClClClCl右边：右边：振幅曲线简化为振幅曲线简化为解：边界条件引入振幅曲线解：边界条件引入振幅曲线左边：左边：得：得：令系数行列式令系数行列式=0sinhsin0sinhsinllllsin0l得得1 2n

4、nnl，故故 44sinsin1,2,nYxCxn xCln2221 2nnlmn，这样就得到了无限多个这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型自振频率和对应的振型曲线曲线 一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）保持不变。的总能量（应变能与动能之和）保持不变。14-6 近似法求自振频率1 1 能量法求第一频率能量法求第一频率瑞利（瑞利（RayleighRayleigh）法）法理论基础：能量守恒原理理论基础：能量守恒原理 例例 具有分布质量的等截面梁，自由振动时，位移具有分布质量的等截面梁，自由振动时，位移可表示为可表示为

5、 siny x tY xt，梁的弯曲应变能为梁的弯曲应变能为 22220011dsind22llyVEIxtEI Yxxx 2cosxy x tY xt ，位移表示式对时间微分，得速度表达式为位移表示式对时间微分，得速度表达式为最大值为最大值为 2max01d2lVEI Yxx 22220011dcosd22llyTmxtm Y xxt 22max01d2lTm Y xx最大值为最大值为梁的动能为梁的动能为maxmaxTVsin()0t位移和应变能为零，体系的总能量为位移和应变能为零，体系的总能量为Tmaxcos()0t速度和动能为零，体系的总能量为速度和动能为零，体系的总能量为Vmax由能量

6、守恒原理，可得由能量守恒原理，可得由此得到计算频率的公式由此得到计算频率的公式 22max02200d1dd2lllEI YxxVm Y xxm Y xx若梁上还有集中质量若梁上还有集中质量mi，计算公式为，计算公式为 220220ddlliiiEI Yxxm Y xxmY 如果如果Y（x）是第）是第i振型，则得到的就是第振型，则得到的就是第i频率的精确解频率的精确解取某个静荷载下的位移曲线作为取某个静荷载下的位移曲线作为Y（x）。）。这时，应变能可用荷载作的功来代替，即这时，应变能可用荷载作的功来代替，即 01d2lVq x Y xx频率计算公式为：频率计算公式为： 20220ddlliii

7、q x Y xxm Y xxmY取结构自重的变形曲线作为取结构自重的变形曲线作为Y（x）。）。 02220ddliiiliiimgY xxm gYmYxxmY例例 14-7 试求等截面简支梁的第一频率试求等截面简支梁的第一频率解解 （1）将抛物线作为）将抛物线作为Y（x）。）。 24aY xx lxl222222max40164d215lmaTxlxxma ll22max4306432d2lEIaEIaVxll 28aYxl 24212010.95EIEImllm，（2）将均布荷载作用下的位移曲线作为）将均布荷载作用下的位移曲线作为Y（x）。）。 334224qY xl xlxxEI 2 52

8、02290d12031d24630llq lqY xxEIqmYxxmlEI29.87EIlm（3）将正弦曲线作为）将正弦曲线作为Y（x）。）。 sinxY xal244224230222420sind2sind2llxEIaEIaxEIlllma lmlxmaxl2229.8696EIEIlmlm（4）讨论。）讨论。 正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果具有很高的精度。求得的结果具有很高的精度。例例 14-8 试求图试求图14-15所示

9、楔形悬臂梁的自振频率。设梁所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度的截面宽度b=1，截面高度为直线变化：，截面高度为直线变化： 0 h xh xl解解30112h xIl单位长度质量单位长度质量0h xml截面惯性矩截面惯性矩设位移形状函数为设位移形状函数为 21xY xal代入频率计算公式，得代入频率计算公式，得3202320240512230Eh aEhlh lal00221.58152hhEEll021.534hEl精确解为精确解为误差为误差为3%理论基础：哈密顿（理论基础：哈密顿（W.R.Hamilton)原理原理在所有可能的运动状态中在所有可能的运动状态中,精确解使精确解使20VT驻

10、值得哈密顿泛函得哈密顿泛函 222p1dd22EEIYxxmYxx驻值Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数是满足边界条件的任意可能位移函数2.能量法求最初几个频率瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法瑞利瑞利-里兹（里兹（Rayleigh-Ritz）法的具体步骤）法的具体步骤:(1)将体系的自由度折减为将体系的自由度折减为n个自由度个自由度,位移函数表示为位移函数表示为 1niiiY xax ix:n个可能的位移函数个可能的位移函数;a:待定系数。待定系数。（2）将位移函数代入哈密顿泛函，得）将位移函数代入哈密顿泛函，得222p111dd22nniiiiiiEEIaxmax令令ddij

11、ijijijkEIxmmx ，得得2p1112nnijijijijEkma ap01 2iEina， ，应用驻值条件应用驻值条件得得2101 2nijijjjkm ain， ，写成矩阵形式写成矩阵形式 20km a 令系数行列式为零，即令系数行列式为零，即20km 可求得最初几个自振频率的近似值。可求得最初几个自振频率的近似值。 例例 14-9 试求等截面悬臂梁的最初几个频率。试求等截面悬臂梁的最初几个频率。设可能位移为设可能位移为231121kkkYaaaxl解解其中其中（1）第一次近似）第一次近似2111Yaa得得111134,5EImlkml驻值条件为驻值条件为213405EImlal令

12、令23405EImll得得1214.472EIlm（2）第二次近似解）第二次近似解1122Yaa3114656,6121167EImllkm得得242424244656061267mlmlEIEImlmlEIEI令令则，第一、二频率的近似值则，第一、二频率的近似值1213.533EIlm(误差为误差为0.48%）22134.81EIlm(误差为误差为58%）这里第一频率的精度已这里第一频率的精度已大为提高。大为提高。 例例 14-10 试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。解解3 集中质量法129.800.7%EIml12229.8638.20.1%3

13、.2%EIEIlmlm，1222329.86539.20.05%0.7% ,84.64.8%EIEIlmlmEIlm，1232229.8739.4888.83EIEIEIlmlmlm， 例例 14-11 试求框架的最低频率。试求框架的最低频率。解解3392EIkl32391242.21kEImlmlEIlm读者可自行验证，对称振读者可自行验证，对称振型的频率大于反对称振型型的频率大于反对称振型的频率的频率14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率1 单元的泛函将刚架分成有限个单元，任一单元的哈将刚架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为密顿泛函为 222p122eEEIYx dxmYx dxppeE

14、E刚架的泛函刚架的泛函根据刚架泛函为驻值的条件，求根据刚架泛函为驻值的条件，求的非零解，得到刚架频率的非零解，得到刚架频率可用单元的结点位移可用单元的结点位移表示表示单元的结点位移幅值为单元的结点位移幅值为T1122evv 23122233241 3212321xxxllxxxxllxxxllxxxll 杆件的位移幅值函数可表示为杆件的位移幅值函数可表示为 T1234xxxxx N TeY xx N形状函数列阵形状函数列阵T2p12eeeeeEkmT0dleEIx kN N其中其中T0dlemxmNN单元的刚度矩阵单元的刚度矩阵单元的质量矩阵单元的质量矩阵2232263633232636333

15、2ellllllEIlllllllk2222156225413224133541315622420133224ellllllmlllllllm0dlijijmmx0dlijijkEIx 对单元泛函叠加，得对单元泛函叠加，得T2PP12eeeeeeeEEkmT2P12EKM 将将EP改用刚架的结点位移幅值改用刚架的结点位移幅值来表示。来表示。2 刚架的泛函20KM 20KM应用驻值条件，得应用驻值条件，得频率方程为频率方程为3 驻值条件和频率方程1111312156420EIkmmll，频率方程为频率方程为23121560420EImll12122.736EILm12122.373EILm精确解

16、为精确解为误差为误差为1.6% 例例14-12 试求梁的自振频率。试求梁的自振频率。解解 （1）对称振型）对称振型取半边结构作为一个单元，取半边结构作为一个单元，只有一个待定的结点位移。只有一个待定的结点位移。将半边结构分为两个单元将半边结构分为两个单元待定的结点位移幅值为待定的结点位移幅值为 T223 驻值条件为驻值条件为22222331206312054020430813042063654131560EImllllllll 令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：123252122.40(0.135%)1123.48(2%)1396.38(2

17、9%)EILmEILmEILm（2）反对称振型）反对称振型取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率224262162.24(0.9%)1233.62(17%)1622.50(49%)EILmEILmEILm例例 14-13 试用矩阵位移法从做例试用矩阵位移法从做例14-11解解T123 总刚度矩阵及总质量矩阵总刚度矩阵及总质量矩阵222232222123378611112362112618210326111826llllEImllllllllllllllM 待定的结点位移幅值为待定的结点位移幅值为驻值条件为驻值条件为2222324440210EImlll

18、l 对称振动时，得对称振动时，得20KM 求得求得12126-393-30-3 118-80ll （）（）（）（）216.179EIlm反对称振动时，得反对称振动时，得其中其中42420mlEI6-393-3+11-3+118-8ll（）（）（） （）频率方程为频率方程为求得求得12222.3036.179EIEIlmlm，按从大到小的顺序重新排列按从大到小的顺序重新排列1232222.3036.17920.71EIEIEIlmlmlm，14-8 用求解器求解自振频率与振型对一般平面结构，可以给出振型和频率；对一般平面结构，可以给出振型和频率；对于无限自由度体系，可以给出全部精确解；对于无限自

19、由度体系，可以给出全部精确解；解出的振型可以用静态、动态两种方式显示。解出的振型可以用静态、动态两种方式显示。14-9 小结讨论了多自由度体系的振动问题，深化了主振型、讨论了多自由度体系的振动问题，深化了主振型、主振型的正交性、主振型矩阵的概念；主振型的正交性、主振型矩阵的概念；对于一般荷载，介绍了主振型叠加法，将多自由度对于一般荷载，介绍了主振型叠加法，将多自由度体系的振动问题转化为单自由度体系的计算问题是这体系的振动问题转化为单自由度体系的计算问题是这个方法的核心；个方法的核心；近似计算方法中，能量法是计算自振频率的一种有近似计算方法中，能量法是计算自振频率的一种有效的近似方法。效的近似方

20、法。13.9 13.9 计算频率的近似法计算频率的近似法13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法 当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能（动能（T）和应变能（）和应变能（U）之和应等于常数。）之和应等于常数。瑞利法的出发点瑞利法的出发点: : 能量守恒定律能量守恒定律UTC以梁的自由振动为

21、例以梁的自由振动为例: :( , )y x tx( , )( )sin()y x tY xt设设: :( , )( )cos() y x tY xtmaxmaxUT22220011( )( , )()( )( )22llTm xy x tdxCostm x Yx dx动能动能: :最大动能最大动能: :22max01( )( )2lTm x Yx dxmax0UCmax0TC梁的自由振动梁的自由振动22020( ) ( )llEI Yxdxm Y xdx( , )y x tx2220220121sin ()( )2llyUEIdxxtEI Yxdx2max01( )2lUEI Yxdxmaxm

22、axUT13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法应变能应变能: :最大应变能最大应变能: :220220( ) ( )lliiiEI Yxdxm Y xdxm Y如梁上还有集中质量如梁上还有集中质量miYi 为集为集中质量中质量mi处位处位移幅值移幅值220220( ) ( )lliiiEI Yxdxm Y xdxm Y假设位移幅值函数假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：必须注意以下几点： 所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近; ;结构结构比较容易出现的变形形式比较容易出现的变形形式; ;曲率小，拐点少。曲率小，

23、拐点少。必须满足运动边界条件：必须满足运动边界条件： 几何边界条件几何边界条件自然边界条件自然边界条件RayleighRayleigh法主要用于求法主要用于求1的近似解的近似解13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x) 。01( ) ( )2lUq x Y x dx20220( ) ( ) ( )lliiq x Y x dxm Y xdxm Y20220( ) ( )liiliimgY x dxm gYm Y xdxm Y若考虑水平振动，则若考虑水平振动，则重力应沿水平方向

24、作用。重力应沿水平方向作用。 通常可取结构在某个静荷载通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线作用下的弹性曲线 作为作为 Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载的近似表达式。此时应变能可用相应荷载 q(x)所作的功来代替。所作的功来代替。取自重荷载作用下的曲线取自重荷载作用下的曲线Y(x)的近似表达式。的近似表达式。13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法 例例13.2413.24求等截面简支梁的第一自振频率。求等截面简支梁的第一自振频率。解：解：1 1）假设为抛物线）假设为抛物线: :( )()Y xx lx22020( ) ( )llEI Yx

25、dxm Y xdx代入公式代入公式: :210.95EIml13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法满足边界条件满足边界条件: :0( )0( )0 xY xxL Y x2 2）设精确曲线）设精确曲线: :( )sinxY xal22020( ) ( )llEI Yxdxm Y xdx代入公式代入公式: :29.8696EIml满足边界条件满足边界条件: :0( )0( )0 xY xxL Y x3 3）梁在）梁在q作用下的绕曲线作用下的绕曲线: :334( )(2)24qY xL xLxxEI代入公式代入公式: :29.87EIml13.9.1 13.9.1

26、能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法满足边界条件满足边界条件: :0( )0( )0 xY xxL Y xx1P()xLxL222qLxqxq2020( ) ( ) ( )llq x Y x dxm Y xdx与精确解相比，各种方与精确解相比，各种方法的精度还是相当高的。法的精度还是相当高的。 例例13.2513.25 求两端固定梁的第一频率。求两端固定梁的第一频率。解：解：满足边界条件：满足边界条件：13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法x1P()xLxLq212qL 梁在梁在q作用下的绕曲线作用下的绕曲线: :44324322( )()24qLxx

27、xY xEILLL0( )0( )0 xY xxL Y x代入公式代入公式: :222.45EIml2020( ) ( ) ( )llq x Y x dxm Y xdx 与精确值相差与精确值相差0.4%0.4%。 例例13.2613.26 求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法6m1m5m2m4m3m解：以各层重量解：以各层重量 当作当作水平力作用在结构上，由水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移此产生的各质点处的位移 作为第一振型的近似。作为第一振型的近似。im giX则最

28、大变形能和动能则最大变形能和动能: :max112niiiUm gX22max112niiiTm X2iiiigm Xm X13.9.1 13.9.1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法各质点处各质点处 的计算的计算: :iX1m g4m g3m g6m g5m g2m g1X2X3X4X5X6X212656XXXXXX显然显然: :如如 的计算的计算: :5X6m g5m g5312EIXL5312EIXL5312EIXL0X53512iEIm gXL553512im gXEILim gim g312iEILiXiXiim X2iim X层数层数13.9.1 13.9.1 能量法求

29、第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法312iiiim gXEIL1iiiXXX因此因此: :计算过程列于下表计算过程列于下表: :124.0291.7514280.06430.064157.410.11223.4467.7315360.04410.108259.428.14316.2244.2914950.02960.138228.231.48415.6028.0719170.01470.153242.937.1059.2612.4718720.00670.159150.724.0263.213.2115570.00210.16252.88.52合计合计1091.4139.379.8 1091

30、.48.76 1/139.37s 与精确值相差与精确值相差:0.69%:0.69%13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法等效原则：等效原则： 使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。的合力相等。具体作法：具体作法： 将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。中于两端。 例例13.2713.27 试用集中质量法求简支梁自振频率。试用集中质量法求简支梁自振频率。mEIxyl2mll/2l/24ml4ml129.80EIml(0.7%）3mll/3l/3l/36ml6ml3ml122

31、29.8638.2EImlEIml(0.1%）(3.1%）1222329.86539.284.6EImlEImlEIml(0.05%）(4.8%）(0.7%）对比分析对比分析13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法解得：解得：解得：解得：l/4l/4l/4l/44ml8ml4ml4ml8ml解得：解得：613l713lP=1 例例13.2813.28 求自振频率。求自振频率。2ll1.5mmm2mllEI4EI21112.212EImlml解：解：2)2)图乘图乘3)3)自振频率自振频率311439lEI1)1)简化简化13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法lP=1l2ml2

32、ml2ml2ml按正对称性集中按正对称性集中0.75ml2mlllEI4EI1MP=102M解：解：1)1)简化简化2)2)图乘图乘2l2ml4ml1.5mlml2ml4mlmlllP=12M8l4l34lP=12lP=116l964l532l01M13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法3111124 64lEI3228024 64lEI312211224 64lEI 4221,24412221212 11 3 802 11 3 804 11 80 1262 4 24 640.03970,0.0029515.02118.42,abmlEImlmlEIEIEIEImmll 123222

33、2.215.0218.42,EIEIEImmmlll3)3)自振频率自振频率4)4)自振频率汇总自振频率汇总13.9.2 13.9.2 集中质量法集中质量法13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法22211111122212222211122222222111222nnnnnnnnnnnnnYmYmYmYYmYmYmYYmYmYmY 矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。的频率和振型。 体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：写成矩阵形式：写成矩阵形式：111121112212222

34、221200nnnnnnnnnYmYYmYmYY 缩写成：缩写成： 2 YMY 13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法111121112212222221200nnnnnnnnnYmYYmYmYY 当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。次的频率和振型。 计算步骤：计算步骤：先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后即可得到即可得到和主振型的第一次近似值；和主振型的第一次近似值；2再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到

35、 和和主振型的第二次近似值主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。算结果接近为止。213.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法 例例13.2913.29 求自振频率和主振型。已知：求自振频率和主振型。已知：m1k3k2k1m2m31111231 1 1TTYYY 61.841.841.84101.842.952.951.842.954.162561025450559M解：设解：设1112621132525111.841.841.84256101101.842.952.95254511.842.954.160559110420.716101

36、3871455 100.95314551.000YYY 第一振第一振型的第型的第二次值二次值13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法第一振第一振型的第型的第三次值三次值1112130.7160.9531.000YYY把：把： 代人方程再计算代人方程再计算1112621132525111.841.841.84256100.716101.842.952.9525450.9531.842.954.1605591.0008870.6901012181285 100.94812851.000YYY1112525211138720.6871012021269 100.94712691.000YYY

37、同理：同理：第一振第一振型的第型的第四次值四次值13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法 (1)0.6870.9471.000TY因此第一振型为：因此第一振型为：第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。求第二振型：求第二振型：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式： 212223256100.6870.9471.000254500559YYY000. 1101269000. 1521由：由：srad /88. 8101269151得：得：13.9.3 13.9.3 矩阵迭

38、代法矩阵迭代法将下式展开：将下式展开： 212223256100.6870.9471.000254500559YYY得：得： 222123175924105590YYY2223123.1474.311YYY 或：或： 2211226222222331.841.841.8425610101.842.952.9525451.842.954.160559YYYYYY22112622222147524910477399YYYY得：得： 13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法得：得： 21262221.9951351 101.000YY233.147 1.9954.311 ( 1.000)1.

39、967Y 212221YY令：令：经两轮迭代后得：经两轮迭代后得：26127.2/1351 10rad s故第二频率为：故第二频率为：2223123.1474.311YYY 再由：再由： (2)1.0140.5011.000TY因此第二振型为：因此第二振型为：13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法求第三振型：求第三振型：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得： 313233256100.6870.9471.000254500559YYY313233256101.0140.5011.000254500559YYY将上面两式展开得：

40、将上面两式展开得：333123175924105590YYY333123259712755590YYY经求解得：经求解得：33130.0746YY33230.2864YY 13.9.3 13.9.3 矩阵迭代法矩阵迭代法33130.0746YY33230.2864YY 令：令：331.000Y (3)0.0750.2861.000TY则设第三振型为：则设第三振型为：求第三频率：求第三频率：3132623332626331.841.841.84256100.075101.842.952.9525450.2861.842.954.1605591.00042.700.08010144.70531.6

41、 100.272531.601.000YYY36143.4/531.6 10rad s故第三频率为：故第三频率为：13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 （1 1）单自由度体系运动方建立）单自由度体系运动方建立0y 0y y mk0()0m yycyky0mycykymy 强迫振动强迫振动()001( )sin()ttyyetd 杜哈梅积分杜哈梅积分（2 2）水平地震作用）水平地震作用0()m yyky地震时质点受到的惯性力为：地震时质点受到的惯性力为：不考虑阻尼不考虑阻尼 求出作用在质点上惯性力的最大值，然后求出作用在质点上惯性力的最大值，然后按静力荷载求解。按静力荷载求解

42、。便于设计人员应用便于设计人员应用1 1、单自由度体系、单自由度体系思路：思路：作用在结作用在结构上的力构上的力产生的效应产生的效应13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 20kayyyym 将地震位移反应的杜哈梅积分代入上式，有：将地震位移反应的杜哈梅积分代入上式，有：()00( )sin()ttayetd()0max0max2()00max( )( )sin()22( )sin()ttattTSa tyetdyetdTT质点绝对加速度的最大值：质点绝对加速度的最大值： 0( )y 若给地震时地面运动的加速度记录若给地震时地面运动的加速度记录 、体系的、体系的阻尼比阻尼比

43、，就可计算出质点的最大加速度与体系自振，就可计算出质点的最大加速度与体系自振周期的一条关系曲线，并且对于不同的曲线，称之为周期的一条关系曲线，并且对于不同的曲线，称之为加速度反应谱加速度反应谱。 质点的绝对加速度即：质点的绝对加速度即：aS 的计的计算一般算一般都采用都采用数值积数值积分法。分法。 13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 0max0maxaaySFmSmgGkgy水平地震作用：水平地震作用：0maxykg其中地震系数：其中地震系数： 根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数值将大根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数值将大致增加一倍致增加一倍。建筑抗震规范建筑抗

44、震规范对各地震基本烈度的地对各地震基本烈度的地震系数都有具体的规定，查表即可。震系数都有具体的规定，查表即可。其中动力系数：其中动力系数：0maxaSy 动力系数值与地震烈度无关，可以利用所有不同烈动力系数值与地震烈度无关，可以利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计。度的地震记录进行计算和统计。 其中：其中：G G为质点的重量为质点的重量13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 动力系数：动力系数：2()00max0max212( )sin()TttyetdTyT设计反应谱：设计反应谱：0max0maxaaySFmSmgGkGgyk其中：其中： 2max 2maxgTT 5g

45、T其中其中: : 可查建筑抗震可查建筑抗震规范获得。规范获得。max2地震作用：地震作用：gT场地卓越周期场地卓越周期衰减指数衰减指数2考虑结构的阻尼考虑结构的阻尼13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 （1 1）多自由度体系运动方建立）多自由度体系运动方建立111111221111122110222112222211222220112211220nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnm yc yc yc yk yk yk ym ym yc yc yc yk yk ykym ym yc yc yc yk ykyk ym y 0 1MyCyKyMy 其中：其中：写成矩阵形式

46、：写成矩阵形式：111212122212 nnnnnnccccccCccc2 2、多自由度体系、多自由度体系“耦合耦合”13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 （2 2）用振型叠加法求地震作用）用振型叠加法求地震作用为了使方程解耦，引入：为了使方程解耦，引入： yY12 CMK 120 () 1M YMKYK YMy 得：得：等式两边前乘等式两边前乘 ：( ) j TY ( )( )( )12( )0 () 1j Tj Tj Tj TYM YYMKYYK YYMy 下面对这个等式逐项进行讨论下面对这个等式逐项进行讨论 0 1MyCyKyMy （1 1）13.9.4 13.9.

47、4 结构的地震分析结构的地震分析 (1)(1)1(2)(2)( )( )( )2( )( )( )(1)( )(2)( )( )12( )( ) TTj Tj Tj Tnnnj Tj Tj Tjjj TnnjjYYYYYM YYMYMYYYMYYMYYMYYMYM ( )( )( )12( )0 () 1j Tj Tj Tj TYM YYMKYYK YYMy 第一项：第一项：13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 ( )( )( )12( )0 () 1j Tj Tj Tj TYM YYMKYYK YYMy 第三项：第三项： (1)(1)1(2)(2)( )( )( )2(

48、)( )( )(1)( )(2)( )( )12( )( ) TTj Tj Tj Tnnnj Tj Tj Tjjj TnnjjYYYYYK YYKYKYYYKYYKYYKYYKYM13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 其中振型参与系数：其中振型参与系数：2( )( )12() j TjjjYMY 22120() jjjjjjy ( )1( )( )21 1 ()njj Tiiijnj TjjiiimYYMYMYm Y方程（方程（1 1）变为：）变为： 2()0jjKMY由：由： ( )( )( )12( )0 () 1j Tj Tj Tj TYM YYMKYYK YYMy

49、( )2jjjKYMY等式两边前乘等式两边前乘 ：( ) j TY( )12 () j TYMKY第二项：第二项：把（把（2 2）式代入后得：）式代入后得： ( )( )( )2j Tjj TjjYKYYMY(2)(2)13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 2122jjj 令：令：202 (1,2, )jjjjjjjyjn （3 3）反应谱法求地震作用）反应谱法求地震作用0( )()iiiF tm yy 11nnjjijijjijjyYY()00( )( )sin()jjttjjjjjjtyetd 001(4)njjijyy Y1(5)njijjijyY11 (3)njji

50、jY得：得：有：有：可证明：可证明：多自由度体系第多自由度体系第i i个质点上的地震作用：个质点上的地震作用：由式（由式（3 3）可得：）可得：已变成已变成1 1个个独立方程。独立方程。13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 0max( )()jjiijijFtmYy0max()jjygiiGm gjjijjiiFY G 2jSS振型组合：振型组合：令：令：则：则：01( )()njiijijjF tmYy 把式（把式（4 4）、式（）、式（5 5）代入：）代入：0( )()iiiF tm yy 得：得：第第i i个质点由第个质点由第j j个振型引起的地震作用的最大值：个振型

51、引起的地震作用的最大值：jS第第j j振型地震作用产生的效应振型地震作用产生的效应1njijjiijFY G 13F12F11F23F33F22F32F21F31F13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 计算步骤：计算步骤：求出频率与振型求出频率与振型求出振型参与系数：求出振型参与系数：( )1( )( )21 1 ()njj Tiiijnj TjjiiimYYMYMYm Y根据自振频率：根据自振频率：12n求出自振周期：求出自振周期：12nTTT由自振周期等求出：由自振周期等求出：12n由公式：由公式：jjijjiiFY G 求出求出n n组地震作用组地震作用分别计算每组地

52、震作用下的内力，按分别计算每组地震作用下的内力，按 计算总计算总效应。效应。2jSS13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 例例13.3013.30 求地震作用。已知：求地震作用。已知：m1k3k2k1m2m3 61.841.841.84101.842.952.951.842.954.162561025450559M (1)0.6870.9471.000Y (2)1.0140.5011.000Y (3)0.0800.2721.000Y 343.4/rad s227.2/rad s18.88/rad s解：解：(1)(1)求振型参与系数：求振型参与系数：( )1( )( )21

53、 1 ()njj Tiiijnj TjjiiimYYMYMYm Y11222212561 0.6872545 0.947559 14710.61.1632561 0.6872545 0.947559 14050.1()njiiinjiiimYm Y12222212561 1.0142545 0.501 559 1762.80.1992561 1.0142545 0.501559 13831.0()njiiinjiiimYm 0.0802545 0.272559 171.60.0942561 0.0802545 0.272559 1763.7()njiiinjiiimY

54、m Y13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 (2)(2)求自振周期求自振周期11220.718.88Ts22220.2327.2Ts33220.1443.4Ts(3)(3)求求 设：设防烈度为设：设防烈度为7 7度，二类（一组）场地土。度，二类（一组）场地土。0.35gT 0.90.91max10.3510.080.0420.71gTT13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 max0.08( (多遇地震多遇地震) ) 0.90.92max20.3510.080.1170.23gTT0.90.93max30.3510.080.1820.14gTT查得：查得：

55、210.9 13.9.4 13.9.4 结构的地震分析结构的地震分析 (3)(3)求地震作用求地震作用 jjijjiiFY G 1111 1 110.042 1.163 0.687 2561 9.8842.21FY G 22122 110.117 0.199 1.014 2561 9.8592.53FY G 33133 110.182 0.094 0.080 2561 9.834.35FY G 1121 1 220.042 1.163 0.947 2545 9.81153.70FY G 22222220.117 0.1990.501 2545 9.8290.93FY G 33233 220.182 0.0940.272 2545 9.8116.06FY G 1131 1 330.042 1.163 1 559 9.8267.59FY G 22322 330.117 0.1991 559 9.8127.54FY G 33333 330.182 0.094 1 559 9.893.72FY G 习题课习题课 习题习题11 求图示结构的自振频率和主振型，并验证主求图示结构的自振频率和主振型